Traagheidsmoment van deeltjes – problemen en oplossingen

1. Twee ballen zijn verbonden door een staaf, zoals weergegeven in de onderstaande figuur. Verwaarloos de massa van de staaf . De massa van bal P is 600 gram en de massa van bal Q is 400 gram. Wat is het traagheidsmoment van het systeem ten opzichte van AB?

Bekend:

De rotatieas is AB. Traagheidsmoment van deeltjes – problemen en oplossingen 1

m _p = 600 gram = 0.6 kg, m _q = 400 gram = 0.4 kg

r _p = 20 cm = 0.2 m, r _q = 50 cm = 0.5 m

Gevraagd: Het traagheidsmoment van het systeem

oplossing:

I = m _p r _p² + m _q r _q²

I = (0.6 kg)(0.2 m) ^² + (0.4 kg)(0.5 m) ^²

I = (0.6 kg)(0.04 m² ⁾ + (0.4 kg)(0.25 ^m² )

I = 0.024 kg m ² + 0.1 kg m ²

I = 0.124 kg m ²

2. Een staaf AB met een massa van 2 kg roteert om punt A. Het traagheidsmoment van de staaf is 8 kg m² ^. Als de staaf om punt O (AO = OB) roteert, wat is dan het traagheidsmoment?

Bekend: Traagheidsmoment van deeltjes – problemen en oplossingen 2

Massa van staaf AB (m) = 2 kg

Als het object om punt A wordt gedraaid zodat de rotatiestraal (r) gelijk is aan de lengte van AB = r, dan is het traagheidsmoment (I) = 8 kg m²^.

Gevraagd: Als een staaf om punt O wordt gedraaid zodat de rotatiestraal (r) = lengte van AO = lengte van OB = 1/2 r, wat is dan het traagheidsmoment van de staaf?

oplossing:

Ik = Dhr. ²

8 kg m ² = (2 kg) r ²

8 m ² = (2) r ²

r ² = 8 m ² / 2

r ² = 4 m ²

r = 2 meter

Als het object om punt O wordt gedraaid zodat ½ r = 1 meter, dan is het traagheidsmoment:

I = mr ² = (2 kg)(1 m ) ² = (2 kg)(1 m ² ) = 2 kg m ²

3. Twee ballen zijn met elkaar verbonden door een staaf, zoals weergegeven in de onderstaande afbeelding. Verwaarloos de massa van de staaf. Wat is het traagheidsmoment van het systeem?

Bekend:

Massa van bal A (m_A) = 200 gram = 0.2 kg Traagheidsmoment van deeltjes – problemen en oplossingen 3

Massa van bal B (mB ₎ = 400 gram = 0.4 kg

Afstand tussen bal A en de rotatieas (r _A ) = 0

Afstand tussen bal B en de rotatieas (rB ₎ = 25 cm = 0.25 m

Gevraagd: Traagheidsmoment van het systeem

oplossing:

Het traagheidsmoment van bal A:

I _A = (m _A )(r _A² ) = (0.2)(0) ² = 0

Het traagheidsmoment van bal B:

I _B = (m _B )(r _B² ) = (0.4)(0.25) ² = (0.4)(0.0625) = 0.025 kg m ²

Het traagheidsmoment van het systeem:

I = I _A + I _B = 0 + 0.025 = 0.025 kg m ² = 25 x 10 ^-3 kg m ²

4. Vier deeltjes met verschillende massa's, weergegeven in de onderstaande figuur. Bepaal het traagheidsmoment van het systeem ten opzichte van de horizontale lijn P.

Het resultaat

De rotatieas is de horizontale lijn P.

Bekend: Traagheidsmoment van deeltjes – problemen en oplossingen 4

Massa van deeltje A (m _A ) = m

Massa van deeltje B (m _B ) = 2m

Massa van deeltje C (m _C ) = 3m

Doorgang van deeltjes D (m _D ) = 4m

Afstand tussen deeltje A en de rotatieas (r _A ) = b

Afstand tussen deeltje B en de rotatieas (r _B ) = b

Afstand tussen deeltje C en de rotatieas (r _C ) = 2b

Afstand tussen deeltje D en de rotatieas (r _D ) = 2b

Gevraagd: Het traagheidsmoment van het systeem ten opzichte van de horizontale lijn P

oplossing:

I = m _A r _A² + m _B r _B² + m _C r _C² + m _D r _D²

Ik = (m)(b) ² + (2m)(b) ² + (3m)(2b) ² + (4m)(2b) ²

ik = mb ² + 2 mb ² + (3m)(4b ² ) + (4m)(4b ² )

ik = mb ² + 2 mb ² + 12 mb ² + 16 mb ²

I = 31 mb ²

5. Vier deeltjes verbonden door een staaf. Verwaarloos de massa van de staaf. Bepaal het traagheidsmoment rond de rotatieas door de deeltjes m1 _en m2 _, zoals weergegeven in de onderstaande figuur.

Bekend

Massa van deeltje 1 (m₁) = 1/4 kg Traagheidsmoment van deeltjes – problemen en oplossingen 5

Massa van deeltje 2 (m ₂ ) = 1/2 kg

Massa van deeltje 3 (m ₃ ) = 1/4 kg

Massa van deeltje 4 (m ₄ ) = 1/4 kg

Afstand tussen deeltje 1 en de rotatieas (r ₁ ) = 0

Afstand tussen deeltje 2 en de rotatieas (r ₂ ) = 0

Afstand tussen deeltje 3 en de rotatieas (r ₃ ) = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Afstand tussen deeltje 4 en de rotatieas (r ₄ ) = 10 cm = 10/100 m = 1/10 m

Gezocht: Het traagheidsmoment

oplossing:

I = m ₁ r ₁² + m ₂ r ₂² + m ₃ r ₃² + m ₄ r ₄²

I = (1/4)(0) ² + (1/2)(0) ² + (1/4)(1/10) ² + (1/4)(1/10) ²

I = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

I = 1/400 + 1/400

I = 2/400

I = 1/200 kg.m ²

Wat is het traagheidsmoment van een deeltje?
- Antwoord: Voor een enkel deeltje met massa $m$ op een afstand $r$ vanuit een rotatieas, het traagheidsmoment $I$ is gegeven door $I = m \times r^{2}$ .
Waarom wordt het traagheidsmoment vaak de "rotatie-analogie" van massa genoemd?
- AntwoordNet zoals massa een maat is voor de weerstand van een object tegen veranderingen in zijn translatiebeweging (volgens de tweede wet van Newton), is het traagheidsmoment een maat voor de weerstand van een object tegen veranderingen in zijn rotatiebeweging.
Hoe beïnvloedt een verandering in de afstand van een deeltje tot zijn rotatieas het traagheidsmoment?
- AntwoordHet traagheidsmoment is evenredig met het kwadraat van de afstand tot de rotatieas. Als je de afstand verdubbelt, neemt het traagheidsmoment met een factor vier toe.
Waarom is het kwadraat van de afstand (r)²) wordt in de formule voor het traagheidsmoment gebruikt in plaats van alleen de afstand?
- AntwoordHet kwadraat van de afstand wordt gebruikt vanwege de manier waarop kinetische energie bij rotatie werkt. Bij rotatiebeweging draagt elk deeltje van een object bij aan de rotatiekinetische energie op basis van zowel zijn massa als het kwadraat van zijn afstand tot de as.
Hoe verandert het traagheidsmoment van een deeltje als de massa ervan verdrievoudigd wordt terwijl de afstand tot de as constant blijft?
- AntwoordAls de massa verdrievoudigd wordt en de afstand constant blijft, zal het traagheidsmoment ook verdrievoudigen, omdat het recht evenredig is met de massa.
Kan een deeltje een traagheidsmoment van nul hebben? Zo ja, onder welke voorwaarde?
- AntwoordJa, een deeltje heeft een traagheidsmoment van nul als het zich direct op de rotatieas bevindt, waardoor de afstand nul is. $r$ vanaf de as gelijk aan nul.
Waarom hebben verschillende objecten met dezelfde massa en afmetingen een verschillend traagheidsmoment wanneer ze om verschillende assen draaien?
- AntwoordDe massaverdeling rond de rotatieas bepaalt het traagheidsmoment. Zelfs als twee objecten dezelfde massa en afmetingen hebben, kan hun massaverdeling ten opzichte van de rotatieas verschillen, wat leidt tot verschillende traagheidsmomenten.
Is het traagheidsmoment een scalaire of vectoriële grootheid?
- AntwoordHet traagheidsmoment is een scalaire grootheid. Voor starre lichamen met complexe vormen en meerdere rotatieassen wordt het echter weergegeven door een tensor.
Als twee deeltjes, elk met massa $m$ , bevinden zich op afstanden $r_{1}$ en $r_{2}$ Wat is het gecombineerde traagheidsmoment ten opzichte van de rotatieas?
- AntwoordHet traagheidsmoment is additief voor afzonderlijke deeltjes. Het gecombineerde traagheidsmoment is dus $I = m \times r_{12} + m \times r_{22}$ .
Hoe verhoudt het traagheidsmoment zich tot het behoud van impulsmoment?
- AntwoordHoekmoment $L$ is het product van het traagheidsmoment $I$ en hoeksnelheid $ω$ , weergegeven door de vergelijking $L = I \times ω$ Als er geen externe draaiende krachten op een systeem inwerken, blijft het impulsmoment constant. Dit betekent dat als het traagheidsmoment verandert (zoals bij een kunstschaatser die zijn armen intrekt), de hoeksnelheid zich moet aanpassen om het product constant te houden.