โมเมนต์ความเฉื่อยของอนุภาค – ปัญหาและวิธีแก้ไข

โมเมนต์ความเฉื่อยของอนุภาค – ปัญหาและวิธีแก้ไข

1. ลูกบอลสองลูกเชื่อมต่อกันด้วยแท่ง ดังแสดงในรูปด้านล่าง ไม่ต้องพิจารณามวลของแท่ง มวลของลูกบอล P คือ 600 กรัม และมวลของลูกบอล Q คือ 400 กรัม โมเมนต์ความเฉื่อยของระบบรอบจุด AB คือเท่าใด

เป็นที่รู้จัก :

แกนหมุนคือ AB

m _p = 600 กรัม = 0.6 กิโลกรัม, m _q = 400 กรัม = 0.4 กิโลกรัม

r _p = 20 ซม. = 0.2 ม., r _q = 50 ซม. = 0.5 ม.

ต้องการทราบ:โมเมนต์ความเฉื่อยของระบบ

วิธีการแก้ปัญหา:

I = m _p r _p ² + m _q r _q ²

I = (0.6 กก.)(0.2 ม.) ² + (0.4 กก.)(0.5 ม.) ²

I = (0.6 กก.)(0.04 ตร.ม. ⁾ + (0.4 กก. ) (0.25 ตร.ม. ⁾

I = 0.024 กก. ม. ^² + 0.1 กก. ม. ^²

I = 0.124 กก. ม. ²

2. แท่ง AB มวล 2 กิโลกรัม หมุนรอบจุด A โดยที่โมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งคือ 8 กก.ม. ^²ถ้าหมุนรอบจุด O (AO = OB) โมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งจะเป็นเท่าใด

เป็นที่รู้จัก :

มวลของแท่ง AB (เมตร) = 2 กิโลกรัม

ถ้าหมุนรอบจุด A โดยที่รัศมีของการหมุน (r) = ความยาว AB = r แล้ว โมเมนต์ความเฉื่อย (I) = 8 kg ^m²

ต้องการทราบว่าถ้าแท่งโลหะหมุนรอบจุด O โดยที่รัศมีของการหมุน (r) = ความยาวของ AO = ความยาวของ OB = 1/2 r แล้ว โมเมนต์ความเฉื่อยของแท่งโลหะนี้คือเท่าใด

วิธีการแก้ปัญหา:

ฉัน = นาย²

8 กก. ม. ² = (2 กก.) ร²

8 m ² = (2) r ²

r ² = 8 m ² / 2

r ² = 4 m ²

r = 2 เมตร

ถ้าหมุนรอบจุด O โดยที่ ½ r = 1 เมตร แล้วโมเมนต์ความเฉื่อยคือ:

I = mr ² = (2 kg)(1 m ) ² = (2 kg)(1 m ² ) = 2 kg m ²

3. ลูกบอลสองลูกเชื่อมต่อกันด้วยแท่งดังแสดงในรูปด้านล่าง ไม่ต้องพิจารณามวลของแท่ง จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยของระบบนี้

เป็นที่รู้จัก :

มวลของลูกบอล A (ม.)_A) = 200 กรัม = 0.2 กิโลกรัม

มวลของลูกบอล B (m _B ) = 400 กรัม = 0.4 กิโลกรัม

ระยะห่างระหว่างลูกบอล A กับแกนหมุน (r _A ) = 0

ระยะห่างระหว่างลูกบอล B กับแกนหมุน (r _B ) = 25 ซม. = 0.25 ม.

ต้องการทราบ:โมเมนต์ความเฉื่อยของระบบ

วิธีการแก้ปัญหา:

โมเมนต์ความเฉื่อยของลูกบอล A :

I _A = (m _A )(r _A ² ) = (0.2)(0) ² = 0

โมเมนต์ความเฉื่อยของลูกบอล B :

I _B = (m _B )(r _B ² ) = (0.4)(0.25) ² = (0.4)(0.0625) = 0.025 kg m ²

โมเมนต์ความเฉื่อยของระบบ:

I = I _A + I _B = 0 + 0.025 = 0.025 กก./ ^ตร.ม. = 25 x ^10⁻³กก./ ^ตร.ม.

4. อนุภาคสี่อนุภาคที่มีมวลต่างกัน ดังแสดงในรูปด้านล่าง จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยของระบบนี้รอบเส้นแนวนอน P

Solution

แกนหมุนคือเส้นแนวนอน P

เป็นที่รู้จัก :

มวลของอนุภาค A (m _A ) = m

มวลของอนุภาค B (m _B ) = 2m

มวลของอนุภาค C (m _C ) = 3m

การผ่านของอนุภาค D (m _D ) = 4m

ระยะห่างระหว่างอนุภาค A กับแกนหมุน (r _A ) = b

ระยะห่างระหว่างอนุภาค B กับแกนหมุน (r _B ) = b

ระยะห่างระหว่างอนุภาค C กับแกนหมุน (r _C ) = 2b

ระยะห่างระหว่างอนุภาค D กับแกนหมุน (r _D ) = 2b

ต้องการทราบ:โมเมนต์ความเฉื่อยของระบบรอบเส้นแนวนอน P

วิธีการแก้ปัญหา:

I = m _A r _A ² + m _B r _B ² + m _C r _C ² + m _D r _D ²

ผม = (ม.)(ข) ² + (2ม.)(ข) ² + (3ม.)(2b) ² + (4ม.)(2b) ²

ผม = เมกะไบต์² + 2 เมกะไบต์² + (3m)(4b ² ) + (4m)(4b ² )

ผม = เมกะไบต์² + 2 เมกะไบต์² + 12 เมกะไบต์² + 16 เมกะไบต์²

I = 31 mb ²

5. อนุภาคสี่ตัวเชื่อมต่อกันด้วยแท่ง ไม่ต้องพิจารณามวลของแท่ง จงหาโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกนหมุนที่ผ่านอนุภาค m1 _และ m2 _ดังแสดงในรูปด้านล่าง

ที่รู้จักกัน

มวลของอนุภาคที่ 1 (ม.)₁) = 1/4 กก.

มวลของอนุภาคที่ 2 (m ₂ ) = 1/2 กก.

มวลของอนุภาคที่ 3 (m ₃ ) = 1/4 กก.

มวลของอนุภาคที่ 4 (m ₄ ) = 1/4 กก.

ระยะห่างระหว่างอนุภาคที่ 1 กับแกนหมุน (r ₁ ) = 0

ระยะห่างระหว่างอนุภาคที่ 2 กับแกนหมุน (r ₂ ) = 0

ระยะห่างระหว่างอนุภาคที่ 3 กับแกนหมุน (r ₃ ) = 10 ซม. = 10/100 ม. = 1/10 ม.

ระยะห่างระหว่างอนุภาคที่ 4 กับแกนหมุน (r ₄ ) = 10 ซม. = 10/100 ม. = 1/10 ม.

ต้องการทราบ:โมเมนต์ความเฉื่อย

วิธีการแก้ปัญหา:

I = m ₁ r ₁ ² + m ₂ r ₂ ² + m ₃ r ₃ ² + m ₄ r ₄ ²

I = (1/4)(0) ² + (1/2)(0) ² + (1/4)(1/10) ² + (1/4)(1/10) ²

I = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

I = 1/400 + 1/400

ฉัน = 2/400

I = 1/200 กก.ม. ^²

1. โมเมนต์ความเฉื่อยของอนุภาคคืออะไร?
   • คำตอบ: สำหรับอนุภาคเดี่ยวที่มีมวล $m$ ในระยะไกล $r$ จากแกนหมุน โมเมนต์ความเฉื่อยของมัน $I$ ได้รับจาก I=m×r².
2. เหตุใดโมเมนต์ความเฉื่อยจึงมักถูกเรียกว่าเป็น "ตัวเทียบเคียงเชิงการหมุน" ของมวล?
   • คำตอบเช่นเดียวกับที่มวลเป็นตัววัดความต้านทานของวัตถุต่อการเปลี่ยนแปลงในการเคลื่อนที่เชิงเส้น (เนื่องจากกฎข้อที่สองของนิวตัน) โมเมนต์ความเฉื่อยก็เป็นตัววัดความต้านทานของวัตถุต่อการเปลี่ยนแปลงในการเคลื่อนที่เชิงหมุนเช่นกัน
3. การเปลี่ยนระยะห่างของอนุภาคจากแกนหมุนส่งผลต่อโมเมนต์ความเฉื่อยของอนุภาคอย่างไร?
   • คำตอบโมเมนต์ความเฉื่อยแปรผันตรงกับกำลังสองของระยะห่างจากแกนหมุน ถ้าเพิ่มระยะห่างเป็นสองเท่า โมเมนต์ความเฉื่อยจะเพิ่มขึ้นเป็นสี่เท่า
4. เหตุใดกำลังสองของระยะทาง (r) จึงเป็น²) ใช้ในสูตรคำนวณโมเมนต์ความเฉื่อยแทนที่จะใช้แค่ระยะทางใช่หรือไม่?
   • คำตอบ: มีการใช้กำลังสองของระยะทางเนื่องจากลักษณะการทำงานของพลังงานจลน์ในการหมุน ในการเคลื่อนที่แบบหมุน อนุภาคแต่ละตัวของวัตถุจะมีส่วนช่วยในพลังงานจลน์ของการหมุนโดยขึ้นอยู่กับทั้งมวลและระยะห่างจากแกนหมุนยกกำลังสอง
5. โมเมนต์ความเฉื่อยของอนุภาคจะเปลี่ยนแปลงอย่างไร หากมวลของอนุภาคเพิ่มขึ้นเป็นสามเท่า ในขณะที่ระยะห่างจากแกนยังคงเท่าเดิม?
   • คำตอบถ้ามวลเพิ่มขึ้นเป็นสามเท่าและระยะทางคงที่ โมเมนต์ความเฉื่อยก็จะเพิ่มขึ้นเป็นสามเท่าเช่นกัน เพราะโมเมนต์ความเฉื่อยแปรผันตรงกับมวล
6. อนุภาคสามารถมีโมเมนต์ความเฉื่อยเป็นศูนย์ได้หรือไม่? ถ้าได้ จะต้องอยู่ภายใต้เงื่อนไขใด?
   • คำตอบใช่แล้ว อนุภาคจะมีโมเมนต์ความเฉื่อยเป็นศูนย์ ถ้ามันอยู่ตรงแกนหมุนพอดี ทำให้ระยะห่างระหว่างอนุภาคกับแกนหมุนเป็นศูนย์ $r$ จากแกนที่เท่ากับศูนย์
7. เหตุใดวัตถุต่างชนิดกันที่มีมวลและขนาดเท่ากัน จึงมีโมเมนต์ความเฉื่อยต่างกันเมื่อหมุนรอบแกนที่แตกต่างกัน?
   • คำตอบการกระจายมวลรอบแกนหมุนเป็นตัวกำหนดโมเมนต์ความเฉื่อย แม้ว่าวัตถุสองชิ้นจะมีมวลและขนาดเท่ากัน แต่การกระจายมวลของวัตถุทั้งสองเทียบกับแกนหมุนอาจแตกต่างกัน ทำให้ได้โมเมนต์ความเฉื่อยที่แตกต่างกัน
8. โมเมนต์ความเฉื่อยเป็นปริมาณสเกลาร์หรือปริมาณเวกเตอร์?
   • คำตอบโมเมนต์ความเฉื่อยเป็นปริมาณสเกลาร์ อย่างไรก็ตาม สำหรับวัตถุแข็งเกร็งที่มีรูปร่างซับซ้อนและมีแกนหมุนหลายแกน จะใช้เทนเซอร์แทน
9. ถ้าอนุภาคสองอนุภาค แต่ละอนุภาคมีมวลเท่ากัน $m$ตั้งอยู่ห่างกันเป็นระยะ r_1​ และ r₂​ เมื่อพิจารณาจากแกนหมุน โมเมนต์ความเฉื่อยรวมคือเท่าใด?
   • คำตอบโมเมนต์ความเฉื่อยของอนุภาคแต่ละตัวสามารถบวกกันได้ ดังนั้น โมเมนต์ความเฉื่อยรวมจึงสามารถบวกกันได้ I=m×r₁^{2 ​}+ m×r₂^2​.

10. โมเมนต์ความเฉื่อยมีความสัมพันธ์กับการอนุรักษ์โมเมนตัมเชิงมุมอย่างไร?

    • คำตอบโมเมนตัมเชิงมุม $L$ คือผลคูณของโมเมนต์ความเฉื่อย $I$ และความเร็วเชิงมุม $\omega$ซึ่งแสดงโดยสมการ $L=I\times \omega$หากไม่มีแรงบิดภายนอกมากระทำต่อระบบ โมเมนตัมเชิงมุมจะคงที่ นั่นหมายความว่า หากโมเมนต์ความเฉื่อยเปลี่ยนแปลง (เช่น นักสเก็ตลีลาหดแขนเข้า) ความเร็วเชิงมุมจะต้องปรับเปลี่ยนเพื่อให้ผลคูณคงที่