Физикийн интегралын хэрэглээг хэлэлцэх жишээ асуултууд
Физикт интегралыг ашиглах нь маш чухал бөгөөд өргөн хүрээтэй ойлголт юм. Интегралыг хэрэглэх нь физикч, инженерүүдэд хөдөлгөөн, энерги, хүч эсвэл бусад талуудтай холбоотой янз бүрийн нарийн төвөгтэй байгалийн үзэгдлийг тооцоолох боломжийг олгодог. Энэ нийтлэлд хэд хэдэн жишээ бодлогыг судалж, физикт интегралыг хэрэглэх талаар хэлэлцэх болно.
1. Хувьсах хүчний ажлыг тооцоолох
Soal
\(x\) байрлалаас хамааран өөрчлөгддөг хүчийг \(F(x) = 3x^2 \) гэж тодорхойлно. Биет \(x = 0\)-ээс \(x = 2 \) метр рүү хөдлөхөд энэ хүчний гүйцэтгэсэн ажлыг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг
Хувьсах хүчний хийсэн ажил нь зайн хүчний интеграл юм. Хэрэв \(x\) байрлалын функц болох \(F(x)\) хүчийг өгвөл бид ажлыг дараах байдлаар илэрхийлж болно:
\[ W = \int_{a}^{b} F(x) \, dx \]
Энэ тохиолдолд:
\[ F(x) = 3x^2 \]
\[ a = 0 \, \text{meter} \]
\[ b = 2 \, \text{meter} \]
Тэгвэл ажил \(W\) нь:
\[ W = \int_{0}^{2} 3x^2 \, dx \]
Бид энэ интегралыг тооцоолно:
\[
W = 3 \int_{0}^{2} x^2 \, dx
= 3 \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{2}
= 3 \left( \frac{2^3}{3} – \frac{0^3}{3} \right)
= 3 \left( \frac{8}{3} – 0 \right)
= 8 \, \text{Жоул}
\]
Тиймээс хүчний хийсэн ажил 8 Жоуль байна.
2. Нэг төрлийн савааны массын төвийг тооцоолох
Soal
\(L\) урттай нэгэн төрлийн саваа нь \(x = 0 \)-ээс \(x = L \) хүртэлх x тэнхлэг дээр байрладаг. Савааны массын төвийн байрлалыг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг
Нэг төрлийн савааны хувьд масс нь уртын дагуу жигд тархсан байдаг. Бид саваа нь тогтмол шугаман масстай (нэгж урт тутамд ногдох масс) гэж үзэж болно.
Массын төв (\(x_{см}\))-ийг дараах томъёогоор өгнө.
\[ x_{см} = \frac{\int x \, dm}{\int dm} \]
Масс нэгэн жигд тархсан тул бид \(dm = \lambda \, dx\), мөн \(x = 0\)-ээс \(x = L\) хүртэлх хил хязгаарын интегралыг илэрхийлж болно:
\[
x_{см} = \frac{\int_{0}^{L} x \lambda \, dx}{\int_{0}^L \lambda \, dx}
\]
\(\lambda\) дээрх интеграл нь тогтмол бөгөөд буцаах боломжтой:
\[
x_{см} = \frac{\int_{0}^{L} x \, dx}{\int_{0}^{L} dx}
= \frac{\left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L}}{ \left[ x \right]_{0}^{L} }
= \frac{\frac{L^2}{2} – 0}{L – 0}
= \frac{L^2 /2}{L}
= \frac{L}{2}
\]
Тэгэхээр, савааны массын төвийн байрлал нь \( \frac{L}{2} \) цэг дээр эсвэл савааны голд байна.
3. Кулоны хуульд үндэслэн цахилгаан статик хүчийг тооцоолох
Soal
x тэнхлэгийн дагуу тус тус q_1 ба q_2 гэсэн хоёр цэнэг нь q_1 ба q_2 гэсэн цэгүүд дээр байрладаг. Хоёр цэнэгийн хоорондох электростатик хүчийг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг
Кулоны хуульд хоёр цэгийн цэнэгийн хоорондох хүч нь цэнэгийн үржвэртэй шууд пропорциональ, тэдгээрийн хоорондох зайны квадраттай урвуу пропорциональ байна гэж заасан байдаг.
\[ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{r^2} \]
Хаана:
– \(k_e\) нь Кулоны тогтмол \((8.99 \times 10^9 \, \text{N} \cdot \text{m}^2 / \text{C}^2)\) юм.
– \(r\) нь цэнэгүүдийн хоорондох зай юм
Энэ тохиолдолд, \(q_1\) ба \(q_2\) нь \(x = 0\) ба \(x = L\) цэгүүдэд, дараа нь \(r = L\) зайд оршдог.
Электростатик хүч нь:
\[ F = k_e \frac{|q_1 q_2|}{L^2} \]
Энэ нь тодорхой зайд байрлуулсан хоёр цэгийн цэнэгийн хоорондох электростатик хүчийг тооцоолоход түгээмэл хэрэглэгддэг шийдэл юм.
4. Соронзон урсгалыг тооцоолох
Soal
Гогцооны хавтгайд перпендикуляр байрлах нэгэн жигд соронзон орон (B)-д \(r\) радиустай дугуй утсан гогцоог байрлуулсан. Гогцоонд дамжих соронзон урсгалыг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг
Соронзон орон дахь (A) талбайгаар дайрах соронзон урсгал ((Phi_B)) дараах томъёогоор өгөгдөнө:
\[ \Phi_B = \int B \cdot dA \]
Соронзон орон \(B\) нь жигд бөгөөд гогцооны хавтгайд перпендикуляр тул энгийн интеграл нь дараах хэлбэртэй болно:
\[ \Phi_B = B \cdot A \]
Энд радиус нь r байх тойргийн талбай нь r байна:
\[ A = \pi r^2 \]
Дараа нь гогцоонд дамжих соронзон урсгал нь:
\[ \Phi_B = B \cdot \pi r^2 \]
Тиймээс гогцоонд нэвтрэн орох соронзон урсгал нь \( B \pi r^2 \) байна.
Дүгнэлт
Байгалийн нарийн төвөгтэй үзэгдлүүдтэй холбоотой мэдээллийг тооцоолох шаардлагатай үед физикт интеграл ашиглах нь зайлшгүй юм. Хувьсах хүчний гүйцэтгэсэн ажлыг тооцоолох, объектын массын төвийг тодорхойлох, Кулоны хуульд үндэслэн электростатик хүчийг тооцоолохоос эхлээд соронзон орон дахь утасны гогцоонд соронзон урсгалыг тооцоолох хүртэл бүх зүйл асуудлыг шийдвэрлэхэд интеграл дээр суурилдаг. Интегралууд янз бүрийн физикийн нөхцөлд хэрхэн ажилладагийг бүрэн ойлгох нь асуудлыг шийдвэрлэхэд хялбаршуулаад зогсохгүй молекулын түвшин болон галактикийн түвшинд орчлон ертөнцийн механикийн талаар илүү гүнзгий ойлголт өгөх болно.
