Комплекс тоонууд дээрх үйлдлүүд
Комплекс тоонууд нь бодит ба хуурмаг тоонуудыг хослуулсан математикийн ойлголт юм. Эдгээр нь физик, инженерчлэл, математик зэрэг шинжлэх ухааны олон салбарын үндэс суурь болдог. Энэ нийтлэлд бид нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах гэх мэт комплекс тоонууд дээр гүйцэтгэж болох янз бүрийн үйлдлүүдийг судлах болно.
Комплекс тоонуудыг ойлгох нь
Бүх комплекс тоог \(a+bi\) хэлбэрээр бичиж болно, энд \(a\) ба \(b\) нь бодит тоонууд бөгөөд \(i\) нь \(i^2 = -1\)-ийг хангасан хуурмаг нэгж юм. \(a\) нэр томьёог бодит хэсэг гэж нэрлэдэг бол \(b\) нь комплекс тооны хуурмаг хэсэг юм. Жишээлбэл, \(3 + 4i\) нь бодит хэсэг 3 ба хуурмаг хэсэг 4-тэй комплекс тоо юм.
Үндсэн тэгшитгэлийн хувьд бид дараахтай байна:
\[ i^2 = -1 \]
Энэ нь \(i\) нь -1-ийн квадрат язгуур гэсэн үг юм.
Нэмэх ба хасах
Комплекс тоонуудыг нэмэх ба хасах үйлдлийг бодит ба хуурмаг хэсгүүдийг тус тус нэмж, хасах замаар хийнэ. Бидэнд хоёр комплекс тоо байна гэж үзье, тэгвэл:
\[ z_1 + z_2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i \]
\[ z_1 – z_2 = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i \]
Жишээ:
z_1 = 3 + 4i ) ба z_2 = 1 + 2i ) гэж үзье, тэгвэл:
\[ z_1 + z_2 = (3+1) + (4+2)i = 4 + 6i \]
\[ z_1 – z_2 = (3-1) + (4-2)i = 2 + 2i \]
Үржүүлэх
Комплекс тоонуудыг үржүүлэх нь алгебрын нэгэн адил тархалтын утгыг ашигладаг боловч \(i^2 = -1 \)-г харгалзан үздэг. \(z_1 = a + bi \) ба \(z_2 = c + di \) гэж үзье, тэгвэл:
\[ z_1 \cdot z_2 = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 \]
\[ = ac + adi + bci + bd(-1) \]
\[ = ac + adi + bci – bd \]
\[ = (ac – bd) + (ad + bc)i \]
Жишээ:
z_1 = 3 + 4i ) ба z_2 = 1 + 2i ) гэж үзье, тэгвэл:
\[ z_1 \cdot z_2 = (3 + 4i)(1 + 2i) \]
\[ = 3 \cdot 1 + 3 \cdot 2i + 4i \cdot 1 + 4i \cdot 2i \]
\[ = 3 + 6i + 4i + 8i^2 \]
\[ = 3 + 10i + 8(-1) \]
\[ = 3 + 10i – 8 \]
\[ = -5 + 10i \]
Хуваарилалт
Комплекс тооны хуваалтыг хүртвэр болон хуваагчийг хуваагчийн холбоосоор үржүүлж хийнэ. Комплекс тооны холбоос нь (z = a + bi) нь (\overline{z} = a – bi \) байна.
\(z_1 = a + bi \) ба \(z_2 = c + di \) гэж үзье, тэгвэл:
\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{a + bi}{c + di} \]
Хуваагчийн коньюгатаар үржүүлнэ:
\[ = \frac{(a + bi)(c – di)}{(c + di)(c – di)} \]
\[ = \frac{(ac + bd) + (bc – ad)i}{c^2 + d^2} \]
Жишээ:
z_1 = 3 + 4i ) ба z_2 = 1 + 2i ) гэж үзье, тэгвэл:
Холбоос \(z_2 = 1 – 2i \).
\[ \frac{z_1}{z_2} = \frac{3 + 4i}{1 + 2i} \cdot \frac{1 – 2i}{1 – 2i} \]
\[ = \frac{(3 + 4i)(1 – 2i)}{(1 + 2i)(1 – 2i)} \]
\[ = \frac{3 – 6i + 4i – 8i^2}{1 – 4i^2} \]
\( i^2 = -1 \) гэдгийг мэднэ:
\[ = \frac{3 – 6i + 4i + 8}{1 + 4} \]
\[ = \frac{11 – 2i}{5} \]
\[ = \frac{11}{5} – \frac{2i}{5} \]
\[ = 2.2 – 0.4i \]
Модуль ба аргументууд
Комплекс тооны модуль нь комплекс хавтгай дахь гарал үүслээс комплекс тооны илэрхийлсэн цэг хүртэлх зай юм. Комплекс тооны модуль \(z = a + bi \)-г \(|z| \) гэж илэрхийлж, дараах томъёогоор тооцоолно:
\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \]
Жишээ:
Хэрэв \(z = 3 + 4i \) бол:
\[ |z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]
Комплекс тооны аргумент нь комплекс тооны комплекс хавтгайд бодит тэнхлэгтэй үүсэх өнцөг бөгөөд ихэвчлэн радиан эсвэл градусаар илэрхийлэгддэг.
Туйлын хэлбэр
Комплекс тоонуудыг туйлшралын хэлбэрээр илэрхийлж болно. Энэ хэлбэр нь ихэвчлэн комплекс тоонуудын зэрэг болон язгууртай холбоотой тооцооллыг хялбарчилдаг. Комплекс тоог дараах байдлаар илэрхийлж болно:
\[ z = r(\cos \theta + i \sin \theta) \]
энд \(r \) нь модуль ба \(\theta \) нь комплекс тооны аргумент юм.
Бусад цогц операторууд: Экспоненциал ба логарифмын
Нийлмэл тоонуудыг экспоненциал хэлбэрт хөрвүүлэхдээ Эйлерийн томъёог ашиглан хийж болно:
\[ z = re^{i\theta} \]
энд \( e \) нь натурал логарифмын суурь, \( theta \) нь \( z \)-ийн аргумент юм.
Комплекс тоонуудыг зэрэглэх нь олон үйлдэлд, ялангуяа Фурьегийн шинжилгээ болон Лапласын хувиргалтад маш хэрэгтэй байдаг.
Дүгнэлт
Комплекс тоонууд нь математик болон шинжлэх ухааны олон төрлийн асуудлыг шийдвэрлэхэд маш их хэрэгтэй үндсэн хэрэгсэл юм. Нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах зэрэг үндсэн үйлдлүүдийг эзэмших нь чухал эхний алхам юм. Цаашилбал, модуль, аргумент, туйлт болон экспоненциал хэлбэрт хөрвүүлэх тухай ойлголтуудыг ойлгох нь комплекс тоонуудыг олон төрлийн салбарт хэрэглэхийг судлах чадварыг маань нэмэгдүүлдэг.
Комплекс тоонуудыг ойлгож, хэрэгжүүлснээр бид зөвхөн бодит тоонуудыг ашиглан бодоход хэцүү эсвэл бүр боломжгүй байж болох бодлогуудыг шийдэж чадна. Хүчирхэг аналитик хэрэгсэл болохын хувьд комплекс тоонууд өнөөг хүртэл математик болон шинжлэх ухааны хэрэглээний салшгүй хэсэг хэвээр байна.
