Бүлгийн өгөгдлийн дисперс ба стандарт хазайлтын талаарх жишээ асуултууд
Пендахулуан
Статистикийн хувьд дисперс ба стандарт хазайлт нь өгөгдлийн дундажаас тархалтыг ойлгоход чухал ач холбогдолтой хоёр статистик хэмжүүр юм. Дисперс нь өгөгдөл дунджаас хэр хол тархсаныг хэмждэг бол стандарт хазайлт нь дисперсийн квадрат язгуур бөгөөд анхны өгөгдөлтэй ижил нэгжээр хэмжигдэх хэмжүүрийг өгдөг.
Тодорхойлолт
– Дисперс (σ² эсвэл S²): Энэ нь өгөгдлийн утга тус бүрийн зөрүүний квадратуудын дундаж ба өгөгдлийн дундаж юм.
– Стандарт хазайлт (σ эсвэл S): Энэ нь дисперсийн квадрат язгуур юм.
Бүлгийн өгөгдлийн дисперс ба стандарт хазайлтын томъёо
Бүлгийн өгөгдлийн хувьд бид анги бүрийн өгөгдлийн давтамжийг ашигладаг. Томъёо нь дараах байдалтай байна.
Вариан хэлтэй
\[ S^2 = \frac{ \sum f_i \left( x_i – \bar{x} \right)^2 }{ N-1 } \]
Стандарт хазайлт
\[ S = \sqrt{S^2} \]
ди мана:
– \( f_i \) = анги бүрийн давтамж.
– \( x_i \) = анги бүрийн дунд цэг.
– \( \bar{x} \) = бүлгийн өгөгдлийн дундаж.
– \( N \) = өгөгдлийн нийт тоо.
Жишээ асуултууд болон хэлэлцүүлэг
Бидэнд ангилсан хүмүүсийн бүлгийн жингийн өгөгдөл байгаа гэж үзье.
| Жингийн интервал (кг) | Давтамж (f) |
|————————|————–|
| 50 – 54 | 2 |
| 55 – 59 | 5 |
| 60 – 64 | 8 |
| 65 – 69 | 7 |
| 70 – 74 | 3 |
Эхний алхам бол анги бүрийн дунд цэгийг (\(x_i \)) тодорхойлж, дараа нь дундаж утгыг (\( \bar{x} \)) тооцоолох явдал юм.
1. Дунд цэгийг тооцоолох ( \( x_i \) )
\[ \text{Дунд цэг} = \frac{\text{Доод хязгаар} + \text{Дээд хязгаар}}{2} \]
| Жингийн интервал (кг) | Давтамж (f) | Дунд цэг (\( x_i \) ) |
|——————|————–|—————————|
| 50 – 54 | 2 | 52 |
| 55 – 59 | 5 | 57 |
| 60 – 64 | 8 | 62 |
| 65 – 69 | 7 | 67 |
| 70 – 74 | 3 | 72 |
2. Дундаж утгыг тооцоолох ( \( \bar{x} \) )
\[ \bar{x} = \frac{ \sum f_i x_i }{ N } \]
Нийт өгөгдлийн тоо \( N \):
\[ N = 2 + 5 + 8 + 7 + 3 = 25 \]
\[ \нийлбэр f_i x_i = (2 \удаа 52) + (5 \удаа 57) + (8 \удаа 62) + (7 \удаа 67) + (3 \удаа 72) \]
\[ = 104 + 285 + 496 + 469 + 216 = 1570 \]
Тэгэхээр, дундаж (\( \bar{x} \)):
\[ \bar{x} = \frac{1570}{25} = 62.8\]
3. Дисперсийг тооцоолох (\( S^2 \) )
Бид \( \sum f_i ( x_i – \bar{x} )^2 \)-г тооцоолох хэрэгтэй:
\[
\эхлэх{тэгших}
(x_i – \bar{x})^2: & (52 – 62.8)^2 = 118.84 \\
& (57 – 62.8)^2 = 33.64 \\
& (62 – 62.8)^2 = 0.64 \\
& (67 – 62.8)^2 = 17.64 \\
& (72 – 62.8)^2 = 84.64
\end{align}
\]
Давтамжаар үржүүлэх:
\[
\эхлэх{тэгших}
f_i (x_i – \bar{x})^2: & 2 \удаа 118.84 = 237.68 \\
& 5 \үргэлжлэх 33.64 = 168.2 \\
& 8 \үргэлт 0.64 = 5.12 \\
& 7 нь 17.64 = 123.48-г үржүүлнэ
& 3 дахин 84.64 = 253.92
\end{align}
\]
\[
\sum f_i (x_i – \bar{x})^2 = 237.68 + 168.2 + 5.12 + 123.48 + 253.92 = 788.4
\]
Одоо бид дисперсийг (\( S^2 \)) тооцоолж болно:
\[S^2 = \frac{788.4}{25–1} = \frac{788.4}{24} \ойролцоогоор 32.85\]
4. Стандарт хазайлтыг тооцоолох (\( S \) )
Стандарт хазайлт ( \( S \) :
\[ S = \sqrt{ S^2 } \]
\[ S = \sqrt{ 32.85 } \ойролцоогоор 5.73 \]
Дүгнэлт
Дээрх жишээ өгөгдлөөс бид дараах зүйлийг авна.
– Биеийн дундаж жинг тооцоолох нь: 62.8 кг
– Хэлбэлзлийг тооцоолох нь: 32.85 кг²
– Стандарт хазайлтыг тооцоолох нь: 5.73 кг
Стандарт хазайлтын тайлбар нь жингийн өгөгдлийн дундаж утгаас дундаж хазайлт нь ойролцоогоор 5.73 кг байна гэсэн үг юм. Энэ нь өгөгдлийн дундаж утгатай харьцуулахад тархалтыг харуулж байгаа бөгөөд энэ нь бидний өгөгдөл хэр хувьсах болохыг дүгнэхэд тусална.
Дисперс ба стандарт хазайлтын талаарх бүрэн ойлголт нь ялангуяа статистик, судалгаа, туршилтын чиглэлээр ажилладаг хүмүүсийн хувьд маш чухал бөгөөд учир нь тэд өгөгдлийг бүлэг эсвэл тархалтын хэлбэрээр ойлгохыг оролддог. Эдгээр хоёр хэмжүүрийг хэрхэн тооцоолж, тайлбарлахыг мэдэх нь гар дээрх өгөгдөлд үндэслэн шийдвэр гаргахад илүү сайн тусалж чадна.
