Математикийн эргэлтийн талаарх жишээ бодлогууд
Пендахулуан
Эргэлт гэдэг нь математик, ялангуяа геометрт байнга тохиолддог геометрийн хувиргалт юм. Эргэлт гэдэг нь объектыг тодорхой цэг (эргэлтийн төв)-ийн эргэн тойронд тодорхой өнцгөөр цагийн зүүний дагуу эсвэл цагийн зүүний эсрэг чиглэлд эргүүлэхийг хэлнэ. Эргэлтийн тухай ойлголтыг компьютер график, физик, инженерчлэл зэрэг салбарт хэрэглэх нь чухал юм. Энэ нийтлэлд математикийн эргэлтийн янз бүрийн жишээ, хэлэлцүүлгийг судлах болно.
Эргэлтийг ойлгох
Эргэлт гэдэг нь эргэлтийн төв гэж нэрлэгддэг тогтмол цэгийн эргэн тойронд тодорхой чиглэлд тодорхой өнцгөөр эргүүлэх замаар объектын бүх цэгийг хөдөлгөдөг хувиргалт юм. θ өнцөг ба эргэлтийн төв (a, b) бүхий эргэлтийн ерөнхий тэмдэглэгээг R_(a, b)(θ) гэж бичиж болно.
Эргэлтийн төв нь (0, 0) цэг дээр θ градусаар эргэсэн P(x, y) цэгийн хувьд эргэлтийн дараах P'(x', y')-ийн шинэ координатуудыг дараах томъёогоор олж авна.
– x' = x cos θ – y sin θ
– y' = x sin θ + y cos θ
Эргэлтийн бодлогын зарим жишээг тэдгээрийн хэлэлцүүлгийн хамт үргэлжлүүлье.
Жишээ асуултууд болон хэлэлцүүлэг
Жишээ асуулт 1
Асуулт: А(3, 4) цэгийг эргэлтийн төв нь (0, 0) цэг дээр байхаар цагийн зүүний эсрэг 90 градус эргүүлсний дараа түүний шинэ координатыг тодорхойлно уу.
Хэлэлцүүлэг: Цагийн зүүний эсрэг 90 градусын өнцөгтэй эргэлтийн томъёог ашиглах нь:
– x' = x cos(90°) – y sin(90°) = 3(0) – 4(1) = -4
– y' = x sin(90°) + y cos(90°) = 3(1) + 4(0) = 3
Тэгэхээр, эргэлтийн дараах A'-ийн шинэ координатууд нь (-4, 3) байна.
Жишээ асуулт 2
Асуулт: B(2, -1) цэгийг цагийн зүүний дагуу 180 градус эргүүлж, эргэлтийн төв нь (0, 0) цэг дээр үлдэнэ. Эргэлтийн дараа B цэгийн шинэ координатыг тодорхойлно уу.
Хэлэлцүүлэг: Цагийн зүүний дагуу эсвэл цагийн зүүний эсрэг 180 градус эргүүлэх нь ижил үр дүнг өгөх бөгөөд цэгийн координат (-x, -y) болж өөрчлөгдөнө.
– x' = -x = -2
– у' = -у = 1
Тэгэхээр, B'-ийн шинэ координатууд нь (-2, 1) байна.
Жишээ асуулт 3
Асуулт: C(-3, 5) цэгийг цагийн зүүний эсрэг 270 градус эргүүлж, эргэлтийн төв нь (0, 0) цэг дээр байна. Эргэлтийн дараах C цэгийг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг: Цагийн зүүний эсрэг 270 градусын эргэлт нь цагийн зүүний дагуу 90 градусын эргэлттэй тэнцүү байна.
– x' = x cos(90°) + y sin(90°) = -3(0) + 5(1) = 5
– y' = -x sin(90°) + y cos(90°) = -(-3)(1) + 5(0) = 3
Тэгэхээр, эргэлтийн дараах C'-ийн шинэ координатууд нь (5, -3) байна.
Жишээ асуулт 4
Асуулт: Эргэлтийн төв нь (0, 0) цэг дээр байхаар D(5, 5) цэгийг 45 градус эргүүлсний дараа түүний шинэ координатыг тодорхойлно уу.
Хэлэлцүүлэг: 45 градусын өнцөгтэй эргэлтийн томъёог ашиглах нь:
– x' = x cos(45°) – y sin(45°) = 5(cos(45°)) – 5(sin(45°)) = 5(√2/2) – 5(√2/2) = 0
– y' = x sin(45°) + y cos(45°) = 5(√2/2) + 5(√2/2) = 5√2/2 + 5√2/2 = 5√2
Тиймээс, эргэлтийн дараах D'-ийн шинэ координатууд нь (0, 5√2) байна.
Эргэлтийн төв нь эхлэл цэг дээр биш эргэлт
Эргэлтийг гарал үүслийн дагуу үргэлж хийдэггүй. Жишээлбэл, бид эргэлтийн төв (h, k) бүхий цэгийг эргүүлэхийг хүсэж байна гэж бодъё. Үүний тулд бид координатыг дараах байдлаар тохируулах шаардлагатай:
1. Цэгийг (h, k) нь цэгийн эх цэг болох байдлаар орчуул.
2. Эргэлтийн томъёог ашиглана уу.
3. Анхны байрлал руу нь буцааж орчуул.
Жишээ асуулт 5
Асуулт: E(5, 7) цэгийг цагийн зүүний эсрэг 90 градус эргүүлж, эргэлтийн төв нь (2, 3) цэг дээр байна. Эргэлтийн дараа E цэгийн шинэ координатыг тодорхойлно уу.
Хэлэлцүүлэг:
1. E цэгийг эргэлтийн төвтэй харьцуулсан гарал үүсэл рүү шилжүүлнэ үү (2, 3):
– Шинэ цэг E' = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
2. Шинэ цэгийн эргэн тойронд цагийн зүүний эсрэг 90 градус эргүүлнэ үү:
– x' = 3 cos(90°) – 4 sin(90°) = -4
– y' = 3 sin(90°) + 4 cos(90°) = 3
Тиймээс эргэлтийн дараах координатууд нь (-4, 3) байна.
3. Эргэлтийн төвтэй харьцуулахад анхны байрлал руу буцах орчуулга (2, 3):
– Төгсгөлийн цэг E' = (-4 + 2, 3 + 3) = (-2, 6)
Тэгэхээр, эргэлтийн дараах Е цэгийн шинэ координатууд нь (-2, 6) байна.
Дүгнэлт
Математикийн эргэлтийг шинжлэх, ойлгох нь янз бүрийн хэрэглээнд чухал ач холбогдолтой. Дээрх жишээ, хэлэлцүүлгээр дамжуулан уншигчид эргэлтийн томъёо хэрхэн ажилладаг, тэдгээрийг өөр өөр нөхцөл байдалд хэрхэн ашиглаж болохыг ойлгох болно гэж найдаж байна. Энэ дасгал нь зөвхөн үндсэн математикийг бататгаад зогсохгүй геометрийн хувиргалттай холбоотой бусад салбарт ч хэрэгтэй.
