Perkalian titik

Vektor bukan bilangan biasa sehingga perkalian biasa tidak bisa langsung digunakan pada vektor. Kita harus menggunakan perkalian vektor. Perkalian vektor terdiri dari dua jenis yaitu perkalian titik dan perkalian silang. Perkalian titik disebut juga perkalian skalar karena menghasilkan besaran skalar. Perkalian silang disebut juga perkalian vektor karena menghasilkan besaran vektor. Misalnya terdapat dua vektor, yakni A dan B. Perkalian skalar dari vektor A dan B dinyatakan dengan A.B. Karena menggunakan notasi titik maka perkalian ini dinamakan perkalian titik. Perkalian vektor dari A dan B dinyatakan dengan A x B. Karena menggunakan notasi x, maka perkalian ini disebut perkalian silang.

Misalnya diketahui vektor A dan B sebagaimana tampak pada gambar di bawah. Perkalian titik antara vektor A dan B dituliskan sebagai A.B (A titik B).

Perkalian titik 1Untuk mendefinisikan perkalian titik dari vektor A dan B (A.B), digambarkan vektor A dan vektor B yang membentuk sudut θ. Selanjutnya kita gambarkan proyeksi dari vektor B terhadap arah vektor A. Proyeksi ini adalah komponen dari vektor B yang sejajar dengan vektor A, yang besarnya sama dengan B cos θ.

Perkalian titik 2Dengan demikian, kita definisikan A.B sebagai besar vektor A yang dikalikan dengan komponen vektor B yang sejajar dengan A. Secara matematis dapat kita tulis sebagai berikut :

Perkalian titik 3

AB cos θ merupakan bilangan biasa (skalar). Karenanya perkalian titik disebut juga perkalian skalar. Bagaimana jika perkalian titik antara vektor A dan B dibalik menjadi B.A ? sebelum kita definisikan B.A, terlebih dahulu kita gambarkan proyeksi dari vektor A terhadap vektor B (lihat gambar di bawah).

Perkalian titik 4Berdasarkan gambar ini, kita dapat mendefinisikan B.A sebagai besar vektor B yang dikalikan dengan komponen vektor A yang sejajar dengan B. Secara matematis dapat kita tulis sebagai berikut :

Perkalian titik 5

Hasil perkalian titik A.B = AB cos θ dan hasil perkalian titik B.A = BA cos θ. Karena AB cos θ = BA cos θ, maka berlaku A.B = B.A

Beberapa hal dalam perkalian titik yang perlu anda ketahui :

1.    Perkalian titik memenuhi hukum komutatif

A.B = B.A

2.    Perkalian titik memenuhi hukum distributif

A. (B + C) = A.B + A.C

3.    Jika vektor A dan B saling tegak lurus, maka hasil perkalian titik A.B = 0

Ketika vektor A dan B saling tegak lurus, maka sudut yang dibentuk adalah 90o. Cos 90o = 0. Dengan demikian : A.B = AB cos teta = AB cos 90o = 0. Sebaliknya, B.A = BA cos teta = BA cos 90o = 0

4.    Jika vektor A dan vektor B searah, maka A.B = AB cos 0o = AB

Ketika vektor A dan B searah, maka sudut yang dibentuk adalah 0o. Cos 0 = 1. Dengan demikian, A.B = AB cos teta = AB cos 0o = AB. Sebaliknya B.A = BA cos teta = BA cos 0o = BA

(Anda jangan bingung dengan AB dan BA. Besar AB = besar BA. Misalnya besar vektor A = 2. besar vektor B = 3. maka A.B = 2.3 = 6; ini sama saja dengan B.A = 3.2 = 6.

5. Syarat lain dari dua vektor yang searah, jika A = B maka diperoleh A.A = A2 atau B.B = B2

6. Jika vektor A dan B berlawanan arah (ketika dua vektor berlawanan arah maka sudut yang dibentuk adalah 180º), maka hasil perkalian A.B = AB cos 180º = AB (-1) = -AB.

Cos 180º = -1.

Contoh soal :

Sebuah vektor A memiliki besar 4 satuan dan vektor B memiliki 3 satuan. Tentukan hasil perkalian titik dari kedua vektor jika sudut yang dibentuk oleh kedua vektor adalah 60º, 90º dan 180o

Pembahasan

Karena A.B = B.A maka kita bisa memilih menggunakan salah satu. Misalnya kita menggunakan A.B.

A.B = AB cos teta

Besar A = 4 satuan dan besar B = 3 satuan.

Anda perlu masuk untuk melihat isi sepenuhnya. Silahkan . Bukan Member? Bergabung