Бүлгийн өгөгдлийн квартилууд
Пендахулуан
Өгөгдөл цуглуулах, шинжлэх, тайлбарлах, танилцуулах, зохион байгуулахтай холбоотой шинжлэх ухааны салбар болох статистик нь өгөгдөлд суурилсан шийдвэр гаргахад тусалдаг олон чухал ойлголттой байдаг. Өгөгдлийн шинжилгээний нэг чухал статистик ойлголт бол квартил юм. Квартил нь өгөгдлийн тархалт болон өгөгдлийг хэрхэн бүлэглэдэг болохыг ойлгоход тусалдаг. Энэ нийтлэлд бид квартилуудыг бүлэглэсэн өгөгдлийн хүрээнд нарийвчлан авч үзэх, тэдгээрийг хэрхэн тооцоолох, үр дүнг тайлбарлах нь өгөгдлийн тархалтын талаар илүү гүнзгий ойлголт өгөх боломжтой.
Квартилуудыг ойлгох
Энгийнээр хэлбэл, квартил гэдэг нь өгөгдлийг дөрвөн тэнцүү хэсэгт хуваадаг утгууд юм. Өгөгдлийн тархалтын хүрээнд квартилууд нь өгөгдлийг гурван цэгт хувааж, дөрвөн интервал үүсгэдэг. Эдгээр гурван цэг: Эхний квартил (Q1), Хоёрдугаар квартил (Q2), Гуравдугаар квартил (Q3) нь статистикийн шинжилгээний үндэс суурь болдог. Квартил бүр өгөгдлийг ойлгоход өөр өөр утга, үүрэгтэй байдаг.
– Эхний Квартил (Q1): Энэ нь өгөгдлийн доод хагасын дунд утга бөгөөд 25 дахь хувь хэмжээ гэж нэрлэгддэг.
– Хоёрдугаар Квартил (Q2): Энэ нь бүх өгөгдлийн дунд утга бөгөөд медиан буюу 50 дахь хувь перцентиль гэж нэрлэгддэг.
– Гуравдугаар Квартил (3-р улирал): Энэ нь өгөгдлийн дээд хагасын дундаж утга бөгөөд үүнийг 75 дахь хувь хэмжээ гэж нэрлэдэг.
Квартилуудыг тархалтын янз бүрийн талыг тодорхойлох, өгөгдлийн хүрээ болон тогтвортой байдлын талаар илүү дэлгэрэнгүй мэдээлэл өгөхөд ашигладаг.
Бүлэглэсэн өгөгдөл дэх квартилууд
Бодит ертөнцөд цуглуулсан өгөгдлийг ихэвчлэн бүлэглэдэггүй (түүхий өгөгдөл), харин харгалзах давтамжтайгаар бүлэглэдэг (бүлэглэсэн өгөгдөл). Бүлэглэсэн өгөгдлийг шинжлэх нь өгөгдлийг янз бүрийн ангилал эсвэл ангиудад хэрхэн хуваарилсан талаар мэдээлэл өгөх зорилготой. Бүлэглэсэн өгөгдлийн квартилийг тооцоолох нь бүлэглээгүй өгөгдлөөс хэд хэдэн өөр алхамыг хамардаг.
Бүлэглэсэн өгөгдлийн квартилуудыг тооцоолох алхамууд
Бүлэглэсэн өгөгдлийн квартилийг тооцоолохын тулд бидэнд давтамжийн тархалтаас авсан зарим үндсэн мэдээлэл, тухайлбал дээд ба доод ангиллын хязгаар, анги бүрийн давтамж, хуримтлагдсан давтамж хэрэгтэй. Бүлэглэсэн өгөгдлийн квартилийг тооцоолох алхмууд энд байна:
1. Квартилын ангийг тодорхойлно уу:
– Эхний Квартил (Q1): Хуримтлагдсан давтамж нь \( \frac{N}{4} \)-д ойртдог ангиудад олддог.
– Хоёрдугаар Квартил (Q2) эсвэл Медиан: Хуримтлагдсан давтамж нь \( \frac{N}{2} \)-д ойртдог ангиудад олддог.
– Гуравдугаар Квартил (Q3): Хуримтлагдсан давтамж нь \( \frac{3N}{4} \)-д ойртдог ангиудад олддог.
2. Бүлэглэсэн өгөгдлийн хувьд Квартилын томъёог ашиглана уу:
– Эхний квартилийн томъёо (Q1):
\[
Q1 = L + \left( \frac{\frac{N}{4} – Fk}{f} \right) \times c
\]
– Хоёрдугаар квартилийн томъёо (Q2):
\[
Q2 = L + \left( \frac{\frac{N}{2} – Fk}{f} \right) \times c
\]
– Гуравдугаар квартилийн томъёо (Q3):
\[
Q3 = L + \left( \frac{\frac{3N}{4} – Fk}{f} \right) \times c
\]
Хаана:
– \( L \) нь квартилын ангийн доод хязгаар юм
– \( N \) нь нийт давтамж юм
– \( Fk \) нь квартилын ангилал хүртэлх хуримтлагдсан давтамж юм.
– \( f \) нь квартилын ангийн давтамж юм
– \( c \) нь ангийн өргөн юм
Бүлэглэсэн өгөгдлийн квартилийн тооцооллын жишээ
Ойлгоход хялбар болгохын тулд дараах жишээг авч үзье.
Өгөгдлийн давтамжийн тархалт дараах байдалтай байна.
| Ангийн интервал | Давтамж (f) |
|——————-|———————|
| 10 – 20 | 5 |
| 20 – 30 | 8 |
| 30 – 40 | 12 |
| 40 – 50 | 7 |
| 50 – 60 | 3 |
Лангка-лангка:
1. N-г тодорхойлно уу: Нийт давтамж \( N = 5 + 8 + 12 + 7 + 3 = 35 \)
2. Хуримтлагдсан давтамж (Fk):
| Интервалын ангилал | Давтамж (f) | Хуримтлагдсан давтамж (Fk) |
|——————-|———————|————————–|
| 10 – 20 | 5 | 5 |
| 20 – 30 | 8 | 13 |
| 30 – 40 | 12 | 25 |
| 40 – 50 | 7 | 32 |
| 50 – 60 | 3 | 35 |
3. Квартилын ангиудыг олох нь:
– А1: \( \frac{N}{4} = 8.75 \) нь 20 – 30 ангилалд багтдаг
– А2: \( \frac{N}{2} = 17.5 \) нь 30 – 40 ангилалд багтдаг
– А3: \( \frac{3N}{4} = 26.25 \) нь 40 – 50 ангилалд багтдаг
4. Квартилуудыг тооцоолох нь:
– 1-р улиралд:
– \( L = 20 \)
– \( Fk = 5 \)
– \( f = 8 \)
– \( c = 10 \)
\[
Q1 = 20 + \left( \frac{8.75 – 5}{8} \right) \times 10 = 20 + (0.46875) \times 10 = 24.6875
\]
– 2-р улиралд:
– \( L = 30 \)
– \( Fk = 13 \)
– \( f = 12 \)
– \( c = 10 \)
\[
Q2 = 30 + \left( \frac{17.5 – 13}{12} \right) \times 10 = 30 + (0.375) \times 10 = 33.75
\]
– 3-р улиралд:
– \( L = 40 \)
– \( Fk = 25 \)
– \( f = 7 \)
– \( c = 10 \)
\[
Q3 = 40 + \left( \frac{26.25 – 25}{7} \right) \times 10 = 40 + (0.17857) \times 10 = 41.7857
\]
Үр дүнгийн тайлбар
Дээрх тооцооллыг ашиглан бид дараахь зүйлийг олж авна.
– Q1 = 24.6875
– Q2 = 33.75
– Q3 = 41.7857
Эдгээр квартилууд нь бидэнд өгөгдлийн тархалтын талаар нэмэлт мэдээлэл өгдөг:
– Q1=24.6875: Өгөгдлийн 25% нь 24.6875-аас доош байна
– Q2=33.75: Өгөгдлийн 50% нь 33.75-аас доош байна
– Q3=41.7857: Өгөгдлийн 75% нь 41.7857-аас доош байна
Квартил мэдээлэл нь бидэнд өгөгдлийн төвлөрөл болон түүний хувьсах хүрээг ойлгох боломжийг олгодог. Энэхүү мэдээлэл нь шийдвэр гаргах, цаашдын өгөгдлийн шинжилгээнд, тухайлбал гадуурх утгыг илрүүлэх эсвэл системийн гүйцэтгэлийн үнэлгээнд маш их хэрэгтэй байж болно.
Дүгнэлт
Бүлэглэсэн өгөгдлийн квартилууд нь статистикийн шинжилгээнд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Зөв аргуудын тусламжтайгаар бид өгөгдлийн тархалтыг илүү дэлгэрэнгүй, нарийвчлалтайгаар ойлгож чадна. Энэхүү мэдээлэл нь өгөгдлийг тайлбарлахад туслахаас гадна эмпирик нотолгоонд үндэслэн илүү мэдээлэлтэй шийдвэр гаргахад тусалдаг. Эцэст нь хэлэхэд, бүлэглэсэн өгөгдлийн квартилуудыг хэрхэн тооцоолж, тайлбарлахыг ойлгох нь өгөгдлийн шинжээч бүрийн эзэмших ёстой үндсэн ур чадвар юм.
