การเคลื่อนที่แบบหมุน – ปัญหาและวิธีแก้ไข

การเคลื่อนที่แบบหมุน – ปัญหาและวิธีแก้ไข

แรงบิด

1. คานยาว 140 ซม. มีแรงสามแรงกระทำต่อคาน คือ F1 ₌ 20 N, F2 ₌ 10 N และ F3 ₌ 40 N โดยมีทิศทางและตำแหน่งดังแสดงในรูปด้านล่าง จงหาแรงบิดที่ทำให้คานหมุนรอบจุดศูนย์กลางมวลของคาน

เป็นที่รู้จัก :

จุดศูนย์กลางมวลอยู่ที่กึ่งกลางของคาน

ความยาวของคาน (l) = 140 ซม. = 1.4 เมตร

แรง 1 (F ₁ ) = 20 N, แขนคาน 1 (l ₁ ) = 70 ซม. = 0.7 เมตร

แรงที่ 2 (F ₂ ) = 10 N, แขนคานที่ 2 (l ₂ ) = 100 ซม. – 70 ซม. = 30 ซม. = 0.3 เมตร

แรง 3 (F ₃ ) = 40 N, แขนคาน 3 (l ₃ ) = 70 ซม. = 0.7 เมตร

ต้องการทราบ:ขนาดของแรงบิด

วิธีการแก้ปัญหา:

แรงบิด 1 ทำให้คานหมุนตามเข็มนาฬิกา ดังนั้นจึงกำหนดเครื่องหมายลบให้กับแรงบิด 1

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (20 N)(0.7 m) = -14 N m

แรงบิด 2 หมุนคานทวนเข็มนาฬิกา ดังนั้นจึงกำหนดเครื่องหมายบวกให้กับแรงบิด 2

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10 N)(0.3 m) = 3 N m

แรงบิด 3 ทำให้คานหมุนตามเข็มนาฬิกา ดังนั้นจึงกำหนดเครื่องหมายบวกให้กับแรงบิด 3

τ ₃ = F ₃ l3 = (40 N)(0.7 m) = -28 N m

แรงบิดสุทธิ:

Στ = -14 นิวตันเมตร + 3 นิวตันเมตร – 28 นิวตันเมตร = – 42 นิวตันเมตร + 3 นิวตันเมตร = -39 นิวตันเมตร

ขนาดของแรงบิดคือ 39 นิวตันเมตร ทิศทางการหมุนของคานเป็นทิศทางตามเข็มนาฬิกา ดังนั้นจึงกำหนดเครื่องหมายลบให้

2. แรงบิดสุทธิที่กระทำต่อคานคืออะไร แกนหมุนอยู่ที่จุด D (sin 53 ^° = 0.8)

เป็นที่รู้จัก :

แกนหมุนที่จุด D

F ₁ = 10 N และ l ₁ = r ₁ sin θ = (40 ซม.)(sin 53 ^o ) = (0.4 ม.)(0.8) = 0.32 เมตร

F ₂ = 10√2 N และ l ₂ = r ₂ sin θ = (20 ซม.)(sin 45 ^o ) = (0.2 ม.)(0.5√2) = 0.1√2 เมตร

F ₃ = 20 N และ l ₃ = r ₁ sin θ = (10 ซม.)(sin 90 ^o ) = (0.1 ม.)(1) = 0.1 เมตร

ต้องการทราบ:แรงบิดสุทธิ

วิธีการแก้ปัญหา:

τ ₁ = F ₁ลิตร₁ = (10 นิวตัน)(0.32 ม.) = 3.2 นิวตันเมตร

(แรงบิด 1 ทำให้คานหมุนทวนเข็มนาฬิกา ดังนั้นเราจึงกำหนดเครื่องหมายบวกให้กับแรงบิด 1)

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10√2 N)( 0.1√2 m) = -2 Nm

(แรงบิด 2 ทำให้คานหมุนตามเข็มนาฬิกา ดังนั้นเราจึงกำหนดเครื่องหมายลบให้กับแรงบิด 2)

τ ₃ = F ₂ลิตร₂ = (20 นิวตัน)(0.1 ม.) = 2 นิวตันเมตร

(แรงบิด 3 ทำให้คานหมุนทวนเข็มนาฬิกา ดังนั้นเราจึงกำหนดเครื่องหมายบวกให้กับแรงบิด 3)

แรงบิดสุทธิ:

Στ = τ ₁ – τ ₁ + τ ₃

Στ = 3.2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3.2 นิวตันเมตร

3. แรงบิดสุทธิมีค่าเท่าใด ถ้าแกนหมุนอยู่ที่จุด D (sin 53 ^° = 0.8)

เป็นที่รู้จัก :

แกนหมุนอยู่ที่จุด D

ระยะห่างระหว่าง F ₁กับแกนหมุน (r _AD ) = 40 ซม. = 0.4 ม.

ระยะห่างระหว่าง F ₂กับแกนหมุน (r _BD ) = 20 ซม. = 0.2 ม.

ระยะห่างระหว่าง F ₃กับแกนหมุน (r _CD ) = 10 ซม. = 0.1 ม.

F ₁ = 10 นิวตัน

F ₂ = 10√2 นิวตัน

F ₃ = 20 นิวตัน

ไซน์ 53 ^° = 0.8

ต้องการทราบ:แรงบิดสุทธิ

วิธีการแก้ปัญหา:

โมเมนต์ของแรง1

Στ ₁ = (F ₁ )(r _AD sin 53 ^o ) = (10 N)(0.4 ม.)(0.8) = 3.2 Nm

(แรงบิด 1 ทำให้คานหมุนทวนเข็มนาฬิกา ดังนั้นเราจึงกำหนดเครื่องหมายบวกให้กับแรงบิด 1)

โมเมนต์ของแรง 2

Στ ₂ = (F ₂ )(r _BD sin 45 ^o ) = (10√2 N)(0.2 ม.)(0.5√2) = -2 Nm

(แรงบิด 2 ทำให้คานหมุนตามเข็มนาฬิกา ดังนั้นเราจึงกำหนดเครื่องหมายลบให้กับแรงบิด 2)

โมเมนต์ของแรง 3

Στ ₃ = (F ₃ )(r _CD sin 90 ^o ) = (20 N)(0.1 ม.)(1) = 2 Nm

(แรงบิด 2 ทำให้คานหมุนทวนเข็มนาฬิกา ดังนั้นเราจึงกำหนดเครื่องหมายบวกให้กับแรงบิด 3)

แรงบิดสุทธิ:

Στ = Στ ₁ + Στ ₂ + Στ ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 นิวตันเมตร

โมเมนต์ความเฉื่อย

4. ความยาวของลวด = 12 ม., l ₁ = 4 ม. ไม่ต้องพิจารณามวลของลวด จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยของระบบ

เป็นที่รู้จัก :

มวลของ A (m _A ) = 0.2 กก.

มวลของ B (m _B ) = 0.6 กก.

ระยะห่างระหว่างจุด A กับแกนหมุน (r _A ) = 4 เมตร

ระยะห่างระหว่างจุด B กับแกนหมุน (r _B ) = 12 – 4 = 8 เมตร

ต้องการทราบ:โมเมนต์ความเฉื่อยของระบบ

วิธีการแก้ปัญหา:

โมเมนต์ความเฉื่อยของ A

ฉัน_A = (ม_A )(r _A ² ) = (0.2)(4) ² = (0.2)(16) = 3.2 กก. ม. ²

โมเมนต์ความเฉื่อยของ B

I _B = (m _B )(r _B ² ) = (0.6)(8) ² = (0.6)(64) = 38.4 kg m ²

โมเมนต์ความเฉื่อยของระบบ:

I = I _A + I _B = 3.2 + 38.4 = 41.6 กก. ม. ²

พลศาสตร์การหมุน

5. มีแรง 6 นิวตันกระทำต่อเชือกที่พันรอบรอกซึ่งมีมวล M = 5 กิโลกรัมและรัศมี R = 20 เซนติเมตร จงหาความเร่งเชิงมุมของรอก รอกเป็นทรงกระบอกตันสม่ำเสมอ

เป็นที่รู้จัก :

แรง (F) = 6 นิวตัน

มวล (M) = 5 กก.

รัศมี (R) = 20 ซม. = 20/100 ม. = 0.2 ม.

ต้องการทราบ: ความเร่งเชิงมุม (α)

วิธีการแก้ปัญหา:

ช่วงเวลาแห่งแรง:

τ = FR = (6 นิวตัน)(0.2 เมตร) = 1.2 N m

โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกระบอกตัน:

I = 1/2 MR ²

I = 1/2 (5 กก.)(0.2 ม.) ²

I = 1/2 (5 กก.)(0.04 ม. ^² )

I = 1/2 (0.2)

I = 0.1 กก. ม. ^²

ความเร่งเชิงมุม :

τ = ฉัน α

α = τ / I = 1.2 / 0.1 = 12 rad s ^-2

6. วัตถุมวล 4 กิโลกรัม แขวนอยู่กับเชือกที่พันรอบรอกมวล 8 กิโลกรัม รัศมี R = 10 เซนติเมตร ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงคือ 10 ms⁻² ^จงหาความเร่งเชิงเส้นของวัตถุ รอกเป็นทรงกระบอกตันสม่ำเสมอ

เป็นที่รู้จัก :

มวลของรอก (เมตร) = 8 กิโลกรัม

รัศมีของรอก (r) = 10 ซม. = 0.1 ม.

มวลของบล็อก (เมตร) = 4 กิโลกรัม

ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วง (g) = 10 m/ ^s²

น้ำหนัก (w) = มิลลิกรัม = (4 กิโลกรัม)(10 เมตร/วินาที^² ) = 40 กิโลกรัม เมตร/วินาที^² = 40 นิวตัน

ต้องการทราบ:ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของวัตถุ

วิธีการแก้ปัญหา:

โมเมนต์ความเฉื่อยของทรงกระบอกตัน:

I = 1/2 MR ² = 1/2 (8 กก.)(0.1 ม.) ² = (4 กก.)(0.01 ม. ² ) = 0.04 กก. ม. ²

ช่วงเวลาแห่งแรง:

τ = F r = (40 นิวตัน)(0.1 ม.) = 4 นิวตันเมตร

ความเร่งเชิงมุม :

Στ = I α

4 = 0.04 α

α = 4 / 0.04 = 100

ความเร่งเชิงเส้น :

a = r α = (0.1)(100) = 10 เมตรต่อวินาที²

7. วัตถุมีมวล m แขวนอยู่กับเชือกที่พันรอบรอก ถ้า ความเร่ง เนื่องจากแรงโน้มถ่วงของวัตถุคือ am/s² ^จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยของรอก

เป็นที่รู้จัก :

น้ำหนัก = w = มิลลิกรัม

แขนคาน = R

ความเร่งเชิงมุม = α

ความเร่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงของบล็อก = a ^ms⁻²

ต้องการทราบ:โมเมนต์ความเฉื่อยของรอก (I)

วิธีการแก้ปัญหา:

ความสัมพันธ์ระหว่างความเร่งเชิงเส้นและความเร่งเชิงมุม:

a = R α

α = a / R

โมเมนต์ความเฉื่อย:

τ = ฉัน α

ฉัน = τ : α = τ : a / R = τ (R / a) = τ R a ^-1

โมเมนตัมเชิงมุม

8. อนุภาคมวล 0.2 กรัม เคลื่อนที่เป็นวงกลมด้วยความเร็วคงที่ 10 เมตร/วินาที รัศมีของวงกลมคือ 3 เซนติเมตร โมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาคนี้มีค่าเท่าใด

เป็นที่รู้จัก :

มวลของอนุภาค (m) = 0.2 กรัม = 2 x ^10⁻⁴กิโลกรัม

ความเร็วเชิงมุม (ω) = 10 เรเดียนต่อ^{วินาที}

รัศมี (r) = 3 ซม. = 3 x ^10⁻²เมตร

ต้องการทราบ:โมเมนตัมเชิงมุมของอนุภาค

วิธีการแก้ปัญหา:

สมการของโมเมนตัมเชิงมุม:

L = I ω

I = โมเมนตัมเชิงมุม, I = โมเมนต์ความเฉื่อย, ω = ความเร็วเชิงมุม

โมเมนต์ความเฉื่อย (สำหรับอนุภาค) :

I = mr ² = (2 x 10 ^-4 )(3 x 10 ^-2 ) ² = (2 x 10 ^-4 )(9 x 10 ^-4 ) = 18 x 10 ^-8

โมเมนตัมเชิงมุม :

L = I ω = (18 x 10 ^-8 )(10 rad s ^-1 ) = 18 x 10 ^-7 kg m ² s ^-1

1. การเคลื่อนที่แบบหมุนคืออะไร?
   • คำตอบการเคลื่อนที่แบบหมุน หมายถึง การเคลื่อนที่ของวัตถุรอบแกนคงที่ เป็นการเคลื่อนที่ที่ทุกจุดของวัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลมรอบแกนนั้น
2. ความเร็วเชิงเส้นมีความสัมพันธ์กับความเร็วเชิงมุมอย่างไรในการเคลื่อนที่แบบหมุน?
   • คำตอบ: ความเร็วเชิงเส้น ($v$) ของจุดในวัตถุที่กำลังหมุนจะแปรผันตรงกับระยะห่างของจุดนั้น ($r$) จากแกนการหมุนและความเร็วเชิงมุม ($\omega$) ของวัตถุ ความสัมพันธ์กำหนดโดย $v=r\cdot \omega$.
3. โมเมนต์ความเฉื่อยคืออะไร และมีความสัมพันธ์กับการเคลื่อนที่แบบหมุนอย่างไร?
   • คำตอบโมเมนต์ความเฉื่อยคือสิ่งที่เทียบได้กับมวลในการเคลื่อนที่เชิงเส้น มันวัดความต้านทานของวัตถุต่อการเปลี่ยนแปลงสถานะการหมุน โมเมนต์ความเฉื่อยขึ้นอยู่กับทั้งมวลของวัตถุและการกระจายตัวของมวลนั้นเทียบกับแกนการหมุน
4. กฎการเคลื่อนที่ข้อแรกของนิวตันใช้ได้กับการเคลื่อนที่แบบหมุนอย่างไร?
   • คำตอบเช่นเดียวกับวัตถุที่เคลื่อนที่ในแนวเส้นตรงจะยังคงเคลื่อนที่ต่อไปเว้นแต่จะมีแรงภายนอกมากระทำ วัตถุที่เคลื่อนที่แบบหมุนก็จะยังคงอยู่ในสถานะนั้นเว้นแต่จะมีแรงบิดภายนอกมากระทำ
5. รัศมีไจเรชันมีความสำคัญอย่างไร?
   • คำตอบรัศมีไจเรชันเป็นตัววัดการกระจายตัวของมวลของวัตถุออกจากแกนหมุน โดยหลักแล้วมันอธิบายว่ามวลทั้งหมดของวัตถุจะต้องกระจุกตัวอยู่ห่างจากแกนหมุนมากแค่ไหนจึงจะมีโมเมนต์ความเฉื่อยเท่ากับการกระจายตัวแบบเดิม
6. โมเมนตัมเชิงมุมคืออะไร และมีการอนุรักษ์อย่างไร?
   • คำตอบโมเมนตัมเชิงมุมคือสิ่งที่เทียบเท่ากับโมเมนตัมเชิงเส้นในเชิงการหมุน มันคือผลคูณของโมเมนต์ความเฉื่อยและความเร็วเชิงมุมของวัตถุ ในระบบปิด โมเมนตัมเชิงมุมรวมจะคงที่ เว้นแต่จะถูกกระทำโดยแรงบิดภายนอก ซึ่งแสดงให้เห็นถึงหลักการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุม
7. แรงบิดมีอิทธิพลต่อการเคลื่อนที่แบบหมุนอย่างไร?
   • คำตอบแรงบิดคือแรงที่เทียบเท่ากับแรงหมุน มันทำให้เกิดการเปลี่ยนแปลงในการเคลื่อนที่แบบหมุนของวัตถุ ความสัมพันธ์นี้แสดงโดยกฎข้อที่สองของนิวตันเกี่ยวกับการหมุน: $\tau =I\cdot \alpha$ที่นี่มี $\tau$ คือแรงบิด $I$ คือโมเมนต์ความเฉื่อย และ $\alpha$ คือความเร่งเชิงมุม
8. จุดศูนย์กลางมวลแตกต่างจากจุดศูนย์กลางการหมุนอย่างไร?
   • คำตอบแม้ว่าจุดศูนย์กลางมวลและจุดศูนย์กลางการหมุนอาจตรงกันได้ แต่สำหรับการคำนวณการเคลื่อนที่เชิงเส้น จุดศูนย์กลางมวลคือจุดที่สามารถสันนิษฐานได้ว่ามวลทั้งหมดของวัตถุรวมอยู่ที่จุดนั้น ในขณะที่จุดศูนย์กลางการหมุนคือจุด (หรือแกน) ที่วัตถุหมุนรอบ
9. แรงสู่ศูนย์กลางมีบทบาทอย่างไรในการเคลื่อนที่แบบหมุน?
   • คำตอบแรงสู่ศูนย์กลาง คือ แรงลัพธ์ที่กระทำต่อวัตถุที่เคลื่อนที่ในวิถีโค้งเป็นวงกลม โดยมีทิศทางพุ่งเข้าสู่จุดศูนย์กลางการหมุน แรงสู่ศูนย์กลางมีหน้าที่ในการรักษาวัตถุให้อยู่ในวิถีโค้ง และป้องกันไม่ให้วัตถุเคลื่อนที่ในเส้นตรงเนื่องจากแรงเฉื่อย

10. พลังงานจลน์จากการหมุนมีความสัมพันธ์กับโมเมนต์ความเฉื่อยและความเร็วเชิงมุมอย่างไร?

    • คำตอบพลังงานจลน์จากการหมุน คือพลังงานที่เกิดจากการหมุนของวัตถุรอบแกน โดยคำนวณได้จากสูตร: KE_{rotational​}=1/2 ​I ω²ที่นี่มี $I$ คือโมเมนต์ความเฉื่อยและ $\omega$ คือความเร็วเชิงมุม