Дөрвөн цэгийн цэнэгийн цахилгаан потенциалын томъёо
Пенгантар
Цахилгаан потенциал нь цахилгаан физикийн чухал ойлголт бөгөөд цахилгаан цэнэгүүд орон зайд хэрхэн харилцан үйлчилдэгийг ойлгоход тусалдаг. Цэгийн цэнэгийн тухай ярихдаа бид орон зайн нэг цэг дээр төвлөрсөн гэж үздэг цэнэгийг хэлж байна. Энэ нийтлэлд бид дөрвөн өөр цэгийн цэнэгийн цахилгаан потенциалын томъёо, тэдгээрийг хэрхэн тооцоолох, энэ ойлголтын практик хэрэглээний талаар авч үзэх болно.
Цахилгаан потенциалын үндсэн ойлголт
Сансар огторгуйн цэг дээрх цахилгаан потенциал гэдэг нь тухайн цэг дээр байрлуулсан эерэг туршилтын цэнэгээр мэдрэгдэх нэгж цэнэг тутамд ногдох цахилгаан потенциал энерги юм. Цахилгаан потенциалыг ихэвчлэн вольтоор (V) хэмждэг. Математикийн хувьд түүнээс (r) зайд байгаа (q) цэнэгийн улмаас үүссэн цахилгаан потенциалыг (V) дараах томъёогоор олно.
\[ V = \frac{kq}{r} \]
Хаана:
– \( V \) нь цахилгаан потенциал (вольт),
– \( k \) нь Кулонбын тогтмол (\( 8.99 \times 10^9 \, \text{N m}^2 \text{C}^{-2} \)),
– \( q \) нь цэнэг (кулон),
– \( r \) нь цэнэгээс потенциалыг тооцоолсон цэг хүртэлх зай (метр).
Дөрвөн цэгийн цэнэгийн цахилгаан потенциал
Хэрэв бидэнд Декартын координатын \( (x_1, y_1)), \( (x_2, y_2)), \( (x_3, y_3)), болон \( (x_4, y_4)) байрлалд байрлах дөрвөн цэгийн цэнэг \(q_1 \), \(q_2 \), \(q_3 \), болон \(q_4 \) байгаа бол бид тухайн цэг дээрх цэнэг бүрийн цахилгаан потенциалыг нийлбэрээр \(P(x, y) \) цэг дээрх нийт цахилгаан потенциалыг тооцоолж болно.
(P) цэг дээрх нийт цахилгаан потенциал (V)-ийг дараах томъёогоор тодорхойлно:
\[ V = V_1 + V_2 + V_3 + V_4 \]
Хаана:
– \( V_1 \) нь \( q_1 \)-ээс үүдэлтэй цахилгаан потенциал юм,
– \( V_2 \) нь \( q_2 \)-ээс үүдэлтэй цахилгаан потенциал юм,
– \( V_3 \) нь \( q_3 \)-ээс үүдэлтэй цахилгаан потенциал юм,
– \( V_4 \) нь \( q_4 \)-ээс үүдэлтэй цахилгаан потенциал юм.
(P) цэг дээрх цэнэг бүрийн цахилгаан потенциалыг дараах байдлаар бичиж болно.
\[ V_1 = \frac{k q_1}{r_1}, \quad V_2 = \frac{k q_2}{r_2}, \quad V_3 = \frac{k q_3}{r_3}, \quad V_4 = \frac{k q_4}{r_4} \]
Хаана:
– \( r_1 \) нь цэнэг \( q_1 \) ба \( P \) цэгийн хоорондох зай,
– \( r_2 \) нь цэнэг \( q_2 \) ба \( P \) цэгийн хоорондох зай,
– \( r_3 \) нь цэнэг \( q_3 \) ба \( P \) цэгийн хоорондох зай,
– \(r_4 \) нь цэнэг \(q_4 \) ба \(P \) цэгийн хоорондох зай юм.
Декартын координатад хоёр цэгийн хоорондох зайг (r) дараах томъёогоор тооцоолж болно:
\[ r = \sqrt{(x – x_i)^2 + (y – y_i)^2} \]
Хаана:
– \( (x, y) \) нь \(P \) цэгийн координатууд юм,
– \( (x_i, y_i) \) нь цэнэгийн координатууд \( q_i \) (i = 1, 2, 3, 4).
Тиймээс бид цэнэг бүрийн зайг (r) тооцоолж, дараа нь цахилгаан потенциалын томъёог ашиглан (P) цэг дээрх потенциалыг олж болно.
Тооцооллын жишээ
Дөрвөн цэгийн цэнэгтэй тодорхой жишээг дараах байдлаар авч үзье.
– \( q_1 = 2 \, \mu \text{C} \) (0, 0) дээр,
– (1, 0) үед \( q_2 = -3 \, \mu \text{C} \)
– \( q_3 = 4 \, \mu \text{C} \) (0, 1) дээр,
– (1, 1) дээр \( q_4 = -1 \, \mu \text{C} \) –
Бид (2, 2) дээр байрлах \(P\) цэг дээрх цахилгаан потенциалыг тооцоолохыг хүсэж байна.
Эхлээд бид \(P \) цэг болон цэнэг бүрийн хоорондох зайг тооцоолно:
\[ r_1 = \sqrt{(2-0)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2} \]
\[ r_2 = \sqrt{(2-1)^2 + (2-0)^2} = \sqrt{5} \]
\[ r_3 = \sqrt{(2-0)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{5} \]
\[ r_4 = \sqrt{(2-1)^2 + (2-1)^2} = \sqrt{2} \]
Дараа нь бид энэ зайн утгыг ашиглан \(P\) цэг дээрх цэнэг бүрийн цахилгаан потенциалыг тооцоолно:
\[ V_1 = \frac{8.99 \times 10^9 \times 2 \times 10^{-6}}{2\sqrt{2}} \approx 3.18 \times 10^3 \, \text{V} \]
\[ V_2 = \frac{8.99 \times 10^9 \times (-3) \times 10^{-6}}{\sqrt{5}} \approx -3.81 \times 10^3 \, \text{V} \]
\[ V_3 = \frac{8.99 \times 10^9 \times 4 \times 10^{-6}}{\sqrt{5}} \approx 7.62 \times 10^3 \, \text{V} \]
\[ V_4 = \frac{8.99 \times 10^9 \times (-1) \times 10^{-6}}{\sqrt{2}} \approx -6.36 \times 10^3 \, \text{V} \]
(P) цэг дээрх нийт цахилгаан потенциал нь эдгээр бүх потенциалын нийлбэр юм.
\[ V = 3.18 \times 10^3 – 3.81 \times 10^3 + 7.62 \times 10^3 – 6.36 \times 10^3 \approx 0.63 \times 10^3 \, \text{V} \]
Цахилгаан потенциалын хэрэглээ
Аливаа цэгийн цэнэгийн цахилгаан потенциалыг ойлгох нь дараахь олон төрлийн хэрэглээнд чухал ач холбогдолтой.
– Электрон хэлхээний зураг төсөл: Инженерүүд бүрэлдэхүүн хэсгүүд зөв ажиллаж байгаа эсэхийг баталгаажуулахын тулд хэлхээний боломжит тархалтыг ойлгох ёстой.
– Биологийн цахилгаан орон: Цахилгаан потенциал нь мэдрэлийн эсийн үйл ажиллагаа болон бие махбод дахь дохио дамжуулахад чухал үүрэг гүйцэтгэдэг.
– Материал боловсруулах: Цахилгаан потенциалыг электростатик тунадасжуулалт болон материалыг цэвэршүүлэх зэрэг электростатик техникт ашигладаг.
Дүгнэлт
Хэд хэдэн цэгийн цэнэгийн цахилгаан потенциалыг тооцоолоход цахилгаан потенциал хэрхэн ажилладаг болон цэнэг хоорондын зай нь түүнд хэрхэн нөлөөлдөг талаар үндсэн ойлголт шаардлагатай. Энэхүү ойлголтын тусламжтайгаар бид цахилгаан харилцан үйлчлэлтэй холбоотой системийг илүү үр дүнтэй тайлбарлаж, зохион бүтээх боломжтой. Цахилгаан потенциал нь бидэнд физикийн ертөнцийг микроскоп болон макроскопийн түвшинд ойлгоход тусалдаг чухал хэрэгсэл юм.
