Гурвалжны аргыг ашиглан хоёр вектор нэмэх жишээ асуултууд ба хэлэлцүүлэг
Пендахулуан
Вектор гэдэг нь хэмжээ ба чиглэлтэй хэмжигдэхүүн юм. Физик, математикийн хичээлээр хоёр векторыг хэрхэн нэмэхийг ойлгох нь олон төрлийн бодлогыг шийдвэрлэхэд чухал ач холбогдолтой. Векторуудыг нэмэх хэд хэдэн арга байдаг бөгөөд тэдгээрийн нэг нь гурвалжингийн арга юм. Энэ нийтлэлд бид жишээнүүдийг авч үзэх бөгөөд гурвалжингийн аргыг ашиглан хоёр векторыг хэрхэн нэмэх талаар дэлгэрэнгүй авч үзэх болно.
Векторын нэмэлт дэх гурвалжны арга
Жишээ бодлогыг авч үзэхээсээ өмнө гурвалжны аргыг хоёр вектор нэмэхэд хэрхэн ашигладаг болохыг эхлээд ойлгоё. Гурвалжны арга нь дараах алхмуудыг агуулна.
1. Хоёр векторыг нийтлэг цэг дээр байрлуулах: Эхний векторыг сүүл (эхлэх цэг) нь сонгосон эхлэлийн цэг дээр байхаар байрлуулна.
2. Хоёр дахь векторыг дүрслэх нь: Хоёр дахь векторыг эхний векторын төгсгөлд (төгсгөлийн цэг) нэмнэ.
3. Үр дүнгийн векторыг тодорхойлох: Үр дүнгийн вектор нь эхний векторын эхлэлийн цэгийг хоёр дахь векторын төгсгөлийн цэгтэй холбодог вектор юм.
Вектор тэмдэглэгээ
Энэ нийтлэлийн зорилгоор бид векторын тэмдэглэгээг дараах байдлаар ашиглана.
– Тод үсгээр эсвэл дээд хэсэгтээ сумтай (жишээлбэл, A эсвэл \(\vec{A}\)) бичигдсэн векторууд.
– \(x\) ба \(y\) чиглэл дэх векторын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг \(\vec{A}\) векторын хувьд \(A_x\) ба \(A_y\) хэлбэрээр бичнэ.
Бодлогын жишээ
Одоо гурвалжны аргыг ашиглан хоёр векторыг нэмэхийг ойлгоход туслах жишээ бодлогыг авч үзье.
Асуулт:
А ба В хоёр векторыг дараах байдлаар өгнө:
– А вектор нь 4 нэгжийн магнитудын хэмжээтэй бөгөөд зүүн хойд зүг рүү 30 градусын чиглэлтэй.
– В вектор нь 3 нэгжийн магнитудын хэмжээтэй бөгөөд зүүн хойд зүг рүү 60 градусын чиглэлтэй.
Гурвалжны аргыг ашиглан хоёр векторыг нэмснээр үүссэн R векторыг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг
Алхам 1: Вектор зурах
Эхлээд бид 4 нэгжийн хэмжээтэй, зүүн хойд зүг рүү 30 градусын чиглэлтэй А векторыг зурна. Дараа нь А векторын төгсгөлөөс бид 3 нэгжийн хэмжээтэй, зүүн хойд зүг рүү 60 градусын чиглэлтэй В векторыг зурна.
Алхам 2: Векторын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг тооцоолох
Дараа нь бид вектор бүрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг \(x\) ба \(y\) чиглэлд тооцоолно.
\(\vec{A}\ векторын бүрэлдэхүүн хэсгүүд):
\[
A_x = A \cos \theta_1 = 4 \cos 30^\circ = 4 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}
\]
\[
A_y = A \sin \theta_1 = 4 \sin 30^\circ = 4 \times \frac{1}{2} = 2
\]
\(\vec{B}\ векторын бүрэлдэхүүн хэсгүүд):
\[
B_x = B \cos \theta_2 = 3 \cos 60^\circ = 3 \times \frac{1}{2} = 1.5
\]
\[
B_y = B \sin \theta_2 = 3 \sin 60^\circ = 3 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = 1.5\sqrt{3}
\]
Алхам 3: Векторын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг нэмэх
Үр дүнгийн векторын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг авахын тулд бид хоёр векторын бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг нэмнэ.
\[
R_x = A_x + B_x = 2\sqrt{3} + 1.5
\]
\[
R_y = A_y + B_y = 2 + 1.5\sqrt{3}
\]
Алхам 4: Үүссэн векторын хэмжээс ба чиглэлийг тооцоол
Үр дүнгийн векторын хэмжээг Пифагорын теорем ашиглан тооцоолно:
\[
R = \sqrt{R_x^2 + R_y^2}
\]
\[
R_x = 2\sqrt{3} + 1.5 \approx 3.464 + 1.5 = 4.964
\]
\[
R_y = 2 + 1.5\sqrt{3} \approx 2 + 2.598 = 4.598
\]
\[
R = \sqrt{(4.964)^2 + (4.598)^2} \approx \sqrt{24.640 + 21.145} \approx \sqrt{45.785} \approx 6.75 \text{ unit}
\]
Үр дүнгийн векторын чиглэлийг тригонометрийн тангенс функцийг ашиглан тооцоолно.
\[
\tan \phi = \frac{R_y}{R_x} = \frac{4.598}{4.964} \approx 0.926
\]
\[
\phi = \tan^{-1}(0.926) \approx 42.6^\circ \text{ зүүн хойд зүгээс}
\]
Дүгнэлт
Дээрх үр дүнгээс харахад гурвалжны аргыг ашиглан \(\vec{A}\) ба \(\vec{B}\) векторуудыг нэмснээс үүссэн \(\vec{R}\) вектор нь ойролцоогоор 6.75 нэгжийн хэмжээтэй бөгөөд зүүн хойд зүгээс 42.6 градусын чиглэлтэй байна гэж дүгнэж болно.
Хаах
Гурвалжны аргыг ашиглан хоёр вектор нэмэх нь физик, инженерчлэлд байнга хэрэглэгддэг маш хэрэгтэй арга юм. Векторуудыг зурж, тэдгээрийн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийг нэмснээр бид үүссэн векторыг амархан олох боломжтой. Энэ нийтлэл нь танд гурвалжны аргыг ашиглан вектор нэмэх тухай ойлголтыг ойлгоход тусалсан бөгөөд судалгаандаа тулгардаг янз бүрийн асуудлуудад ашиглаж болно гэж найдаж байна.
