Нэгж векторын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг ашиглан цэгэн үржүүлгийн материал
Хэрэв бид A ба B векторуудын x, y ба z бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг (мэдэгдэж буй векторууд) мэдэж байвал скаляр үржвэрийг шууд тооцоолж чадна.
Цэгэн үржвэрийг ингэж гүйцэтгэхийн тулд бид эхлээд нэгж векторуудын цэгэн үржвэрийг гүйцэтгэж, үүний дараа А ба В векторуудыг тэдгээрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд илэрхийлж, үржвэрийг задалж, нэгж векторуудын үржвэрийг ашиглана.
i , j , k нэгж векторууд нь бие биентэйгээ перпендикуляр байрладаг тул тооцооллыг хялбар болгодог. Дээрх скаляр үржүүлгийн тэгшитгэлийг ( AB = AB cos theta ) ашиглан бид дараах зүйлийг олж авна:
i . i = j . j = k . k = (1)(1) cos 0 = 1
i . j = i . k = j . k = (1)(1) cos 90 o = 0
Одоо бид А ба В векторуудыг тэдгээрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдээр илэрхийлж, тэдгээрийн үржвэрийг задалж, нэгж векторуудын үржвэрийг ашиглана.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Учир нь i . i = j . j = k . k = 1 ба i . j = i . k = j . k = 0, тэгвэл:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
A. B = A x B x (1) + 0 + 0 +
0 + A y By y (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Энэхүү тооцооллын үр дүнд үндэслэн хоёр векторын скаляр үржвэр буюу цэгэн үржвэр нь тэдгээрийн ижил төстэй бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн үржвэрийн нийлбэр гэж дүгнэж болно.
Жишээ асуулт 1:
Том вектор A Дан B доорх зурагт үзүүлсэн шиг тус тус 5 ба 4 байна. Үүссэн өнцөг нь 90 байна.oТоолж үз. цэгэн үржвэр хоёр вектор хоёулаа.
Хэлэлцүүлэг
А ба В векторуудын цэгэн үржвэрийг тооцоолохоос өмнө бид эхлээд хоёр дахь векторын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг мэдэх хэрэгтэй.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
B z = 0
А вектор нь зөвхөн x тэнхлэг дээр вектор бүрэлдэхүүнтэй, B вектор нь зөвхөн y тэнхлэг дээр вектор бүрэлдэхүүнтэй. А ба B векторууд xy хавтгайд байрладаг тул z бүрэлдэхүүн нь тэг юм.
Одоо бид бүрэлдэхүүн векторуудтай цэгэн үржвэрийн тэгшитгэлийг ашиглан А ба В векторуудын хоорондох цэгэн үржвэрийг тооцоолно :
А. B = Ax Bx + AyBy + AzBz
А. Б = (5) (0) + (0) (4) + 0
А. Б = 0 + 0 + 0
А. Б = 0
Үүнийг эхний аргатай харьцуулж үзье
AB = AB cos theta
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
Үр дүн нь адилхан.
Жишээ асуулт 2:
Том вектор A Дан B доорх зурагт үзүүлсэн шиг тус тус 5 ба 4 байна. Тооцоолох цэгэн үржвэр үүссэн өнцөг нь 30 бол хоёр вектор хоёулааo
Хэлэлцүүлэг
А ба В векторуудын цэгэн үржвэрийг тооцоолохоос өмнө бид эхлээд хоёр дахь векторын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг мэдэх хэрэгтэй.
А ба В векторууд xy хавтгайд байрладаг тул z бүрэлдэхүүн хэсэг нь тэгтэй тэнцүү байна .
Одоо бид бүрэлдэхүүн векторуудтай цэгэн үржвэрийн тэгшитгэлийг ашиглан А ба В векторуудын хоорондох цэгэн үржвэрийг тооцоолно :
Эхний аргатай харьцуул.
