Тригонометрийн харьцааны хэрэглээний талаарх жишээ асуултууд
Тригонометр бол гурвалжны талууд ба өнцгүүдийн хоорондын хамаарлыг судалдаг математикийн салбар юм. Тригонометрийг ойлгох нь чухал бөгөөд учир нь үүнийг архитектур, инженерчлэл, одон орон судлал, тэр ч байтугай криптографи зэрэг янз бүрийн салбарт өргөн хэрэглэгддэг. Энэ нийтлэлд хэд хэдэн жишээ бодлогыг авч үзэх бөгөөд тэдгээрийг тригонометрийн харьцааг ашиглах хүрээнд авч үзэх болно.
Тригонометрийн үндсэн ойлголтууд
Жишээ бодлогуудыг авч үзэхээсээ өмнө тригонометрийн зарим үндсэн ойлголтуудыг авч үзье. Тэгш өнцөгт гурвалжинд ихэвчлэн ашиглагддаг гурван үндсэн тригонометрийн функц байдаг: синус, косинус, тангенс.
– Өнцгийн синус (sin) нь өнцгийн эсрэг талын уртыг гипотенузын урттай харьцуулсан харьцаа юм.
\[
\sin \theta = \frac{\text{урд тал}}{\text{гипотенуз}}
\]
– Өнцгийн косинус (cos) нь өнцөгтэй зэргэлдээ талын уртын гипотенузын урттай харьцуулсан харьцаа юм.
\[
\cos \theta = \frac{\text{зэргэлдээ тал}}{\text{гипотенуз}}
\]
– Өнцгийн тангенс (тангенс) нь өнцгийн эсрэг талын уртыг тухайн өнцгөөр зэргэлдээ талын урттай харьцуулсан харьцаа юм.
\[
\tan \theta = \frac{\text{урд тал}}{\text{тал тал}}
\]
Жишээ асуулт 1: Цамхагийн өндрийг тооцоолох
Асуулт: Ажиглагч цамхагаас 50 метрийн зайд зогсоод цамхагийн оройн өндрийн өнцгийг 30 градусаар хэмждэг. Цамхагийн өндрийг тодорхойл.
Шийдэл: Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бид тригонометрийн тангенс функцийг ашиглаж болно. Бид өндрийн өнцөг болон ажиглагчаас цамхаг хүртэлх хэвтээ зайг мэддэг тул дараах байдлаар бичиж болно:
\[
\tan 30^\circ = \frac{\text{tower height}}{\text{horizontal distance}}
\]
Мэдэгдэж буй утгуудыг орлуулна уу:
\[
\tan 30^\circ = \frac{h}{50}
\]
\(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\) гэдэг нь мэдэгдэж байгаа тул:
\[
\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{50}
\]
Тэгвэл цамхагийн өндрийг \(h\) тэгшитгэлийн хоёр талыг 50-аар үржүүлж олно:
\[
h = 50 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{50}{\sqrt{3}} \approx 28.87 \, \text{meter}
\]
Цамхагийн өндөр нь ойролцоогоор 28.87 метр юм.
Жишээ асуулт 2: Косинус ашиглан зайг тодорхойлох
Асуулт: Хөлөг онгоц зүүн тийш 10 км яваад, дараа нь чиглэлээ хойд зүгт 60 градус өөрчилж, 15 км явна. Эхлэх цэгээс хөлөг онгоц хүртэлх зайг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг: Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бид тригонометрийн косинусын дүрмийг ашиглаж болно. Хэрэв бид хөлгийн аяллыг координатын системд дүрсэлбэл талууд нь 10 км ба 15 км, өнцөг нь 60 градусын гурвалжин олно. Бид хөлгийн эхлэх цэг болон эцсийн байрлалын хоорондох зайг олохын тулд косинусын дүрмийг ашиглаж болно.
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C
\]
Хаана:
– \( a = 10 \)
– \( b = 15 \)
– \( C = 60^\circ \)
Мэдэгдэж буй утгуудыг орлуулна уу:
\[
c^2 = 10^2 + 15^2 – 2 \cdot 10 \cdot 15 \cdot \cos 60^\circ
\]
Бид \(\cos 60^\circ = 0.5\) гэдгийг мэдэж байгаа бол:
\[
c^2 = 100 + 225 – 2 \cdot 10 \cdot 15 \cdot 0.5
\]
\[
c^2 = 100 + 225 – 150
\]
\[
c^2 = 175
\]
\[
c = \sqrt{175} \approx 13.23 \, \text{km}
\]
Тиймээс эхлэх цэгээс хөлөг онгоц хүртэлх зай нь ойролцоогоор 13.23 км юм.
Жишээ асуулт 3: Синусыг ашиглан гурвалжны талыг тодорхойлох
Асуулт: Гурвалжингийн хоёр тал нь 7 см ба 10 см бөгөөд тэдгээрийн хоорондох өнцөг нь 45 градус байна. Гурвалжны гурав дахь талын уртыг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг: Бид энэ бодлогыг бодохын тулд синусын хуулийг ашиглаж болно. Синусын хуулиар, \(a\), \(b\), \(c\) талуудтай ба \(a\) ба \(b\\ талуудын хоорондох \(C\) өнцөгтэй гурвалжны хувьд:
\[
\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}
\]
Гэсэн хэдий ч энэ тохиолдолд бид ажлыг хялбарчлахын тулд косинусын хуулийг шууд ашиглаж болно. Косинусын хуулиар:
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C
\]
Хаана:
– \( a = 7 \)
– \( b = 10 \)
– \( C = 45^\circ \)
\(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), ингэснээр:
\[
c^2 = 7^2 + 10^2 – 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
c^2 = 49 + 100 – 70\sqrt{2}
\]
\[
c^2 = 149 – 70\sqrt{2}
\]
\( c \ )-ийн утгыг тооцоолох нь:
\[
c \approx \sqrt{149 – 70\sqrt{2}} \approx 5.97 \, \text{cm}
\]
Тэгэхээр гурвалжны гурав дахь талын урт нь ойролцоогоор 5.97 см байна.
Дүгнэлт
Тригонометр нь гурвалжин ба өнцгүүдтэй холбоотой янз бүрийн бодлогуудыг бодоход маш хэрэгтэй хэрэгсэл юм. Синус, косинус, тангенс болон тригонометрийн хуулиудыг сайн ойлгосноор бид олон практик бодлогыг шийдэж чадна. Энэ нийтлэлд тригонометрийн харьцааг ашиглах хэд хэдэн жишээг авч үзсэн бөгөөд энэ нь уншигчдад илүү сайн ойлголт өгөх болно гэж найдаж байна.
