Декартын координатын систем дэх гурван хэмжээст векторын жишээ асуултууд ба хэлэлцүүлэг
Гурван хэмжээст векторууд нь математик, физикийн чухал ойлголт бөгөөд ихэвчлэн гурван хэмжээст орон зайд объект эсвэл үзэгдлийг дүрслэхэд ашиглагддаг. Декартын координатын системд эдгээр векторуудыг ихэвчлэн \( (x, y, z) \) гэж тэмдэглэсэн гурван бүрэлдэхүүн хэсгээр дүрсэлдэг. Энэ нийтлэлд Декартын координатын систем дэх гурван хэмжээст векторуудтай холбоотой хэд хэдэн жишээ бодлого, шийдлүүдийг авч үзэх болно.
Гурван хэмжээст векторыг ойлгох нь
Гурван хэмжээст орон зай дахь векторыг дараах байдлаар илэрхийлж болно: \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\), энд:
– \(A_x\) нь х тэнхлэгийн дагуух векторын бүрэлдэхүүн хэсэг юм.
– \(A_y\) нь y тэнхлэгийн дагуух вектор бүрэлдэхүүн хэсэг юм.
– \(A_z\) нь z тэнхлэгийн дагуух вектор бүрэлдэхүүн хэсэг юм.
Жишээ асуултууд болон хэлэлцүүлэг
Асуулт 1: Вектор нэмэх үйлдэл
\(\mathbf{A} = (2, -3, 4)\) ба \(\mathbf{B} = (-1, 5, 2)\) гэсэн хоёр вектор өгөгдсөн. Эдгээр хоёр векторын нийлбэрийг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг:
\(\mathbf{A}\) болон \(\mathbf{B}\) гэсэн хоёр векторыг нэмэх нь тэдгээрийн харгалзах бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг нэмэх замаар хийгддэг. Тиймээс бидэнд дараах байдалтай байна:
\[
\mathbf{C} = \mathbf{A} + \mathbf{B} = (A_x + B_x, A_y + B_y, A_z + B_z)
\]
Өгөгдсөн векторын утгуудыг орлуулна уу:
\[
\mathbf{C} = (2 + (-1), -3 + 5, 4 + 2) = (1, 2, 6)
\]
Тэгэхээр, \(\mathbf{A}\) болон \(\mathbf{B}\) векторуудыг нэмэх үр дүн нь \(\mathbf{C} = (1, 2, 6)\) байна.
Асуулт 2: Векторын хасах үйлдэл
\(\mathbf{A} = (4, 1, -2)\) ба \(\mathbf{B} = (5, -3, 6)\) гэсэн хоёр вектор өгөгдсөн. Эдгээр хоёр векторын хасахыг тооцоол, тухайлбал \(\mathbf{A} – \mathbf{B}\).
Хэлэлцүүлэг:
\(\mathbf{A}\) ба \(\mathbf{B}\) гэсэн хоёр векторыг хасахын тулд тэдгээрийн харгалзах бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг хасна. Тиймээс бидэнд дараах зүйлс байна:
\[
\mathbf{D} = \mathbf{A} – \mathbf{B} = (A_x – B_x, A_y – B_y, A_z – B_z)
\]
Өгөгдсөн векторын утгуудыг орлуулна уу:
\[
\mathbf{D} = (4 – 5, 1 – (-3), -2 – 6) = (-1, 4, -8)
\]
Тэгэхээр, \(\mathbf{A}\) ба \(\mathbf{B}\) векторуудыг хассаны үр дүн нь \(\mathbf{D} = (-1, 4, -8)\) байна.
Асуулт 3: Скаляр үржүүлэх үйлдэл
Вектор \(\mathbf{A} = (3, -2, 7)\) ба скаляр \(k = 4\) өгөгдсөн. Эдгээр векторуудын скаляр үржвэрийг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг:
Скаляр \(k\)-г \(\mathbf{A}\) вектороор үржүүлэх нь векторын бүрэлдэхүүн хэсэг бүрийг тухайн скаляраар үржүүлснээр хийгддэг. Тиймээс бид дараах байдалтай байна:
\[
\mathbf{E} = k \cdot \mathbf{A} = k \cdot (A_x, A_y, A_z) = (k \cdot A_x, k \cdot A_y, k \cdot A_z)
\]
Өгөгдсөн утгуудыг орлуулна уу:
\[
\mathbf{E} = 4 \cdot (3, -2, 7) = (4 \cdot 3, 4 \cdot -2, 4 \cdot 7) = (12, -8, 28)
\]
Тэгэхээр, скаляр \(k\)-г \(\mathbf{A}\) вектороор үржүүлэх үр дүн нь \(\mathbf{E} = (12, -8, 28)\) болно.
Асуулт 4: Векторын урт
Векторын уртыг (магнитудыг) тооцоол. \(\mathbf{A} = (1, 2, 2)\).
Хэлэлцүүлэг:
Векторын урт буюу хэмжээг \(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) дараах томъёогоор тооцоолж болно:
\[
|\mathbf{A}| = \sqrt{A_x^2 + A_y^2 + A_z^2}
\]
Өгөгдсөн утгуудыг орлуулна уу:
\[
|\mathbf{A}| = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3
\]
Тэгэхээр, \(\mathbf{A}\) векторын урт нь 3 байна.
Асуулт 5: Цэгэн үржвэр
\(\mathbf{A} = (1, 0, -1)\) ба \(\mathbf{B} = (2, 3, 4)\) гэсэн хоёр вектор өгөгдсөн. Эдгээр хоёр векторын цэгэн үржвэрийг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг:
\(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) ба \(\mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)\) гэсэн хоёр векторын цэгэн үржвэрийг харгалзах бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг үржүүлээд дараа нь нэмэх замаар хийнэ. Тиймээс бид дараах хэлбэртэй байна:
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_x \cdot B_x + A_y \cdot B_y + A_z \cdot B_z
\]
Өгөгдсөн утгуудыг орлуулна уу:
\[
\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = (1 \cdot 2) + (0 \cdot 3) + (-1 \cdot 4) = 2 + 0 – 4 = -2
\]
Тэгэхээр, \(\mathbf{A}\) ба \(\mathbf{B}\) векторуудын цэгэн үржвэр нь -2 байна.
Асуулт 6: Хөндлөн үржвэр
\(\mathbf{A} = (1, 2, 3)\) ба \(\mathbf{B} = (4, 5, 6)\) гэсэн хоёр вектор өгөгдсөн. Эдгээр хоёр векторын хөндлөн үржвэрийг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг:
\(\mathbf{A} = (A_x, A_y, A_z)\) болон \(\mathbf{B} = (B_x, B_y, B_z)\) гэсэн хоёр векторын хөндлөн үржвэрийг дараах томъёогоор тооцоолно:
\[
\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \left( (A_y \cdot B_z – A_z \cdot B_y), (A_z \cdot B_x – A_x \cdot B_z), (A_x \cdot B_y – A_y \cdot B_x) \right)
\]
Өгөгдсөн утгуудыг орлуулна уу:
\[
\mathbf{A} \times \mathbf{B} = \left( (2 \cdot 6 – 3 \cdot 5), (3 \cdot 4 – 1 \cdot 6), (1 \cdot 5 – 2 \cdot 4) \right) = (12 – 15, 12 – 6, 5 – 8) = (-3, 6, -3)
\]
Тэгэхээр, \(\mathbf{A}\) ба \(\mathbf{B}\) векторуудын хөндлөн үржвэр нь \(\mathbf{A} \times \mathbf{B} = (-3, 6, -3)\) байна.
Дүгнэлт
Декартын координатын систем дэх гурван хэмжээст векторууд нь шинжлэх ухаан, инженерийн янз бүрийн салбарт зайлшгүй шаардлагатай хэрэгсэл юм. Дээрх жишээ, хэлэлцүүлгээр дамжуулан бид векторууд дээр нэмэх, хасах, скаляр үржүүлэх, цэгэн ба хөндлөн үржвэр гэх мэт янз бүрийн үндсэн үйлдлүүдийг хэрхэн гүйцэтгэхийг харсан. Эдгээр ойлголтуудыг сайтар ойлгох нь зөвхөн математикт төдийгүй физик, инженерчлэл, компьютерийн шинжлэх ухааны практик хэрэглээнд үнэлж баршгүй ач холбогдолтой байх болно.
