Perkalian silang menggunakan komponen vektor satuan

Materi Perkalian Silang Menggunakan Komponen Vektor Satuan

Kita dapat menghitung perkalian silang secara langsung jika kita mengetahui komponen vektor yang diketahui. Urutannya sama dengan perkalian titik. Pertama-tama, kita lakukan perkalian antara vektor-vektor satuan i, j dan k. Hasil perkalian vektor antara vektor satuan yang sama adalah nol.

i x i = j x j = k x k = 0

Dengan berpedoman pada persamaan perkalian vektor yang telah diturunkan sebelumnya (A x B = AB sin θ) dan sifat anti komutatif dari perkalian vektor (A x B = – B x A), maka kita peroleh :

i x j = -j x i = k

j x k = -k x j = i

k x i = –i x k = j

Sekarang kita nyatakan vektor A dan B dalam komponen-komponennya, menguraikan perkaliannya dan menggunakan perkalian dari vektor-vektor satuannya.

A x B = (A_xi + A_yj + A_zk) x (B_xi + B_yj + B_zk)

A x B = A_xi x B_xi + A_xi x B_yj + A_xi x B_zk +

A_yj x B_xi + A_yj x B_yj + A_yj x B_zk +

A_zk x B_xi + A_zk x B_yj + A_zk x B_zk

A x B = A_xB_x (i x i) + A_xB_y (i x j) + A_x B_z (i x k) +

A_yB_x (j x i) + A_yB_y (j x j) + A_yB_z (j x k) +

A_zB_x (k x i) + A_zB_y (k x j) + A_zB_z (k x k)

Karena i x i = j x j = k x k = 0 dan i x j = –j x i = k,  j x k = –k x j = i, k x i = –i x k = j, maka :

A x B = A_xB_x (0) + A_xB_y (k) + A_x B_z (-j) +

A_yB_x (-k) + A_yB_y (0) + A_yB_z (i) +

A_zB_x (j) + A_zB_y (-i) + A_zB_z (0)

A x B = A_xB_y (k) + A_x B_z (-j) +

A_yB_x (-k) + A_yB_z (i) +

A_zB_x (j) + A_zB_y (-i)

A x B = A_xB_y (k) + A_x B_z (-j) + A_yB_x (-k) + A_yB_z (i) + A_zB_x (j) + A_zB_y (-i)

A x B = (A_yB_z – A_zB_y)i + (A_zB_x – A_x B_z)j + (A_xB_y – A_yB_x )k

Jika C = A x B maka komponen-komponen dari C adalah sebagai berikut :

_Cx = A_yB_z – A_zB_y

_Cy = A_zB_x – A_x B_z

_Cz = A_xB_y – A_yB_x