Rotatiebeweging – problemen en oplossingen

Rotatiebeweging – problemen en oplossingen

Koppel

1. Een balk heeft een lengte van 140 cm. Er werken drie krachten op de balk: F₁ ₌ 20 N, F₂ ₌ 10 N en F₃ = 40 N, _met de richting en positie zoals weergegeven in de onderstaande figuur. Wat is het koppel dat ervoor zorgt dat de balk roteert om het zwaartepunt van de balk?

Bekend:

Het zwaartepunt bevindt zich in het midden van de balk.

Lengte van de balk (l) = 140 cm = 1.4 meter

Kracht 1 (F ₁ ) = 20 N, de hefboomarm 1 (l ₁ ) = 70 cm = 0.7 meter

Kracht 2 (F ₂ ) = 10 N, de hefboomarm 2 (l ₂ ) = 100 cm – 70 cm = 30 cm = 0.3 meter

Kracht 3 (F ₃ ) = 40 N, de hefboomarm 3 (l ₃ ) = 70 cm = 0.7 meter

Gevraagd: De grootte van het koppel

oplossing:

Het koppel 1 laat de balk met de klok mee draaien, daarom wordt er een negatief teken aan koppel 1 toegekend.

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (20 N)(0.7 m) = -14 N m

Het koppel 2 zorgt ervoor dat de balk tegen de klok in draait, dus kennen we een positief teken toe aan koppel 2.

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10 N)(0.3 m) = 3 N m

Het koppel 3 laat de balk met de klok mee draaien, daarom wordt aan koppel 3 een positief teken toegekend.

τ ₃ = F ₃ l3 = (40 N)(0.7 m) = -28 N m

Het netto koppel:

Στ = -14 Nm + 3 Nm – 28 Nm = – 42 Nm + 3 Nm = -39 Nm

De grootte van het koppel is 39 N·m. De draairichting van de balk is met de klok mee, vandaar het negatieve teken.

2. Wat is het netto koppel dat op de balk werkt? De rotatieas in punt D. (sin 53 ^° = 0.8)

Bekend:

De rotatieas op punt D

F ₁ = 10 N en l ₁ = r ₁ sin θ = (40 cm)(sin 53 ^o ) = (0.4 m)(0.8) = 0.32 meter

F ₂ = 10√2 N en l ₂ = r ₂ sin θ = (20 cm)(sin 45 ^o ) = (0.2 m)(0.5√2) = 0.1√2 meter

F ₃ = 20 N en l ₃ = r ₁ sin θ = (10 cm)(sin 90 ^o ) = (0.1 m)(1) = 0.1 meter

Gevraagd: Het netto koppel

oplossing:

τ ₁ = F ₁ l ₁ = (10 N)(0.32 m) = 3.2 Nm

(Het koppel 1 laat de balk tegen de klok in draaien, dus kennen we een positief teken toe aan koppel 1)

τ ₂ = F ₂ l ₂ = (10√2 N)( 0.1√2 m) = -2 Nm

(Het koppel 2 laat de balk met de klok mee draaien, dus kennen we een negatief teken toe aan het koppel 2.)

τ ₃ = F ₂ l ₂ = (20 N)(0.1 m) = 2 Nm

(Het koppel 3 laat de balk tegen de klok in draaien, dus kennen we een positief teken toe aan koppel 3)

Het netto koppel:

Στ = τ ₁ – τ ₁ + τ ₃

Στ = 3.2 Nm – 2 Nm + 2 Nm

Στ = 3.2 Nm

3. Wat is het netto koppel als de rotatieas in punt D draait? (sin 53 ^° = 0.8)

Bekend:

De rotatieas in punt D.

Afstand tussen F ₁ en de rotatieas (r _AD ) = 40 cm = 0.4 m

Afstand tussen F ₂ en de rotatieas (r _BD ) = 20 cm = 0.2 m

Afstand tussen F ₃ en de rotatieas (r _CD ) = 10 cm = 0.1 m

F ₁ = 10 Newton

F ₂ = 10√2 Newton

F ₃ = 20 Newton

Sin 53 ^° = 0.8

Gevraagd: Het netto koppel

oplossing:

Het moment van de kracht 1

Στ ₁ = (F ₁ )(r _AD sin 53 ^o ) = (10 N)(0.4 m)(0.8) = 3.2 Nm

(Het koppel 1 laat de balk tegen de klok in draaien, dus kennen we een positief teken toe aan koppel 1)

Het moment van de kracht 2

Στ ₂ = (F ₂ )(r _BD sin 45 ^o ) = (10√2 N)(0.2 m)(0.5√2) = -2 Nm

(Het koppel 2 laat de balk met de klok mee draaien, dus kennen we een negatief teken toe aan het koppel 2.)

Het moment van de kracht 3

Στ ₃ = (F ₃ )(r _CD sin 90 ^o ) = (20 N)(0.1 m)(1) = 2 Nm

(Het koppel 2 laat de balk tegen de klok in draaien, dus kennen we een positief teken toe aan koppel 3)

Het netto koppel:

Στ = Στ ₁ + Στ ₂ + Στ ₃

Στ = 3.2 – 2 + 2

Στ = 3.2 Newtonmeter

Het traagheidsmoment

4. Lengte van de draad = 12 m, l1 ₌ 4 m. Verwaarloos de massa van de draad. Wat is het traagheidsmoment van het systeem?

Bekend:

Massa van A (m _A ) = 0.2 kg

Massa van B (m _B ) = 0.6 kg

Afstand tussen A en de rotatieas (rA ₎ = 4 meter

Afstand tussen B en de rotatieas (rB ₎ = 12 – 4 = 8 meter

Gevraagd: Het traagheidsmoment van het systeem

oplossing:

Het traagheidsmoment van A

ik _EEN = (m _EEN )(r _EEN ² ) = (0.2)(4) ² = (0.2)(16) = 3.2 kg m ²

Het traagheidsmoment van B

I _B = (m _B )(r _B ² ) = (0.6)(8) ² = (0.6)(64) = 38.4 kg m ²

Het traagheidsmoment van het systeem:

I = I _A + I _B = 3.2 + 38.4 = 41.6 kg m ²

Rotatiedynamica

5. Een kracht van 6 N wordt uitgeoefend op een koord dat om een ​​katrol met massa M = 5 kg en straal R = 20 cm is gewikkeld. Wat is de hoekversnelling van de katrol? De katrol is een homogene, massieve cilinder.

Bekend:

Kracht (F) = 6 Newton

Massa (M) = 5 kg

Straal (R) = 20 cm = 20/100 m = 0.2 m

Gezocht: Hoekversnelling (α)

oplossing:

Het moment van de kracht:

τ = FR = (6 Newton)(0.2 meter) = 1.2 N·m

Het traagheidsmoment van een massieve cilinder:

I = 1/2 MR ²

I = 1/2 (5 kg)(0.2 m) ²

I = 1/2 (5 kg)(0.04 ^m² )

I = 1/2 (0.2)

I = 0.1 kg m ².

De hoekversnelling:

τ = I α

α = τ / I = 1.2 / 0.1 = 12 rad s ^-2

6. Een blok met een massa van 4 kg hangt aan een touw dat om een ​​katrol met een massa van 8 kg en een straal R = 10 cm is gewikkeld. De zwaartekrachtversnelling is 10 ms⁻² ^. Wat is de lineaire versnelling van het blok? De katrol is een homogene, massieve cilinder.

Bekend:

Massa van de katrol (m) = 8 kg

Straal van de katrol (r) = 10 cm = 0.1 m

Massa van het blok (m) = 4 kg

Versnelling als gevolg van de zwaartekracht (g) = 10 m/ ^s²

Gewicht (w) = mg = (4 kg)(10 m/s² ⁾ = 40 kg m/s² ⁼ 40 Newton

Gezocht: De valversnelling van het blok

oplossing:

Het traagheidsmoment van de massieve cilinder:

I = 1/2 MR ² = 1/2 (8 kg)(0.1 m) ² = (4 kg)(0.01 m ² ) = 0.04 kg m ²

Het moment van de kracht:

τ = Fr = (40 N)(0.1 m) = 4 Nm

De hoekversnelling:

Στ = I α

4 = 0.04 α

α = 4 / 0.04 = 100

De lineaire versnelling:

a = r α = (0.1)(100) = 10 m/s ²

7. Een blok met massa m hangt aan een touw dat om een ​​katrol is gewikkeld. Als de valversnelling van het blok am/s² is ^, wat is dan het traagheidsmoment van de katrol?

Bekend:

gewicht = w = mg

Hefboomarm = R

De hoekversnelling = α

De valversnelling van het blok = a ms ^-2

Gevraagd: Het traagheidsmoment van de katrol (I)

oplossing:

Het verband tussen de lineaire versnelling en de hoekversnelling:

a = R α

α = a / R

Het traagheidsmoment:

τ = I α

ik = τ : α = τ : een / R = τ (R / a) = τ R een ^-1

Het impulsmoment

8. Een deeltje van 0.2 gram beweegt in een cirkel met een constante snelheid van 10 m/s. De straal van de cirkel is 3 cm. Wat is het impulsmoment van het deeltje?

Bekend:

Massa van het deeltje (m) = 0.2 gram = 2 x ^10⁻⁴ kg

Hoeksnelheid (ω) = 10 rad ^s⁻¹

Straal (r) = 3 cm = 3 x ^10⁻² meter

Gezocht: Het impulsmoment van het deeltje

oplossing:

De vergelijking van het impulsmoment:

L = I ω

I = het hoekmoment, I = het traagheidsmoment, ω = de hoeksnelheid

Het traagheidsmoment (voor deeltjes):

I = mr ² = (2 x 10 ^-4 )(3 x 10 ^-2 ) ² = (2 x 10 ^-4 )(9 x 10 ^-4 ) = 18 x 10 ^-8

Het impulsmoment:

L = I ω = (18 x 10 ^-8 )(10 rad s ^-1 ) = 18 x 10 ^-7 kg m ² s ^-1

1. Wat is rotatiebeweging?
   • AntwoordRotatiebeweging verwijst naar de beweging van een object rond een vaste as. Het is een beweging waarbij elk punt van het object in een cirkel rond de as beweegt.
2. Hoe verhouden lineaire snelheid en hoeksnelheid zich tot elkaar bij rotatiebewegingen?
   • Antwoord: Lineaire snelheid ($v$) van een punt in een roterend object is recht evenredig met de afstand ervan ($r$) van de rotatieas en de hoeksnelheid ($\omega$) van het object. De relatie wordt gegeven door $v=râ\; <...\omega$.
3. Wat is het traagheidsmoment en hoe verhoudt het zich tot rotatiebeweging?
   • AntwoordHet traagheidsmoment is het rotatie-analogon van massa in lineaire beweging. Het meet de weerstand van een object tegen veranderingen in zijn rotatietoestand. Het traagheidsmoment hangt af van zowel de massa van een object als de verdeling ervan ten opzichte van de rotatieas.
4. Hoe is Newtons eerste bewegingswet van toepassing op rotatiebeweging?
   • AntwoordNet zoals een object in lineaire beweging in beweging blijft tenzij er een externe kracht op inwerkt, zal een object in roterende beweging in die toestand blijven tenzij er een extern koppel op inwerkt.
5. Wat is de betekenis van de traagheidsstraal?
   • AntwoordDe gyratiestraal geeft een maat voor de verdeling van de massa van een object ten opzichte van de rotatieas. Het beschrijft in wezen hoe ver van de as alle massa van het object geconcentreerd zou moeten zijn om hetzelfde traagheidsmoment te hebben als de oorspronkelijke verdeling.
6. Wat is impulsmoment en hoe blijft het behouden?
   • AntwoordHoekmomentum is het rotatie-equivalent van lineaire impuls. Het is het product van het traagheidsmoment van een object en zijn hoeksnelheid. In een gesloten systeem blijft het totale hoekmomentum constant, tenzij er een extern koppel op inwerkt. Dit benadrukt het behoud van hoekmoment.
7. Hoe beïnvloedt koppel de rotatiebeweging?
   • AntwoordKoppel is het rotatie-equivalent van kracht. Het veroorzaakt veranderingen in de rotatiebeweging van een object. De relatie wordt gegeven door de tweede wet van Newton voor rotatie: $\tau =Iâ\; <...\alpha$, Waar $\tau$ is het koppel, $I$ is het traagheidsmoment, en $\alpha$ is de hoekversnelling.
8. Wat is het verschil tussen het zwaartepunt en het rotatiecentrum?
   • AntwoordHoewel ze kunnen samenvallen, is het zwaartepunt het punt waar de gehele massa van een object voor berekeningen van lineaire beweging als geconcentreerd wordt beschouwd, terwijl het rotatiecentrum het punt (of de as) is waaromheen een object roteert.
9. Wat is de rol van de middelpuntzoekende kracht bij rotatiebewegingen?
   • AntwoordDe middelpuntzoekende kracht is de nettokracht die inwerkt op een object dat een cirkelvormige baan beschrijft, gericht naar het rotatiecentrum. Deze kracht zorgt ervoor dat een object zijn gebogen baan behoudt en voorkomt dat het door traagheid in een rechte lijn beweegt.

10. Hoe verhouden rotatiekinetische energie en het traagheidsmoment zich tot de hoeksnelheid?

    • AntwoordRotatiekinetische energie is de energie die ontstaat door de rotatie van een object om een ​​as. Deze wordt gegeven door de formule: KE_{rotational​}=1/2 ​I ω², Waar $I$ is het traagheidsmoment en $\omega$ is de hoeksnelheid.