Тригонометрийн харьцааны талаарх жишээ асуултууд
Тригонометр бол гурвалжингийн урт ба өнцгийн хоорондын хамаарлыг судалдаг математикийн салбар юм. Тригонометрийн харьцаа нь инженерчлэл, физик, одон орон судлал, тэр ч байтугай өдөр тутмын амьдралд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Энэ нийтлэлд тригонометрийн харьцааны үндсэн ойлголтуудыг ойлгоход туслах хэд хэдэн жишээ бодлого болон тэдгээрийн шийдлүүдийг авч үзэх болно.
Тэгш өнцөгт гурвалжны тригонометрийн харьцаанууд
Тэгш өнцөгт гурвалжны үндсэн харьцааг ойлгохоос эхэлье. Эдгээр харьцааг синус (sin), косинус (cos), тангенс (tan) гэж нэрлэдэг. Тэгш өнцөгт гурвалжинд бидний тодорхойлох шаардлагатай гурван чухал тал байдаг:
1. Эсрэг тал: Бидний авч үзэж буй өнцгийн яг эсрэг тал.
2. Зэргэлдээ тал: Бидний авч үзэж буй өнцгийн хажууд байгаа тал.
3. Гипотенуз: Тэгш өнцөгт эсрэг талын тэгш өнцөгт гурвалжны хамгийн урт тал.
Жишээ асуулт 1
θ өнцөгтэй тэгш өнцөгт гурвалжин өгөгдсөн бөгөөд θ өнцөгтэй эсрэг тал нь 3 нэгж, зэргэлдээ тал нь 4 нэгж, гипотенуз нь 5 нэгж урттай байна. θ өнцгийн sin, cos, болон tan утгуудыг ол.
Шийдэл:
θ өнцгийн синус, косинус ба тангенсын утгыг олохын тулд бид үндсэн тригонометрийн харьцааны томъёог ашигладаг.
– Синус (нүгэл) θ = Урд тал / Гипотенуз
\[ \sin θ = \frac{3}{5} \]
– Косинус (cos) θ = Хажуугийн тал / Гипотенуз
\[ \cos θ = \frac{4}{5} \]
– Тангенс (бор) θ = Урд тал / Хажуу тал
\[ \tan θ = \frac{3}{4} \]
Бусад өнцгүүдийн тригонометрийн хамаарал
Тригонометрийн харьцааг мөн адил өнцөгт болон ердийн гурвалжин зэрэг янз бүрийн төрлийн гурвалжны бусад өнцөгт хэрэглэж болно. Тэгш өнцөгт бус гурвалжинд хамаарах синусын дүрэм болон косинусын дүрэм зэрэг үндсэн дүрмийг ойлгох нь чухал юм.
Жишээ асуулт 2
Талууд нь a = 7 см, b = 24 см, өнцөг нь C = 90° байх ABC гурвалжин өгөгдсөн. c талын урт болон A ба B өнцгүүдийн утгыг ол.
Шийдэл:
C өнцөг нь тэгш өнцөг тул бид c талын (гипотенуз) уртыг олохын тулд Пифагорын теоремыг ашиглаж болно:
\[ c = \sqrt{a^2 + b^2} \]
\[ c = \sqrt{7^2 + 24^2} \]
\[ c = \sqrt{49 + 576} \]
\[ c = \sqrt{625} \]
\[ c = 25 \, \text{cm} \]
Дараа нь, А ба В өнцгийн утгыг тодорхойлохын тулд бид үндсэн тригонометрийн харьцааг ашиглаж болно.
А өнцгийн хувьд бид косинусыг ашигладаг:
\[ \cos A = \frac{\text{зэргэлдээ тал}}{\text{гипотенуз}} = \frac{24}{25} \]
\[ A = \cos^{-1} \left(\frac{24}{25}\right) \]
B өнцгийн хувьд бид синусыг ашиглана:
\[ \sin B = \frac{\text{урд тал}}{\text{гипотенуз}} = \frac{24}{25} \]
\[ B = \sin^{-1} \left(\frac{24}{25}\right) \]
Учир нь тэгш өнцөгт гурвалжинд тэгш өнцөгөөс бусад өнцгүүдийн нийлбэр 90° байх ёстой:
\[ A + B = 90° \]
\[ А = 90° – Б \]
Синусын дүрэм
Синусын дүрмийг дараах байдлаар илэрхийлнэ.
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} \]
Жишээ асуулт 3
a тал = 8 см, b тал = 15 см, C өнцөг = 60° гурвалжин өгөгдсөн. Синусуудын дүрмийг ашиглан A өнцөг болон c талын уртыг ол.
Шийдэл:
Эхлээд синусын дүрмийг ашиглан бусад өнцгүүдийн нэгийг (жишээлбэл, А өнцөг) олоорой:
\[ \frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C} \]
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{c}{\sin 60°} \]
Бид эхлээд c-ийн утгыг тооцоолох хэрэгтэй. C өнцөг нь 60° тул бид Косинусын дүрмийг ашиглаж болно:
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos(C) \]
\[ c^2 = 8^2 + 15^2 – 2 \cdot 8 \cdot 15 \cdot \cos(60°) \]
\[ c^2 = 64 + 225 – 240 \cdot 0.5 \]
\[ c^2 = 289 – 120 \]
\[ c^2 = 169 \]
\[ c = 13 \, \text{cm} \]
Одоо бид А өнцгийг олж болно:
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{13}{\sin 60°} \]
\(\sin 60° = \sqrt{3}/2\) учраас:
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{13}{\sqrt{3}/2} \]
\[ \frac{8}{\sin A} = \frac{26}{\sqrt{3}} \]
\[ 8 \cdot \sqrt{3} = 26 \sin A \]
\[ \sin A = \frac{8 \sqrt{3}}{26} \]
\[ \sin A = \frac{4 \sqrt{3}}{13} \]
Эцэст нь урвуу синусыг ашиглан:
\[ A = \sin^{-1}\left(\frac{4 \sqrt{3}}{13}\right) \]
Косинусын дүрэм
Косинусын дүрэмд дараахь зүйлийг заасан байдаг.
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \]
Жишээ асуулт 4
a тал = 9 см, b тал = 12 см, c тал = 15 см гурвалжин өгөгдсөн. C өнцгийг ол.
Шийдэл:
C өнцгийг олохын тулд бид Косинусын дүрмийг ашиглана:
\[ c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C \]
\[ 15^2 = 9^2 + 12^2 – 2 \cdot 9 \cdot 12 \cdot \cos C \]
\[ 225 = 81 + 144 – 216 \cos C \]
\[ 225 = 225 – 216 \cos C \]
\[ 0 = -216 \cos C \]
\[ \cos C = 0 \]
Эндээс бид C өнцөг нь 90° гэдгийг мэдэж байна, учир нь cos 90° = 0.
Эдгээр нь тригонометрийн харьцааг ойлгоход туслах зарим жишээ бодлогууд юм. Төрөл бүрийн бодлогуудыг үргэлжлүүлэн давтах нь эдгээр ойлголтуудын талаарх таны ойлголтыг бататгахад ихээхэн тус болно. Энэ нийтлэл таны суралцахад тустай байсан гэж найдаж байна!
