Баганын вектор ба мөрийн векторуудын талаарх жишээ асуултууд
Математик, ялангуяа шугаман алгебрт векторууд нь физикийн загварчлалаас эхлээд тооцоолол хүртэл янз бүрийн хэрэглээнд байнга хэрэглэгддэг үндсэн ойлголт юм. Баганын вектор ба мөрийн векторууд нь вектор дүрслэлийн хоёр хэлбэр бөгөөд тус бүр өөрийн гэсэн шинж чанар, хэрэглээтэй байдаг. Энэ нийтлэлд багана вектор ба мөрийн векторуудыг хамарсан жишээ бодлого болон тэдгээрийн шийдлүүдийг авч үзэх болно.
Баганын вектор ба мөрийн векторын тодорхойлолт
Жишээ асуултууд болон тэдгээрийн хэлэлцүүлэг рүү орохоосоо өмнө багана вектор ба мөр векторын үндсэн тодорхойлолтуудыг авч үзье.
– Баганын векторууд нь баганад, өөрөөр хэлбэл нэг босоо хэмжээст байрлуулсан векторууд юм. Жишээ нь:
\[
\mathbf{v} = \begin{pmatrix}
4 \\
3 \\
2
\end{pmatrix}
\]
– Мөрийн векторууд нь мөрөөр, өөрөөр хэлбэл нэг хэвтээ хэмжээсээр байрлуулсан векторууд юм. Жишээ нь:
\[
\mathbf{w} = \begin{pmatrix} 5 & 1 & 7 \end{pmatrix}
\]
Жишээ 1: Баганын векторуудыг нэмэх
Асуулт:
Дараах хоёр баганын вектор өгөгдсөн:
\[
\mathbf{u} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{v} = \begin{pmatrix}
4 \\
1 \\
0
\end{pmatrix}
\]
Хоёр баганын векторын нийлбэрийг тооцоол.
Шийдэл:
Хоёр баганын векторыг нэмэх нь тэдгээрийн харгалзах элементүүдийг нэмэх замаар хийгддэг.
\[
\mathbf{u} + \mathbf{v} = \эхлэх{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix} + \begin{pmatrix}
4 \\
1 \\
0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 + 4 \\
2 + 1 \\
3 + 0
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
5 \\
3 \\
3
\end{pmatrix}
\]
Тэгэхээр, \(\mathbf{u}\) болон \(\mathbf{v}\)-ийн нийлбэр нь \(\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ 3 \end{pmatrix}\) байна.
Жишээ асуулт 2: Мөрийн векторуудыг нэмэх
Асуулт:
Дараах хоёр мөрийн вектор өгөгдсөн:
\[
\mathbf{a} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \end{pmatrix}, \quad \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \end{pmatrix}
\]
Хоёр мөрийн векторын нийлбэрийг тооцоол.
Шийдэл:
Хоёр мөрийн векторыг нэмэх нь харгалзах элементүүдийг нэмэх замаар хийгддэг.
\[
\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 1 & 3 & 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 + 1 & 4 + 3 & 6 + 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 7 & 11 \end{pmatrix}
\]
Тэгэхээр, \(\mathbf{a}\) ба \(\mathbf{b}\)-ийн нийлбэр нь \(\begin{pmatrix} 3 & 7 & 11 \end{pmatrix}\) байна.
Жишээ 3: Баганын вектороор скаляр үржвэр
Асуулт:
Баганын вектор \(\mathbf{c}\) болон скаляр \(k\) өгөгдсөн:
\[
\mathbf{c} = \begin{pmatrix}
-3 \\
4 \\
5
\end{pmatrix}, \quad k = 2
\]
Скаляр үржвэрийн үр дүнг тооцоол.
Шийдэл:
Баганын вектороор скаляр үржүүлэхийг векторын элемент бүрийг скаляраар үржүүлэх замаар хийдэг.
\[
k\mathbf{c} = 2 \эхлэх{pmatrix}
-3 \\
4 \\
5
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
2 \удаа -3 \\
2 дахин 4
2 \5-ийг үржүүлсэн
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
-6 \\
8 \\
10
\end{pmatrix}
\]
Тэгэхээр, скаляр \(2\)-г баганын вектор \(\mathbf{c}\)-д үржүүлэх үр дүн нь \(\begin{pmatrix} -6 \\ 8 \\ 10 \end{pmatrix}\) болно.
Жишээ 4: Мөрийн вектороор скаляр үржвэр
Асуулт:
Мөрийн вектор \(\mathbf{d}\) болон скаляр \(m\) өгөгдсөн:
\[
\mathbf{d} = \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \end{pmatrix}, \quad m = -3
\]
Скаляр үржвэрийн үр дүнг тооцоол.
Шийдэл:
Мөрийн вектороор скаляр үржвэрийг векторын элемент бүрийг скаляраар үржүүлэх замаар гүйцэтгэнэ.
\[
m\mathbf{d} = -3 \begin{pmatrix} 7 & -2 & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \times 7 & -3 \times -2 & -3 \times 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}
\]
Тэгэхээр, скаляр \(-3\)-г мөрийн вектор \(\mathbf{d}\)-д үржүүлэх үр дүн нь \(\begin{pmatrix} -21 & 6 & -3 \end{pmatrix}\) болно.
Жишээ 5: Матрицыг (1-ийг 3-аар үржүүлэх) (Мөр векторыг баганын вектороор үржүүлэх)
Асуулт:
Мөрийн вектор \(\mathbf{e}\) ба баганын вектор \(\mathbf{f}\) өгөгдсөн:
\[
\mathbf{e} = \эхлэх{pmatrix} 2 & -1 & 4 \төгсгөл{pmatrix}, \quad \mathbf{f} = \эхлэх{pmatrix}
5 \\
3 \\
-2
\end{pmatrix}
\]
Хоёр векторын үржвэрийг тооцоол.
Шийдэл:
Матрицын үржвэрийг гүйцэтгэхийн тулд мөр вектор \(\mathbf{e}\)-г \(1 \times 3\) матриц, баганын вектор \(\mathbf{f}\)-г \(3 \times 1\) матриц гэж үзнэ. Энэ үржвэрийн үр дүн нь харгалзах элементүүдийн үржвэрийн нийлбэр болох скаляр юм:
\[
\mathbf{e} \mathbf{f} = \эхлэх{pmatrix} 2 & -1 & 4 \төгс{pmatrix} \эхлэх{pmatrix}
5 \\
3 \\
-2
\end{pmatrix} = (2 \times 5) + (-1 \times 3) + (4 \times -2) = 10 – 3 – 8 = -1
\]
Тэгэхээр, мөр вектор \(\mathbf{e}\)-г баганын вектор \(\mathbf{f}\)-д үржүүлэх үр дүн \(-1\) болно.
Жишээ 6: Матрицыг (3-ыг 1-ээр үржүүлэх) (Баганын векторыг мөрийн вектороор үржүүлэх)
Асуулт:
Баганын вектор \(\mathbf{g}\) болон мөрийн вектор \(\mathbf{h}\) өгөгдсөн:
\[
\mathbf{g} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix}, \quad \mathbf{h} = \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix}
\]
Хоёр векторын үржвэрийг тооцоол.
Шийдэл:
Баганын векторыг мөрийн вектороор матрицаар үржүүлэхэд (\(3 \times 1\)) матрицыг (\(1 \times 3\))-аар үржүүлж, \(3 \times 3\) матриц үүснэ. Шинэ элемент бүр нь харгалзах элементүүдийн үржвэр юм:
\[
\mathbf{g} \mathbf{h} = \begin{pmatrix}
1 \\
2 \\
3
\end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & 5 & 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
1 \4 дахин & 1 \5 дахин & 1 \6 дахин \\
2 \4 дахин & 2 \5 дахин & 2 \6 дахин \\
3 \дахин 4 & 3 \дахин 5 & 3 \дахин 6
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
4 & 5 & 6 \\
8 & 10 & 12 \\
12, 15, 18
\end{pmatrix}
\]
Тэгэхээр, баганын вектор \(\mathbf{g}\)-г мөрийн вектор \(\mathbf{h}\)-аар үржүүлсний үр дүн нь дараах матриц болно:
\[
\эхлэх{pmatrix}
4 & 5 & 6 \\
8 & 10 & 12 \\
12, 15, 18
\end{pmatrix}
\]
Дүгнэлт
Энэ нийтлэлд бид багана болон мөрийн векторуудыг хамарсан хэд хэдэн жишээг харсан. Багана болон мөрийн векторуудыг хоёуланг нь нэмэх нь тэдгээрийн харгалзах элементүүдийг нэмэх замаар хийгддэг. Вектороор скаляр үржүүлэхийг мөн векторын элемент бүрийг скаляраар үржүүлэх замаар хийдэг. Эцэст нь бид мөр болон баганын векторуудыг дарааллаас нь хамааран скаляр эсвэл матрицын аль нэгийг гаргаж үржүүлэхийг сурсан. Эдгээр үндсэн үйлдлүүдийг эзэмших нь шугаман алгебр болон өгөгдлийн шинжилгээний илүү нарийн төвөгтэй хэрэглээнд чухал ач холбогдолтой юм.
