וואָס איז קראָס מולטיפּליקאַציע?
קראָס-מולטיפּליקאַציע איז אַ יסודותדיקע מאַטעמאַטישע טעכניק וואָס ווערט אָפט גענוצט צו סאָלווען פּראָבלעמען וואָס האָבן צו טאָן מיט פּראָפּאָרציעס און פאַרהעלטענישן. כאָטש עס קען אויסזען פּשוט, איז דער באַגריף זייער נוצלעך אין וואָכעדיקן לעבן - פון רעכענען דעם פּרייַז פון סחורות, באַשטימען דעם וואָג פון מאַפּעס, אַדזשאַסטירן רעצעפּטן, ביז סאָלווען מאַטעמאַטישע פּראָבלעמען אין שול. דער אַרטיקל וועט דיסקוטירן וואָס קראָס-מולטיפּליקאַציע איז, ווען מען ניצט עס, ווי אַזוי עס צו טאָן, און ביישפילן פון זיינע אַפּליקאַציעס.
פֿאַרשטיין קראָס מולטיפּליקאַציע
בכלל, קראָס-מולטיפּליקאַציע איז אַ מעטאָד פֿאַר פֿאַרגלייַכן צוויי בראָכציילן אָדער סאָלווינג גלייכונגען אין דער פֿאָרעם פֿון פּראָפּאָרציעס דורך "קראָסינג" די מולטיפּליקאַציע צווישן דעם ציילער און נענער.
למשל, עס זענען דא צוויי חלקים:
\[
\frac{a}{b} = \frac{c}{d}
\]
מיט קראָס-מולטיפּליקאַציע, טאפלען מיר a מיט d און b מיט c, אַזוי אַז מיר באַקומען:
\[
a × d = b × c
\]
דאָס איז די עסענץ פֿון קראָס-מולטיפּליקאַציע: ענדערן די גלייכונג פֿון צוויי בראָכציילן אין אַ מילטיפּליקאַציע-פֿאָרעם וואָס איז גרינגער צו רעכענען.
פארוואס הייסט עס "קרייץ"?
עס ווערט גערופן "קרייץ" ווייל אויב מיר שרייבן צוויי פאראלעלע בראָכציילן, די פּאָר נומערן וואָס ווערן געמערט שאַפֿן אַ קרייץ מוסטער:
\[
\frac{a}{b} = \frac{c}{d}
\]
קראָס-מאַלטיפּליקאַציאָן נעמט:
– לינקער ציילער (א) מאָל רעכטער נענער (ד)
– לינקער נענער (ב) מאָל רעכטער ציילער (ג)
וואָס וויזואַל קוקט אויס ווי אַ קרייַז ליניע.
ווען ווערט קראָס מולטיפּליקאַציע גענוצט?
קראָס-מולטיפּליקאַציע ווערט געוויינטלעך גענוצט ווען:
1. לייזן פּראָפּאָרציע פּראָבלעמען
למשל: "אויב 2 קילאָגראַם עפּל קאָסטן 30.000, וויפֿל קאָסטן 5 קילאָגראַם?"
2. פארגלייכן צוויי בראָכציילן
למשל, באַשטימען וועלכע איז גרעסער צווישן 3/5 און 4/7.
3. געפֿינען אומבאַקאַנטע ווערטן (וואַריאַבאַלן)
למשל אין דער מאטעמאטיק פראבלעם: 3/4 = x/12, געפינט x.
4. וואָג פּראָבלעמען
בייַשפּיל: מאַפּע סקאַלע 1:100.000, דיסטאַנץ אויף דער מאַפּע איז 5 ס״מ, וואָס איז די פאַקטישע דיסטאַנץ?
5. פראבלעמען פון שנעלקייט, צייט, און דיסטאַנץ (אין קאָמפּאַראַטיווער פאָרעם)
ווען אויסגעשטעלט אין פּראָפּאָרציעס, קען קראָס-מולטיפּליקאַציע העלפֿן.
ווי אזוי צו טאָן קראָס מולטיפּליקאַטיאָן
צו מאַכן עס גרינגער, נאָכפאָלגן די טריט:
1. מאַכט זיכער אַז די פֿאָרעם פֿון דער פֿראַגע איז פּראָפּאָרציאָנעל:
\[
\frac{a}{b} = \frac{c}{d}
\]
2. דורכפירן קראָס-מולטיפּליקאַציע:
\[
a × d = b × c
\]
3. אויב עס איז דא א וועריאַבל (למשל x), מאַך יענע וועריאַבל דעם פאָקוס צו זוכן.
4. לייזט די גלייכונג ווי געוויינטלעך.
בייַשפּיל 1: געפֿינען דעם ווערט פֿון x
געגעבן:
\[
\frac{3}{4} = \frac{x}{12}
\]
דורכפירן קראָס-מולטיפּליקאַציע:
\[
3 מאָל 12 = 4 מאָל x
\]
\[
36 = 4x
\]
\[
x = \frac{36}{4} = 9
\]
אַזוי, דער ווערט פון x = 9.
בייַשפּיל 2: קאַלקולירן פּרייַז באַזירט אויף וואָג
אויב 2 קילאָגראַם צוקער קאָסט 28.000 רופּיז, וויפֿל קאָסט 5 קילאָגראַם?
מיר מאַכן די פּראָפּאָרציע:
\[
\frac{2}{5} = \frac{28000}{x}
\]
אדער איר קענט אויך:
\[
\frac{2 \text{ ק״ג}}{28000} = \frac{5 \text{ ק״ג}}{x}
\]
אבער די גרינגסטע:
\[
\frac{2}{28000} = \frac{5}{x}
\]
קראָס מולטיפּליקאַציע:
\[
2x = 28000 \מאל 5
\]
\[
2 קס = 140000
\]
\[
רענטגענ = קסנומקס
\]
אַזוי דער פּרייַז פֿון 5 קילאָ צוקער איז 70.000 רופּיז.
בייַשפּיל 3: באַשטימען גרעסערע בראָכציילן
פאַרגלייכן:
\[
\frac{3}{5} \text{ און } \frac{4}{7}
\]
ניצן קראָס-מולטיפּליקאַציע:
– 3 × 7 = 21
– 4 × 5 = 20
זינט 21 > 20, דעמאלט:
\[
\frac{3}{5} > \frac{4}{7}
\]
קראָס-מולטיפּליקאַציע מאַכט עס גרינגער פֿאַר אונדז צו פֿאַרגלײַכן בראָכצאָלן אָן זיי צו דאַרפֿן קאָנווערטירן צו דעצימאַלן.
געוויינטלעכע טעותים אין קראָס מולטיפּליקאַציע
כאָטש עס קוקט גרינג אויס, זענען דאָ עטלעכע טעותים וואָס פּאַסירן אָפט:
1. פאַלש איבערשרייבן די נומערן
למשל, טאפלען a מיט c (עס זאל זיין a מיט d).
2. נישט אויפהאלטן די פראפארציעס
קראָס-מולטיפּליקאַציע גילט פֿאַר צוויי עקוויוואַלענטע בראָכציילן (אין דער פֿאָרעם "=").
3. פאַלש שטעלן איינהייטן
אין מעשה פראבלעמען, מוזן איינסן זיין קאנסיסטענט (ק"ג מיט ק"ג, סענטימעטער מיט סענטימעטער, און אזוי ווייטער).
4. פארגעסן צו צעטיילן נאכדעם וואס מען באקומט די גלייכונג
למשל: דו האסט שוין באקומען 36 = 4x, אבער דו האסט נישט ווייטער געגאנגען צו x = 9.
כּדי צו פֿאַרמײַדן טעותים, זאָלט איר שטענדיק איבערקוקן די טריט און זיכער מאַכן אַז די וועריאַבלען זענען אין דער ריכטיקער פּאָזיציע.
קראָס מולטיפּליקאַטיאָן אין וואָכעדיק לעבן
קראָס-מאַלטיפּליקאַציע ווערט נישט נאָר גענוצט אין מאַטעמאַטיק טעסטן. אין פילע פאַקטישע סיטואַציעס קומט דער באַגריף אַרויף אָן אַז מיר זאָלן עס אפילו באַמערקן.
1. קאָכן רעצעפּטן
אויב די רעצעפּט רופט פֿאַר 2 לעפֿל צוקער פֿאַר 4 פּאָרציעס, דאַן פֿאַר 10 פּאָרציעס:
\[
\frac{2}{4} = \frac{x}{10}
רעכטס־פֿײַל 2 מאָל 10 = 4x
\רעכטער פײַל 20 = 4x
רעכטער פײַל x = 5
\]
דאַרף 5 לעפֿלעך צוקער.
2. מאַפּע וואָג
אויב די סקאַלע איז 1:50.000, מיינט עס אַז 1 ס״מ אויף דער מאַפּע = 50.000 ס״מ אין דער ווירקלעכקייט (500 מעטער). אויב די דיסטאַנץ אויף דער מאַפּע איז 3 ס״מ, איז די פאַקטישע דיסטאַנץ 1.500 מעטער.
מיט פּראָפּאָרציעס:
\[
\frac{1}{500} = \frac{3}{x}
\]
קראָס-מאָלטיפּליקאַציע קען גענוצט ווערן צו געפֿינען x.
3. גיכקייט און צייט
אויב די אויטאָ פארט 120 קילאָמעטער אין 2 שעה, דעמאָלט אין 5 שעה (מיט אַ קאָנסטאַנטער גיכקייט):
\[
\frac{120}{2} = \frac{x}{5}
רעכטס־פֿײַל 120 מאָל 5 = 2x
\רעכטער פײַל 600 = 2x
רעכטער פײַל x = 300
\]
די דיסטאַנץ באדעקט איז 300 קילאָמעטער.
קעסימפּולאַן
קראָס-מולטיפּליקאַציע איז אַ וויכטיקע מעטאָדע פֿאַר סאָלווינג פּראָפּאָרציעס און פּראָפּאָרציעס. עס אַרבעט דורך קראָס-מולטיפּליקירן דעם ציילער פֿון איין בראָכצאָל מיטן נענער פֿון אַן אַנדערן, וואָס רעזולטירט אין אַ גלייכונג וואָס איז גרינגער צו סאָלווען. פֿאַרשטיין קראָס-מולטיפּליקאַציע דערמעגלעכט אונדז צו סאָלווען פֿאַרשידענע מאַטעמאַטישע פּראָבלעמען שנעלער און גענוי, און עס קען אויך ווערן געווענדט אין פֿילע טעגלעכע סיטואַציעס, ווי רעכענען פּרייזן, רעכענען וואָג, רעצעפּטן, און רעכענען דיסטאַנסן און צייט.
אויב איר ווילט, קען איך אייך אויך העלפן שאַפֿן אַ פּשוטערע ווערסיע פֿון דעם אַרטיקל פֿאַר עלעמענטאַרע/מיטלשולע סטודענטן, אָדער אַ מער אַקאַדעמישע ווערסיע מיט פּראַקטיק־פֿראַגעס און דיסקוסיעס.
