Бернуллигийн томъёо: Зарчим ба хэрэглээ
Бернуллигийн зарчим нь 18-р зуунд Швейцарийн эрдэмтэн Даниел Бернуллигийн нээсэн шингэний механикийн үндсэн ойлголт юм. Энэхүү зарчим нь шингэний урсгалын хурд ба тухайн урсгалын доторх даралтын хоорондын хамаарлыг тайлбарладаг. Энэ нийтлэлд Бернуллигийн томъёо, түүний үндсэн ойлголтууд, математикийн гаргалгаа, тооцооллын жишээ, өдөр тутмын амьдралд хэрэглэх талаар гүнзгий авч үзэх болно.
Бернуллигийн томъёог ойлгох нь
Бернуллигийн томъёонд идеал шингэний урсгалд (үрэлтгүй) нэгж эзэлхүүн дэх механик энергийн хэмжээ (потенциал энерги, кинетик энерги ба даралт) урсгалын туршид тогтмол байдаг гэж заасан байдаг. Энэ томъёог дараах байдлаар илэрхийлнэ.
\[ P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho gh = \text{тогтмол} \]
ди мана:
– \( P \) нь шингэний даралт (паскалаар, Па),
– \( \rho \) нь шингэний нягтрал (куб метр тутамд килограммаар, кг/м³),
– \( v \) нь шингэний урсгалын хурд (секундэд метрээр, м/с),
– \( g \) нь таталцлын хүчнээс үүдэлтэй хурдатгал (секундэд метр квадратаар, м/с²),
– \( h \) нь лавлах хэмжээнээс дээш шингэний өндөр (метрээр, м) юм.
Бернуллигийн зарчим
Бернуллигийн зарчим нь энерги хадгалагдах хууль дээр суурилдаг. Шингэний урсгалд системд энерги нэмэгдэхгүй эсвэл системээс гарахгүй бол систем дэх нийт энерги тогтмол хэвээр байх ёстой. Нэгж эзэлхүүн дэх нийт энерги нь дараахь зүйлээс бүрдэнэ.
1. Даралтын энерги (\( P \)): Шингэний даралтаас үүдэлтэй энерги.
2. Кинетик энерги (\( \frac{1}{2} \rho v^2 \)): Шингэний хөдөлгөөнөөс үүссэн энерги.
3. Таталцлын потенциал энерги (\( \rho gh \)): Таталцлын орон дахь шингэний байрлалаас үүдэлтэй энерги.
Бернуллигийн томъёоны математикийн гаргалгаа
Бернуллигийн томъёоны гаргалгааг ойлгохын тулд бид 1-р цэгээс 2-р цэг рүү \(v\) хурдтай урсгалд хөдөлж буй шингэний жижиг элементийг авч үзье. Хэрэв бид үрэлт эсвэл дулаанаас болж энергийн алдагдал байхгүй гэж үзвэл 1 ба 2-р цэгүүд дэх нийт энерги ижил байх ёстой.
1 (\( E_1 \)) цэг дээрх нийт энерги нь:
\[ E_1 = P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 \]
2 (\( E_2 \)) цэг дээрх нийт энерги нь:
\[ E_2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2 \]
Нийт энерги тогтмол байх ёстой тул:
\[ P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2 \]
Үүнийг Бернуллигийн томъёо гэж нэрлэдэг.
Бернуллигийн томъёог ашиглан тооцооллын жишээ
А цэгээс В цэг рүү ус урсаж буй хэвтээ хоолой гэж үзье. А цэг дээр усны хурд 2 м/с, даралт 150,000 Па байна. В цэг дээр усны хурд 4 м/с байна. Усны нягтрал 1000 кг/м³ байна. В цэг дээрх даралтыг тооцоол.
Бернуллигийн томъёог ашиглана уу:
\[ P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 + \rho gh_A = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2 + \rho gh_B \]
Хоолой нь хэвтээ байрлалтай тул \( h_A = h_B \) тул хоёр цэг дээрх \( \rho gh \)-г үл тоомсорлож болно:
\[ P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2 \]
Мэдэгдэж буй утгуудыг орлуулна уу:
\[ 150,000 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (2)^2 = P_B + \frac{1}{2} \times 1000 \times (4)^2 \]
Хоёр цэг дээрх кинетик энергийг тооцоол:
\[ 150,000 + 2000 = P_B + 8000 \]
\[ 152,000 = P_B + 8000 \]
\[ P_B = 152,000 – 8000 \]
\[ P_B = 144,000 \, \text{Pa} \]
Тэгэхээр В цэг дээрх даралт 144,000 Па байна.
Бернуллигийн зарчмын хэрэглээ
1. Онгоц: Бернуллигийн зарчмыг онгоцны далавчны зураг төсөлд ашигладаг. Онгоцны далавчны хэлбэрийг далавчны дээгүүрх агаарын хурд далавчны доорхоос их байхаар зохион бүтээдэг. Үүний үр дүнд далавчны дээгүүрх даралт бага, далавчны доорх даралт өндөр болж, онгоц нисэх боломжийг олгодог өргөх хүчийг бий болгодог.
2. Уралдааны тээврийн хэрэгсэл: Уралдааны тээврийн хэрэгслийн аэродинамик дизайн нь хурд болон тогтвортой байдлыг нэмэгдүүлэхийн тулд Бернуллигийн зарчмыг ашигладаг. Агаарын урсгалыг зохицуулах, доош татах хүчийг нэмэгдүүлэхийн тулд спойлер болон диффузоруудыг ашигладаг бөгөөд энэ нь тээврийн хэрэгслийн зам дээрх барьцалдалтыг сайжруулдаг.
3. Бие дэх цусны урсгал: Бернуллигийн зарчим нь цусны судсаар дамжин өнгөрөх цусны урсгалд мөн хамаарна. Эмнэлгийн нөхцөл байдлыг оношлохын тулд биеийн янз бүрийн хэсэгт цусны урсгалын хурд болон даралтын ялгааг судалж болно.
4. Вентури тоолуур: Хоолой дахь шингэний урсгалын хурдыг хэмжихэд ашигладаг төхөөрөмж. Вентури тоолуур нь нарийсдаг хэсэгтэй бөгөөд энэ нь Бернуллигийн зарчмын дагуу шингэний урсгалын хурд нэмэгдэж, даралтыг бууруулдаг. Өргөн ба нарийн хэсгүүдийн хоорондох даралтын зөрүүг урсгалын хурдыг тооцоолоход ашигладаг.
5. Үнэртэй ус цацагч: Үнэртэй ус цацагч эсвэл шингэн шүршигч нь Бернуллигийн зарчмыг ашигладаг. Нарийн хоолойгоор агаар үлээхэд хоолойн үзүүр орчмын агаарын даралт буурч, үнэртэй ус шингэний шингэнийг хоолойгоор дээш татаж, нарийн манан болгон шүршдэг.
Бернуллигийн зарчмыг хэрэгжүүлэхэд нөлөөлөх хүчин зүйлс
1. Үрэлт: Бодит байдал дээр шингэн нь төгс биш бөгөөд энергийн алдагдалд хүргэдэг дотоод үрэлт (зуурамтгай чанар) үргэлж байдаг. Энэ нь Бернуллигийн зарчмын хэрэглээг илүү төвөгтэй болгодог.
2. Шингэний шахалт: Бернуллигийн зарчмыг шахагдахгүй шингэнд (жишээлбэл, ус) хэрэглэхэд илүү хялбар байдаг. Хий эсвэл шахагдах шингэний хувьд тэгшитгэлийг тохируулах шаардлагатай.
3. Турбулент байдал: Бернуллигийн зарчим нь ламинар (тогтмол) урсгалд хамаарна. Турбулент (тогтмол бус) урсгалд шинжилгээ нь илүү төвөгтэй болдог.
Кейс судалгаа: Бернуллигийн зарчмыг онгоцны далавчны дизайнд ашиглах нь
Нисэх онгоцны далавчны загвар нь Бернуллигийн зарчмын үйлчлэлийн сонгодог жишээ юм. Далавчны дээд ба доод талын муруй хэлбэр нь агаарыг далавчны дээгүүр доороос нь илүү хурдан урсгах боломжийг олгодог. Бернуллигийн зарчмын дагуу далавчны дээгүүрх агаарын урсгалын хурд өндөр байх нь далавчны доороос бага даралт үүсгэдэг. Энэхүү даралтын зөрүү нь онгоцыг нисэх боломжийг олгодог өргөх хүчийг үүсгэдэг.
Онгоцны далавчны талбай 25 м² гэж үзье. Далавчны дээгүүрх агаарын хурд 70 м/с, далавчны доорх агаарын хурд 50 м/с байна. Агаарын нягтрал 1.225 кг/м³ байна. Үүссэн өргөх хүчийг тооцоол.
1. Бернуллигийн томъёог ашиглан даралтын зөрүүг (\( \Дельта P \)) тооцоолно уу:
\[ P_{bottom} – P_{top} = \frac{1}{2} \rho (v_{top}^2 – v_{bottom}^2) \]
Мэдэгдэж буй утгуудыг орлуулна уу:
\[ \Дельта P = \frac{1}{2} \удаа 1.225 \удаа (70^2 – 50^2) \]
\[ \Дельта P = \frac{1}{2} \удаа 1.225 \удаа (4900 – 2500) \]
\[ \Дельта P = \frac{1}{2} \удаа 1.225 \удаа 2400 \]
\[ \Дельта P = 1.225 \үргэлжлэл 1200 \]
\[ \Дельта P = 1470 \, \текст{Па} \]
2. Өргөх хүчийг (\( F_{lift} \)) тооцоолно уу:
\[ F_{өргөлт} = \Дельта P \удаа A \]
\[ F_{өргөлт} = 1470 \, \text{Pa} \удаа 25 \, \text{m}^2 \]
\[ F_{өргөлт} = 36,750 \, \text{
N} \]
Тиймээс үүссэн өргөх хүч нь 36,750 Ньютон юм.
Дүгнэлт
Бернуллигийн зарчим нь шингэний механикийн үндсэн зарчмуудын нэг бөгөөд шингэний урсгалын хурд ба даралтын хоорондын хамаарлыг тайлбарладаг. Бернуллигийн томъёог ойлгож, хэрэгжүүлснээр бид онгоцноос эхлээд урсгал хэмжигч хүртэл шингэний урсгалтай холбоотой янз бүрийн системийг шинжилж, зохион бүтээх боломжтой. Хэдийгээр практик дээр бид үрэлт ба турбулент зэрэг хүчин зүйлсийг харгалзан үзэх шаардлагатай болдог ч Бернуллигийн зарчим нь шингэний динамикийг ойлгох, үр ашигтай инженерийн шийдлүүдийг боловсруулахад чухал хэрэгсэл хэвээр байна.
