Жишээ асуултууд ба хэлэлцүүлэг: Ганц өгөгдлийн дисперс ба стандарт хазайлт
Статистик бол өгөгдөл цуглуулах, шинжлэх, тайлбарлах, танилцуулах, зохион байгуулахтай холбоотой математикийн салбар юм. Статистикийн хоёр чухал ойлголт бол дисперс ба стандарт хазайлт юм. Энэ нийтлэлд хэд хэдэн жишээ бодлогын тусламжтайгаар нэг өгөгдлийн багцын дисперс ба стандарт хазайлтыг хэрхэн тооцоолох талаар дэлгэрэнгүй авч үзэх болно.
Дисперс ба стандарт хазайлтыг ойлгох нь
Хувьсах хэмжүүр нь өгөгдлийн багц дахь тоонууд дундаж буюу дунджаас хэр хол тархсаныг тоон үзүүлэлтээр илэрхийлдэг хэмжүүр юм. Хувьсах хэмжүүрийг анхны өгөгдлийн квадрат нэгжээр илэрхийлдэг тул тайлбарлахад ихэвчлэн хэцүү байдаг.
Стандарт хазайлт нь дисперсийн квадрат язгуур юм. Энэ нь өгөгдлийн нэгж нь өгөгдлийн анхны нэгжтэй ижил байдаг тул өгөгдөл нь дундажаас хэр хол хазайж байгааг илүү ойлгомжтой хэмжүүрээр хангадаг.
Ерөнхий томъёо
Ганц өгөгдлийн хувьд популяцийн дисперс \( \sigma^2 \) ба стандарт хазайлт \( \sigma \)-ийн томъёо дараах байдалтай байна:
1. Дисперс (σ²):
\( \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)
2. Стандарт хазайлт (σ):
\( \sigma = \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2} \)
Хаана:
– \( N \) нь популяци дахь өгөгдлийн тоо юм.
– \( x_i \) нь ith өгөгдлийн утга юм.
– \( \mu \) нь өгөгдлийн дундаж буюу дундаж юм.
Хэрэв бид түүврийн дисперс ба стандарт хазайлтыг тооцоолвол дээрх томъёог бага зэрэг өөрчилсөн болно:
1. Түүврийн дисперс (s²):
\( s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \)
2. Стандарт хазайлтын жишээ(үүд):
\( s = \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2} \)
Хаана:
– \( n \) нь түүвэр дэх өгөгдлийн тоо юм.
– \( \bar{x} \) нь түүврийн дундаж буюу дундаж юм.
Жишээ асуултууд болон хэлэлцүүлэг
Жишээ асуулт 1:
Дараах өгөгдлийг өгсөн болно:
8, 10, 10, 10, 12, 14
Өгөгдлийн дисперс ба стандарт хазайлтыг тооцоол!
Шийдлийн алхамууд:
1. Дундаж утгыг (дундаж) тооцоолох нь:
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]
2. Өгөгдөл болон дундажийн зөрүүг тооцоолж, дараа нь квадратыг тооцоол:
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]
3. Бүх квадрат үр дүнг нэмэх:
\[
\нийлбэр (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
4. Хүн амын өгөгдлийн дисперсийг (σ²) тооцоолох нь:
\[
\sigma^2 = \frac{21.3534}{6} = 3.559
\]
Тэмдэглэл: Энэ өгөгдлийг хүн амын мэдээлэл гэж заасан тул бид 6-д хуваана.
5. Стандарт хазайлтыг (σ) тооцоолох нь:
\[
\sigma = \sqrt{3.559} \ойролцоогоор 1.886
\]
Тиймээс өгөгдлийн дисперс нь 3.559, стандарт хазайлт нь 1.886 байна.
Жишээ асуулт 2:
Дараах жишээ өгөгдлийг өгсөн болно:
5, 6, 8, 9, 10, 11
Түүврийн дисперс ба стандарт хазайлтыг тооцоол!
Шийдлийн алхамууд:
1. Дундаж (дундаж) \( \bar{x} \)-г тооцоолох:
\[
\bar{x} = \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = \frac{49}{6} = 8.167
\]
2. Өгөгдөл болон дундажийн зөрүүг тооцоолж, дараа нь квадратыг тооцоол:
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]
3. Бүх квадрат үр дүнг нэмэх:
\[
\sum (x_i – \bar{x})^2 = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
4. Түүврийн дисперсийг (s²) тооцоолох нь:
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]
Тэмдэглэл: Энэ нь жишээ өгөгдөл тул бид 5 (n-1)-д хуваана.
5. Стандарт хазайлтыг тооцоолох нь:
\[
s = \sqrt{5.351} \ойролцоогоор 2.313
\]
Тиймээс түүврийн өгөгдлийн дисперс нь 5.351, стандарт хазайлт нь 2.313 байна.
Дүгнэлт
Өгөгдсөн багц дотор тархсан өгөгдөл хэрхэн байгааг ойлгоход дисперс ба стандарт хазайлтыг тооцоолох нь чухал юм. Дисперс нь анхны нэгжийн квадратаар тархалтын онолын хэмжүүрийг өгдөг бол стандарт хазайлт нь тархалтын хэмжүүрийг өгөгдлийн анхны нэгжийн нэр томьёогоор тайлбарладаг тул ойлгоход хялбар болгодог. Өгөгдлийн шинжилгээнд эдгээр хоёр хэмжүүрийг ихэвчлэн өгөгдлийн хувьсах чанарыг үнэлэх, статистикийн шийдвэр гаргахад ашигладаг.
Шаардлагатай алхамууд болон томъёог ойлгосноор бид өдөр тутмын өгөгдөл цуглуулах, дүн шинжилгээ хийх явцад тулгардаг янз бүрийн нөхцөл байдлын хувьд дисперс ба стандарт хазайлтыг хялбархан тооцоолж чадна. Энэхүү нийтлэл нь дан өгөгдлийн багц дахь дисперс ба стандарт хазайлтын тухай ойлголтуудыг илүү гүнзгий ойлгоход тусална гэж найдаж байна.
