Дисперсийн шинжилгээний F тест
Пендахулуан
Статистикийн судалгаанд гол зорилгуудын нэг нь өгөгдлийн бүлгүүдийн хооронд мэдэгдэхүйц ялгаа байгаа эсэхийг ойлгох явдал юм. F-тест нь энэ зорилгоор ашиглагддаг нэг арга бөгөөд ялангуяа Дисперсийн Шинжилгээ (ANOVA)-ийн хүрээнд ашигладаг. Энэхүү тест нь туршилтын өгөгдлийн шинжилгээнд чухал ач холбогдолтой бөгөөд учир нь судлаачид тодорхой статистикийн таамаглалыг хангасан тохиолдолд туршилтын үр дүнгийн найдвартай байдлыг үнэлэх боломжийг олгодог. Энэ нийтлэлд бид дисперсийн шинжилгээнд F-тестийн ойлголт, хэрэглээ, таамаглал, тайлбарыг судлах болно.
F тестийн үндсэн ойлголт
F-тест нь ийнхүү нэрлэгдсэн учир нь түүний утгууд нь дисперсийн шинжилгээнд ихэвчлэн ашиглагддаг тасралтгүй магадлалын тархалт болох F-тархалтыг дагадаг. F-тархалтыг бүлгийн хоорондох хувьсах чанарыг бүлгийн доторх хувьсах чанартай харьцуулахад ашигладаг бөгөөд энэ нь бүлгийн дундаж утгуудын хооронд мэдэгдэхүйц ялгаа байгаа эсэхийг тодорхойлоход тусалдаг.
F тестийн чухал бүрэлдэхүүн хэсгүүд нь:
1. Бүлэг доторх хувьсах чанар (Бүлгүүд доторх хувьсах чанар): Бүлэг бүрийн доторх өгөгдлийн хэлбэлзлийг хэмждэг.
2. Бүлгийн хоорондох хувьсах чанар (Бүлгүүдийн хоорондох хувьсах чанар): Бүлгүүдийн хоорондох дундаж хэлбэлзлийг хэмждэг.
Хэрэв бүлгүүдийн хоорондох хувьсах чанар нь бүлгүүдийн доторх хувьсах чанараас хамаагүй их байвал бүлгүүдийн хооронд бодит ялгаа байх магадлалтай.
ANOVA-д F тестийн хэрэглээ
ANOVA нь хоёроос дээш бүлгийн дундажийг харьцуулахад ашигладаг статистикийн арга юм. Нэг талын ANOVA, хоёр талын ANOVA болон бусад хувилбарууд зэрэг ANOVA-ийн янз бүрийн төрлүүд байдаг. Тэдгээрийн хоорондох гол ялгаа нь судлагдсан хүчин зүйлсийн шинж чанар, тооноос хамаарна. Энэ нийтлэлд бид F-тестийн хэрэглээг харуулах энгийн жишээ болгон нэг талын ANOVA-д анхаарлаа хандуулах болно.
Нэг талын ANOVA ашиглан шинжилгээний алхамууд
1. Таамаглалын томъёолол:
– Тэг таамаглал ($H_0$): Бүх популяцийн утга ижил байна (бүлгүүдийн хооронд ялгаа байхгүй).
– Өөр таамаглал ($H_1$): Дор хаяж нэг өөр популяцийн дундаж утга байгааг илэрхийлнэ.
2. F статистикийг тооцоол:
– Квадратуудын нийт нийлбэр (SST):
\[
SST = \sum_{i=1}^{N}(X_i – \bar{X})^2
\]
Энэ нь өгөгдлийн нийт хувьсах чанарыг хэмждэг.
– Бүлгийн хоорондох квадратуудын нийлбэр (SSB):
\[
SSB = \sum_{j=1}^{k} n_j (\bar{X_j} – \bar{X})^2
\]
Энэ нь бүлгүүдийн хоорондох хувьсах чанарыг хэмждэг.
– Бүлэг доторх квадратуудын нийлбэр (SSW):
\[
SSW = \sum_{j=1}^{k} \sum_{i=1}^{n_j} (X_{ij} – \bar{X_j})^2
\]
Энэ нь бүлэг бүрийн доторх хувьсах чанарыг хэмждэг.
– F статистикийг тооцоол:
\[
F = \frac{\text{MSB}}{\text{MSW}} = \frac{\text{SSB}/(k-1)}{\text{SSW}/(Nk)}
\]
Энд MSB нь бүлгүүдийн хоорондох дундаж квадрат, MSW нь бүлгүүд доторх дундаж квадрат юм.
3. Ач холбогдол, үнэ цэнэ:
F-утгыг тооцоолсны дараа бид энэ утгыг ач холбогдлын түвшин (\(\alpha\)) болон чөлөөний зэрэг дээр үндэслэн F-тархалтын чухал утгатай харьцуулна. Хэрэв тооцоолсон F-утга нь чухал утгаас их байвал бид тэг таамаглалыг няцаана.
F-тестийн таамаглалууд
F-тестийг хэрэглэх нь хэд хэдэн үндсэн таамаглал дээр суурилдаг гэдгийг санах нь чухал юм. Хэрэв эдгээр таамаглал хангагдаагүй бол F-тестийн үр дүн хүчингүй байж болно. Эдгээр таамаглалд дараахь зүйлс орно.
1. Бие даасан байдал:
Бүлэг бүрийн ажиглалтууд бие биенээсээ хараат бус байх ёстой.
2. Хэвийн байдал:
Бүлэг бүрийн өгөгдөл нь хэвийн тархалтыг дагаж мөрдөх ёстой. Хэвийн таамаглалыг Шапиро-Вилкийн тест гэх мэт хэвийн байдлын тестийг ашиглан эсвэл QQ графикийг ашиглан графикаар шалгаж болно.
3. Дисперсийн нэгэн төрлийн байдал:
Бүлэг бүрийн доторх дисперсүүд тэнцүү байх ёстой. Энэ таамаглалыг Левений тест эсвэл Бартлеттын тест ашиглан шалгаж болно.
Хэрэв хэвийн байдал эсвэл дисперсийн нэгэн төрлийн байдлын таамаглал хангагдаагүй бол гүйцэтгэж болох хувиргалтууд (жишээлбэл, логарифм эсвэл квадрат язгуур) эсвэл эдгээр таамаглалыг шаарддаггүй Крускал-Уоллис H тест гэх мэт өөр параметрийн бус тестүүд байдаг.
Үр дүнгийн тайлбар
ANOVA хийж, F-утга болон p-утгыг гаргасны дараа дараагийн алхам бол үр дүнг тайлбарлах явдал юм. Зарим боломжит тайлбарууд энд байна:
1. Хэрэв p-утга < \(\alpha\) бол: тэг таамаглалыг няцаасан нь бүлгийн дундаж утгын хооронд мэдэгдэхүйц ялгаа байгааг харуулж байна. 2. Хэрэв p-утга > \(\alpha\) бол: тэг таамаглалыг няцаах хангалттай нотолгоо байхгүй байгаа нь бүлгийн дундаж утгын хооронд мэдэгдэхүйц ялгаа байхгүй байгааг харуулж байна.
Тэг таамаглалыг няцаасан ч гэсэн ANOVA нь аль бүлгүүд ялгаатай болохыг харуулахгүй. Энэ нь Тукигийн HSD (Үнэнийг хэлэхэд чухал ялгаа), Бонферронигийн залруулга эсвэл Сидакийн тест гэх мэт post-hoc тестүүдийг шаарддаг бөгөөд энэ нь аль бүлгүүд мэдэгдэхүйц ялгаатай болохыг тодорхойлоход тусалдаг.
Жишээ тохиолдол
Дараах энгийн жишээг авч үзье.
Судлаач ургамлын өсөлтөд гурван төрлийн бордооны үр нөлөөнд мэдэгдэхүйц ялгаа байгаа эсэхийг тодорхойлохыг хүсч байна. Судлаач А, В, С бордоо ашиглан гурван бүлгийн ургамлын нэг сарын дараа ургамлын өндрийг (см-ээр) хэмждэг.
Таамаглалын өгөгдөл:
| А бордоо | В бордоо | С бордоо |
|———|———|———|
| 20 | 18 | 22 |
| 21 | 17 | 23 |
| 19 | 16 | 24 |
Шинжилгээний алхамууд:
1. Таамаглалын томъёолол:
– $H_0$: Бүх бордооны ургамлын дундаж өндөр ижил байна.
– $H_1$: Ургамлын дундаж өндөр дор хаяж нэг өөр байна.
2. F статистикийг тооцоол:
– SST, SSB, болон SSW-г тооцоолж, F тооцооллыг үргэлжлүүлнэ үү.
3. Ач холбогдлын утгатай харьцуулах:
– F тархалтын хүснэгт болон чөлөөний зэргийг ашиглан бид тооцоолсон F утга ач холбогдолтой эсэхийг тодорхойлно.
Дүгнэлт:
Хэрэв F утга нь мэдэгдэхүйц ялгаа байгааг харуулж байвал судлаач дараа нь аль бүлгүүд ялгаатай болохыг тодорхойлохын тулд post-hoc туршилтуудыг хийж болно.
Дүгнэлт
Дисперсийн шинжилгээний F-тест нь бүлгүүдийн хооронд мэдэгдэхүйц ялгаа байгаа эсэхийг тодорхойлоход маш хэрэгтэй хэрэгсэл юм. Статистикийн таамаглалыг хангаснаар энэхүү тест нь шинжилсэн өгөгдөлд хүчтэй ойлголт өгөх боломжтой. Практик хэрэглээнд энэхүү тест нь биологи, нийгмийн ухаан, эдийн засаг гэх мэт янз бүрийн судалгааны салбарт маш их тустай байдаг. F-тестийг хэзээ, хэрхэн ашиглахаа мэдэх, түүнчлэн түүний таамаглал, тайлбарыг ойлгох нь статистикийн шинжилгээний чанарыг сайжруулж, өгөгдөлд суурилсан шийдвэр гаргах бат бөх суурийг бий болгоно.
