Бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг ашиглан цэгэн үржүүлгийн материал Нэгжийн вектор
Хэрэв бид векторын x, y, z бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг мэдэж байвал скаляр үржвэрийг шууд тооцоолж чадна. A Дан B (мэдэгдэж буй вектор).
Ийм байдлаар цэгэн үржвэр хийхийн тулд эхлээд нэгж векторуудын цэгэн үржвэрийг гаргаж, дараа нь векторыг илэрхийлнэ. A Дан B түүний бүрэлдэхүүн хэсгүүдэд хувааж, үржвэрийг нь задалж, нэгж векторуудын үржвэрийг ашиглана.
Нэг вектор i, j Дан k бие биендээ перпендикуляр тул бидний тооцоолоход хялбар болгож байна. Дээрх скаляр үржүүлгийн тэгшитгэлийг ашиглан (AB = AB кос авга эгч) бид дараахийг авна:
би. би = ж. ж. = к. к = (1)(1) cos 0 = 1
би. ж = i. k = ж. к = (1)(1) cos 90o = 0
Одоо бид А ба В векторуудыг тэдгээрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдээр илэрхийлж, тэдгээрийн үржвэрийг задалж, нэгж векторуудын үржвэрийг ашиглана.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
Учир нь i . i = j . j = k . k = 1 ба i . j = i . k = j . k = 0, тэгвэл:
A . B = AxBx (1) + AxBy (0) + Ax Bz (0) +
AyBx (0) + AyBy (1) + AyBz (0) +
AzBx (0) + AzBy (0) + AzBz (1)
A . B = AxBx (1) + 0 + 0 +
0 + AyBy (1) + 0 +
0 + 0 + AzBz (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Энэхүү тооцооллын үр дүнд үндэслэн хоёр векторын скаляр үржвэр буюу цэгэн үржвэр нь тэдгээрийн ижил төстэй бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн үржвэрийн нийлбэр гэж дүгнэж болно.
Жишээ асуулт 1:
Том вектор A Дан B доорх зурагт үзүүлсэн шиг тус тус 5 ба 4 байна. Үүссэн өнцөг нь 90 байна.oТоолж үз. цэгэн үржвэр хоёр вектор хоёулаа.
Хэлэлцүүлэг
А ба В векторуудын цэгэн үржвэрийг тооцоолохоос өмнө бид эхлээд хоёр дахь векторын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг мэдэх хэрэгтэй.
Ax = (5) cos 0o = (5) (1) = 5
Ay = (5) нүгэл 0o = (5) (0) = 0
Az = 0
Bx = (4) cos 90o = (4) (0) = 0
By = (4) нүгэл 90o = (4) (1) = 4
Bz = 0
Вектор A зөвхөн x тэнхлэг дээр векторын бүрэлдэхүүн хэсгүүдтэй ба вектор нь B зөвхөн y тэнхлэг дээр вектор бүрэлдэхүүн хэсэгтэй. z бүрэлдэхүүн хэсэг нь тэгтэй тэнцүү, учир нь вектор A Дан B xy хавтгайд байна.
Одоо бид векторуудын хоорондох цэгэн үржвэрийг тооцоолно A Дан B бүрэлдэхүүн векторуудтай цэгэн үржвэрийн тэгшитгэлийг ашиглан:
А. B = Ax Bx + AyBy + AzBz
А. Б = (5) (0) + (0) (4) + 0
А. Б = 0 + 0 + 0
А. Б = 0
Үүнийг эхний аргатай харьцуулж үзье
AB = AB кос авга эгч
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
Үр дүн нь адилхан.
Жишээ асуулт 2:
Том вектор A Дан B доорх зурагт үзүүлсэн шиг тус тус 5 ба 4 байна. Тооцоолох цэгэн үржвэр үүссэн өнцөг нь 30 бол хоёр вектор хоёулааo
Хэлэлцүүлэг
А ба В векторуудын цэгэн үржвэрийг тооцоолохоос өмнө бид эхлээд хоёр дахь векторын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг мэдэх хэрэгтэй.
z бүрэлдэхүүн хэсэг нь тэгтэй тэнцүү, учир нь вектор A Дан B xy хавтгайд байна.
Одоо бид векторуудын хоорондох цэгэн үржвэрийг тооцоолно A Дан B бүрэлдэхүүн векторуудтай цэгэн үржвэрийн тэгшитгэлийг ашиглан:
Эхний аргатай харьцуул.
