Декартын хавтгай дахь хувиргалтын талаарх жишээ асуултууд
Декартын хавтгай дахь хувиргалтууд нь математик, ялангуяа геометрийн чухал сэдэв юм. Эдгээр хувиргалтууд нь хоёр хэмжээст хавтгайд объектын хэлбэрийг хөдөлгөх эсвэл өөрчлөх зорилготой орчуулга, тусгал, эргэлт, тэлэлт зэрэг янз бүрийн үйлдлүүдийг хамардаг. Энэ нийтлэлд хэд хэдэн жишээ бодлогуудыг авч үзэж, Декартын хавтгай дахь хувиргалтуудтай холбоотой тэдгээрийг хэлэлцэх болно.
Хувиргалтын төрлүүд
Жишээ бодлогыг авч үзэхээсээ өмнө дараах төрлийн хувиргалтыг авч үзье.
1. Орчуулга (Ээлж)
Трансляци гэдэг нь хавтгай дээрх цэг эсвэл объектыг тодорхой чиглэлд тодорхой зайд шилжүүлэхийг хэлнэ. Трансляцийг дараах байдлаар тодорхойлж болно.
\[
(x, y) \rightarrow (x+a, y+b)
\]
энд \(a\) ба \(b\) нь хэвтээ ба босоо шилжилтийн зай юм.
2. Эргэцүүлэл
Ойлт гэдэг нь цэг эсвэл объектын x тэнхлэг, y тэнхлэг эсвэл өөр шугамын дагуух тэнхлэгийн дагуух ойлт юм. Жишээлбэл, x тэнхлэгийн дагуух ойлт:
\[
(x, y) \rightarrow (x, -y)
\]
3. Эргэлт (Эргэлт)
Эргэлт гэдэг нь цэг эсвэл объектыг төв цэгийг тойрон тодорхой өнцгөөр эргэхийг хэлнэ. Цагийн зүүний эсрэг \(\тета\) өнцгөөр эргэхийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.
\[
(x, y) \баруун сум (x \cos \theta – y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta)
\]
4. Тэлэлт (Масштаб)
Тэлэлт гэдэг нь объектын хэмжээ тодорхой масштабын хүчин зүйлээр өөрчлөгдөхийг хэлнэ. Хэрэв масштабын хүчин зүйл нь \(k\) бол тэлэлтийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.
\[
(x, y) \rightarrow (kx, ky)
\]
Жишээ асуултууд болон хэлэлцүүлэг
Асуулт 1: Орчуулга
Асуулт:
\(A(2, 3)\) цэг дээр баруун тийш 5 нэгж, дээшээ 4 нэгж шилжилт хийж шилжүүлэлт хий.
Хэлэлцүүлэг:
\(5\) нэгжийг баруун тийш хөрвүүлэх нь x координатыг \(5\)-ээр нэмэгдүүлнэ гэсэн үг. “4 нэгжээр нэмэгдэнэ” гэсэн мэдэгдэл нь y координатыг \(4\)-ээр нэмэгдүүлнэ гэсэн үг. Орчуулгын үр дүн нь:
\[
(x, y) \rightarrow (x+5, y+4)
\]
Тэгэхээр орчуулгын дараах \(A(2, 3)\) цэг нь:
\[
(x+5, y+4) \rightarrow (2+5, 3+4) \rightarrow (7, 7)
\]
Тэгэхээр, орчуулгын дараах \(A(2, 3)\) цэг нь \(A'(7, 7)\) байна.
Асуулт 2: Эргэцүүлэл
Асуулт:
y тэнхлэгийн эргэн тойронд \(B(-4, 7)\) цэгийг тусга.
Хэлэлцүүлэг:
У тэнхлэгийн талаарх эргэцүүлэл нь х координатыг анхны х координатын сөрөг утга болгон өөрчлөх бол у координат нь хэвээр байна.
\[
(x, y) \rightarrow (-x, y)
\]
Тэгэхээр тусгалын дараах \(B(-4, 7)\) цэг нь дараах хэлбэртэй болно:
\[
(x, y) \rightarrow (-(-4), 7) \rightarrow (4, 7)
\]
Тэгэхээр, y тэнхлэгийн талаар тусгасны дараах \(B(-4, 7)\) цэг нь \(B'(4, 7)\) байна.
Асуулт 3: Эргэлт
Асуулт:
\(C(1, 2)\) цэгийг цагийн зүүний эсрэг \(90^\circ\)-ээр төв нь \((0, 0)\) цэг дээр байхаар эргүүлнэ үү.
Хэлэлцүүлэг:
Цагийн зүүний эсрэг \(90^\circ\) эргэлтийг дараах байдлаар илэрхийлж болно:
\[
(x, y) \rightarrow (-y, x)
\]
Тэгэхээр эргэлтийн дараах \(C(1, 2)\) цэг нь дараах хэлбэртэй болно:
\[
(x, y) \rightarrow (-2, 1)
\]
Тэгэхээр, цагийн зүүний эсрэг \(90^\circ\) эргэлтийн дараах \(C(1, 2)\) цэг нь \(C'(-2, 1)\) байна.
Асуулт 4: Өргөтгөл
Асуулт:
\(D(3, 4)\) цэгийг масштабын коэффициент \(k = 2\) ашиглан дэлгэнэ үү.
Хэлэлцүүлэг:
\(2\) масштабын коэффициентоор тэлэлт гэдэг нь хоёр координатыг \(2\)-ээр үржүүлнэ гэсэн үг юм.
\[
(x, y) \rightarrow (2x, 2y)
\]
Тэгэхээр тэлэлтийн дараах \(D(3, 4)\) цэг нь дараах хэлбэртэй болно:
\[
(x, y) \rightarrow (2 \times 3, 2 \times 4) \rightarrow (6, 8)
\]
Тэгэхээр, масштабын хүчин зүйл \(2\)-ээр тэлэлтийн дараах \(D(3, 4)\) цэг нь \(D'(6, 8)\) байна.
Асуулт 5: Хувиргалтын хослол
Асуулт:
x тэнхлэгийг эргэцүүлэн бодоод дараа нь \(E(8, -6)\) цэг дээр \(k = 0.5\) масштабын коэффициентоор тэлнэ үү.
Хэлэлцүүлэг:
Эхний алхам бол x тэнхлэгийн талаар эргэцүүлэн бодох явдал юм:
\[
(x, y) \rightarrow (x, -y)
\]
\[
(8, -6) \rightarrow (8, 6)
\]
Хоёр дахь алхам бол \(0.5\) масштабын коэффициентоор өргөтгөл хийх явдал юм:
\[
(x, y) \rightarrow (0.5x, 0.5y)
\]
\[
(8, 6) \rightarrow (0.5 \times 8, 0.5 \times 6) \rightarrow (4, 3)
\]
Тэгэхээр, x тэнхлэгийн талаар эргэцүүлэн бодож, масштабын коэффициентоор 0.5-аар тэлсний дараах \(E(8, -6)\) цэг нь \(E'(4, 3)\) байна.
Асуулт 6: Эргүүлэх болон орчуулах замаар хувиргах
Асуулт:
\(F(-3, 4)\) цэгийг цагийн зүүний эсрэг \(180^\circ\) эргүүлээд үр дүнг \((2, -1)\) вектороор орчуулна уу.
Хэлэлцүүлэг:
Эхний алхам бол цагийн зүүний эсрэг \(180^\circ\) эргүүлэх явдал юм:
\[
(x, y) \rightarrow (-x, -y)
\]
\[
(-3, 4) \rightarrow (3, -4)
\]
Хоёр дахь алхам бол \((2, -1)\) вектортой орчуулга хийх явдал юм:
\[
(x, y) \rightarrow (x+2, y-1)
\]
\[
(3, -4) \rightarrow (3+2, -4-1) \rightarrow (5, -5)
\]
Тэгэхээр, \(180^\circ\) эргэлт болон \((2, -1)\) вектороор шилжүүлсний дараах \(F(-3, 4)\) цэг нь \(F'(5, -5)\) байна.
Дүгнэлт
Декартын хавтгай дахь хувиргалтууд нь геометрийн чухал ойлголт бөгөөд орчуулга, тусгал, эргэлт, тэлэлт зэрэг янз бүрийн үйлдлүүдийг хамардаг. Хувиргалтын төрөл бүр хэрхэн ажилладагийг ойлгосноор бид хавтгай дээрх объектын байрлал эсвэл хэлбэрийг хялбархан өөрчилж чадна. Дээрх жишээнүүдээр дамжуулан бид янз бүрийн хувиргалтын практик хэрэглээ болон тэдгээрийг хэрхэн нэгтгэж илүү нарийн төвөгтэй хувиргалтыг хийж болохыг харж болно. Энэ нийтлэл нь Декартын хавтгай дахь хувиргалтыг ойлгоход тустай байсан гэж найдаж байна.
