Үйл явдлын магадлалын талаарх хэлэлцүүлгийн асуултын жишээ
Магадлал бол өдөр тутмын амьдралд өргөн хэрэглэгддэг математикийн нэг салбар юм. Үйл явдлын тохиолдох эсвэл тохиолдохгүй байх магадлалыг магадлалын ойлголтыг ашиглан хэмжиж болно. Дараах нийтлэлд үйл явдлын магадлалын талаарх хэд хэдэн жишээ бодлого болон тэдгээрийн хэлэлцүүлгийг авч үзэх болно. Тэдгээрийг илүү гүнзгий авч үзье.
Асуулт 1: Шоо дээр тоонууд гарч ирэх магадлал
Пертаняан:
Зургаан талт шоо нэг удаа шидэгдсэн. 4 оноо авах магадлал хэд вэ?
Хэлэлцүүлэг:
Стандарт шоо нь зургаан талтай: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Тал бүр гарч ирэх магадлал тэнцүү байна. Бид зургаан боломжит тооноос 4-ийг нь өнхрүүлэх магадлалыг хайж байгаа тул магадлалыг дараах байдлаар бичиж болно:
\[ P(4) = \frac{\text{Хүссэн аргын тоо}}{\text{Боломжийн нийт тоо}} = \frac{1}{6} \]
Тэгэхээр, шоо нэг удаа шидэхэд 4 гэсэн тоог авах магадлал нь \(\frac{1}{6}\) байна.
Бодлого 2: Сугалах хайрцаг дахь магадлал
Пертаняан:
Хайрцагт 5 улаан, 3 цэнхэр бөмбөг байна. Хэрэв санамсаргүй байдлаар нэг бөмбөг сугалсан бол сугалсан бөмбөг улаан байх магадлал хэд вэ?
Хэлэлцүүлэг:
Хайрцаг дахь нийт бөмбөгний тоо:
\[ 5 \text{ (улаан) } + 3 \text{ (цэнхэр) } = 8 \text{ бөмбөлөг } \]
Бидний хүсч буй бөмбөгнүүд бол улаан бөмбөг бөгөөд үүнээс 5 нь байна. Тиймээс улаан бөмбөг авах магадлал нь:
\[ P(\text{red}) = \frac{\text{Улаан бөмбөлөгний тоо}}{\text{Бөмбөгийн нийт тоо}} = \frac{5}{8} \]
Тиймээс улаан бөмбөг сонгох магадлал нь \(\frac{5}{8}\) байна.
Асуулт 3: Зоосны толгойн магадлал
Пертаняан:
Зоосыг хоёр удаа шидэв. Хоёр толгойтой зоос шидэгдэх магадлал хэд вэ?
Хэлэлцүүлэг:
Зоос шидэх бүр хоёр боломжит үр дүнтэй байдаг бөгөөд энэ нь толгой (H) эсвэл сүүл (E) юм. Зоосыг хоёр удаа шидэхэд боломжит үр дүнгийн түүврийн орон зай (S) нь:
\[ S = \{(HH), (HE), (EH), (EE)\} \]
Хоёр толгой (HH) авах магадлалыг дараах байдлаар тооцоолж болно.
\[ P(HH) = \frac{\text{HH үйл явдлын тоо}}{\text{Боломжийн нийт тоо}} = \frac{1}{4} \]
Өөрөөр хэлбэл, зоосыг хоёр удаа шидэхэд хоёр толгойтой болох магадлал нь \(\frac{1}{4}\) байна.
Асуулт 4: Хөзрийн тоглоом дахь магадлал
Пертаняан:
Стандарт хөзрийн багцаас (52 хөзөр) нэг хөзөр сугалбал Зүрхний Ац авах магадлал хэд вэ?
Хэлэлцүүлэг:
Стандарт хөзрийн багц нь 4 Aces-ийг оролцуулан 52 хөзөр агуулдаг. Гэсэн хэдий ч бид зөвхөн Зүрхний Ace-д л сонирхолтой байна.
Нийт боломжит хөзрийн тоо 52 бөгөөд уг тавцанд зөвхөн 1 Зүрхний Ац байна. Тиймээс:
\[ P(\text{Зүрхний хөзрийн тамга}) = \frac{\text{Зүрхний хөзрийн тамганы тоо}}{\text{Картын нийт тоо}} = \frac{1}{52} \]
Тэгэхээр, стандарт хөзрийн тавцангаас Зүрхний Ац сугалах магадлал нь \(\frac{1}{52}\) байна.
Асуулт 5: Барааны сугалааны магадлал
Пертаняан:
Сугалаанд 10 тасалбар байдаг бөгөөд 3 нь шагналтай, 7 нь шагналгүй байдаг. Хэрэв нэг тасалбар санамсаргүй байдлаар сугалагдсан бол шагнал авах магадлал хэд вэ?
Хэлэлцүүлэг:
Нийт тасалбарын тоо 10, шагналын тасалбарын тоо 3 байна. Тиймээс шагналын тасалбар авах магадлал нь:
\[ P(\text{prize}) = \frac{\text{Шагналын тасалбарын тоо}}{\text{Нийт тасалбарын тоо}} = \frac{3}{10} \]
Тиймээс шагналын тасалбар авах магадлал нь \(\frac{3}{10}\) байна.
Асуулт 6: Чихэртэй хайрцагт байгаа магадлал
Пертаняан:
Саванд 12 шоколадтай чихэр, 8 гүзээлзгэнэтэй чихэр, 5 гаатай чихэр байна. Хэрэв санамсаргүй байдлаар нэг чихэр сонговол гаатай чихэр авах магадлал хэд вэ?
Хэлэлцүүлэг:
Саванд байгаа чихрийн нийт тоо:
\[ 12 \text{ (шоколад) } + 8 \text{ (гүзээлзгэнэ) } + 5 \text{ (гаа) } = 25 \text{ чихэр } \]
Бидний хүсч буй гаатай чихэрний тоо 5 байна. Тиймээс гаатай чихэр авах магадлал нь:
\[ P(\text{mint}) = \frac{\text{Зоосны тоо}}{\text{Нийт зоосны тоо}} = \frac{5}{25} = \frac{1}{5} \]
Тэгэхээр гаатай чихэр авах магадлал нь \(\frac{1}{5}\) байна.
Асуулт 7: Сугалааны магадлал
Пертаняан:
Сугалаанд 1-ээс 10 хүртэл дугаарлагдсан 10 бөмбөгийг хайрцагт хийдэг. Хэрэв нэг бөмбөг сугалбал тэгш тоо гарах магадлал хэд вэ?
Хэлэлцүүлэг:
Бөмбөгний нийт тоо 10 бөгөөд тэдгээрийн хоорондох тэгш тоонууд нь 2, 4, 6, 8, 10 буюу нийт 5 бөмбөг байна.
Тэгэхээр тэгш тоо авах магадлал нь:
\[ P(\text{тэгш}) = \frac{\text{Тэгш тооны тоо}}{\text{Бөмбөгний нийт тоо}} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \]
Тэгэхээр тэгш тоо гарах магадлал нь \(\frac{1}{2}\) байна.
Асуулт 8: Тоглолтын магадлал
Пертаняан:
Сагсан бөмбөгийн тоглолтонд тоглогч цохилт бүрдээ оноо авах магадлал 0,7 байна. Хэрэв тоглогч 1 цохилт хийвэл оноо алдах магадлал хэд вэ?
Хэлэлцүүлэг:
Оноо амжилттай авах магадлал 0,7 байна. Тиймээс оноо авч чадахгүй байх магадлал нь:
\[ P(\текст{амжилтгүй болсон}) = 1 – P(\текст{амжилттай болсон}) = 1 – 0,7 = 0,3 \]
Тэгэхээр тоглогч нэг шидэлтээр оноо авч чадахгүй байх магадлал 0,3 буюу 30% байна.
Дээрх жишээ, хэлэлцүүлгийг судалсны дараа бид магадлалын тухай ойлголтыг янз бүрийн нөхцөл байдал, нөхцөлд хэрхэн хэрэгжүүлж байгааг ойлгож чадна. Энэхүү ойлголт нь тодорхойгүй байдал, тооцоололтой холбоотой өдөр тутмын асуудлыг шийдвэрлэхэд тусалж, статистик болон магадлалын судалгаанд цаашид хэрэгжүүлэх бат бөх суурийг тавьж өгдөг.
