Гарчиг: Муруйтай шүргэлцэх шугамын тэгшитгэлийн жишээ асуултууд ба хэлэлцүүлэг
Пендахулуан
Муруйтай шүргэгчийн тэгшитгэл нь математик, ялангуяа тооцоолол болон аналитик геометрийн чухал ойлголт юм. Муруйтай шүргэгчийн тэгшитгэл гэдэг нь муруйтай огтлолцохгүй тодорхой цэг дээр хүрч буй шугам юм. Энэ шугам нь тухайн цэг дээрх муруйтай ижил налуутай байна. Энэхүү нийтлэл нь муруйн шүргэгчийн тэгшитгэлийн жишээ, хэлэлцүүлгийг өгөх зорилготой бөгөөд ингэснээр уншигчид энэ ойлголтыг гүнзгий ойлгох боломжтой болно.
Тодорхойлолт ба үндсэн ойлголтууд
Жишээ бодлогуудыг авч үзэхээсээ өмнө зарим үндсэн ойлголтуудыг эргэн харах нь зүйтэй. ((a, f(a))) цэг дээрх y = f(x) муруйтай шүргэсэн шугамын тэгшитгэлийг функцийн эхний уламжлалыг ашиглан тодорхойлж болно. Ерөнхий алхамууд нь дараах байдалтай байна.
1. Функцийн уламжлалыг тодорхойлох: \(f(x) \) функцийн эхний уламжлал \(f'(x) \)-г ол.
2. Градиент (налуу)-г тодорхойлох: \( x = a \) утгыг эхний уламжлал \( f'(x) \) дээр орлуулж \( a \) цэг дээрх шүргэгч шугамын налууг олно уу.
3. Шүргэсэн шулууны тэгшитгэлийг тодорхойл: \((a, f(a))\) цэг болон олсон налууг ашиглан шүргэсэн шулууны тэгшитгэлийг үүсгэнэ үү. Шугамын тэгшитгэлийг \(y – y_1 = m(x – x_1) \) хэлбэрээр бичиж болно, энд \((x_1, y_1)\) нь шулуун дээрх цэг, \(m \) нь налуу юм.
Жишээ асуултууд болон хэлэлцүүлэг
Ойлголтоо тодруулахын тулд хэдэн жишээ асуултыг авч үзье.
Жишээ асуулт 1
муруй өгөгдсөн \(y = x^2 + 2x + 1 \). Абцисс \(x = 1 \) цэг дээрх муруйд шүргэсэн шулууны тэгшитгэлийг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг:
1. Эхний уламжлалыг тодорхойлно уу:
\[
у = x^2 + 2x + 1
\]
\(y\)-ийн эхний уламжлал нь:
\[
\frac{dy}{dx} = 2x + 2
\]
2. \( x = 1 \) үед градиентийг тодорхойлно уу:
Эхний уламжлалд \( x = 1 \)-г орлуулна уу:
\[
м = 2(1) + 2 = 4
\]
3. Шүргэлтийн цэгийг тодорхойлох:
\(x = 1 \) үед \(y \)-ийн утгыг ол:
\[
у = (1)^2 + 2(1) + 1 = 4
\]
Тиймээс шүргэлтийн цэг нь \( (1, 4) \) байна.
4. Шүргэгч шугамын тэгшитгэлийг тодорхойлох нь:
y – y_1 = m(x – x_1) \) гэсэн шулууны тэгшитгэлийг ашиглана уу:
\[
у – 4 = 4(x – 1)
\]
Хялбаршуулах:
\[
у – 4 = 4х – 4
\]
\[
у = 4х – 4 + 4
\]
\[
у = 4х
\]
Тиймээс шүргэгч шугамын тэгшитгэл нь \( y = 4x \) байна.
Жишээ асуулт 2
муруй өгөгдсөн \(y = \cos(x) \). Абцисс \(x = \frac{\pi}{2} \) цэг дээрх муруйд шүргэсэн шулууны тэгшитгэлийг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг:
1. Эхний уламжлалыг тодорхойлно уу:
\[
y = \cos(x)
\]
\(y\)-ийн эхний уламжлал нь:
\[
\frac{dy}{dx} = -\sin(x)
\]
2. \( x = \frac{\pi}{2} \) дээрх градиентийг тодорхойл:
Эхний уламжлалд \( x = \frac{\pi}{2} \)-г орлуулна уу:
\[
m = -\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = -1
\]
3. Шүргэлтийн цэгийг тодорхойлох:
\(x = \frac{\pi}{2} \) дэх \(y \)-ийн утгыг ол:
\[
y = \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) = 0
\]
Тиймээс шүргэлтийн цэг нь \( \left(\frac{\pi}{2}, 0\right) \).
4. Шүргэгч шугамын тэгшитгэлийг тодорхойлох нь:
y – y_1 = m(x – x_1) \) гэсэн шулууны тэгшитгэлийг ашиглана уу:
\[
y – 0 = -1\left(x – \frac{\pi}{2}\right)
\]
\[
y = -x + \frac{\pi}{2}
\]
Тэгэхээр, шүргэгч шугамын тэгшитгэл нь \( y = -x + \frac{\pi}{2} \) байна.
Жишээ асуулт 3
муруй өгөгдсөн. абцисс муруй √(x = 0) цэг дээрх муруйд шүргэсэн шулууны тэгшитгэлийг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг:
1. Эхний уламжлалыг тодорхойлно уу:
\[
у = э^х
\]
\(y\)-ийн эхний уламжлал нь:
\[
\frac{dy}{dx} = e^x
\]
2. \( x = 0 \) үед градиентийг тодорхойлно уу:
Эхний уламжлалд \( x = 0 \)-г орлуулна уу:
\[
m = e^0 = 1
\]
3. Шүргэлтийн цэгийг тодорхойлох:
\(x = 0 \) үед \(y \)-ийн утгыг ол:
\[
у = e^0 = 1
\]
Тиймээс шүргэлтийн цэг нь \( (0, 1) \) байна.
4. Шүргэгч шугамын тэгшитгэлийг тодорхойлох нь:
y – y_1 = m(x – x_1) \) гэсэн шулууны тэгшитгэлийг ашиглана уу:
\[
у – 1 = 1(x – 0)
\]
\[
у – 1 = x
\]
\[
у = х + 1
\]
Тиймээс шүргэгч шугамын тэгшитгэл нь \( y = x + 1 \) байна.
Хаах
Муруй руу чиглэсэн шүргэгч шугамын тэгшитгэлийг хэрхэн тодорхойлохыг ойлгосноор бид геометр болон алгебр нь муруйн шинж чанарыг судлахын тулд хэрхэн хамтран ажилладагийг илүү сайн ойлгож чадна. Ерөнхий алхмууд нь уламжлалыг олох, налууг тодорхойлох, олсон цэгүүд болон налуу дээр үндэслэн шүргэгч шугамын тэгшитгэлийг байгуулах явдал юм. Илүү их дадлага хийх тусам энэ сэдвийн талаарх бидний ойлголт улам гүнзгийрэх болно. Суралцахад таатай байгаарай!
