Нийлмэл үйл явдлын магадлалыг хэлэлцэх жишээ асуултууд
Нийлмэл үйл явдлын магадлалын танилцуулга
Магадлал гэдэг нь үйл явдал болох магадлалыг судалдаг математикийн салбар юм. Нийлмэл үйл явдлын магадлал гэдэг нь нэгээс олон үйл явдлыг хамарсан үйл явдлын магадлал юм. Жишээлбэл, шоон дээр тэгш тоо өнхрөх, хөзрийн тавцангаас тамга шидэх магадлал нь нийлмэл үйл явдлын жишээ юм. Энэ нийтлэлд хэд хэдэн жишээ бодлогыг хэлэлцэж, нийлмэл үйл явдлын магадлалыг авч үзэх болно.
Нийлмэл үйл явдлын магадлалын үндсэн ойлголт
Нийлмэл үйл явдлын хоёр төрөл байдаг:
1. Харилцан онцгой үйл явдлууд: Нэгэн зэрэг тохиолдож болохгүй хоёр үйл явдал. Жишээлбэл, шоог шидэх үед 2 ба 5 гэсэн тоог шидэх үйл явдлууд нь харилцан онцгой үйл явдлууд юм, учир нь хоёр тоог нэгэн зэрэг шидэх боломжгүй юм.
2. Харилцан хамааралгүй үйл явдлууд: Нэгэн зэрэг тохиолдож болох хоёр үйл явдал. Жишээлбэл, тоглоомын хөзрүүдийг сугалах үед зүрхний хөзөр (♥) болон 10 гэсэн тоотой хөзөр авах үйл явдлууд нь харилцан хамааралгүй үйл явдлууд юм, учир нь 10 гэсэн тоотой зүрхний хөзөр байдаг.
Нийлмэл үйл явдлын магадлалыг тооцоолоход ашигласан зарим үндсэн томъёог энд оруулав.
– P(A эсвэл B) (харилцан хамааралгүй үйл явдлуудын хувьд): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B)\)
– P(A эсвэл B) (харилцан үгүйсгэдэг үйл явдлуудын хувьд): \(P(A \cup B) = P(A) + P(B)\)
– P(A ба B) (бие даасан үйл явдлуудын хувьд): \(P(A \cap B) = P(A) \үргэлжлэх P(B)\)
Жишээ асуултууд болон хэлэлцүүлэг
Жишээ асуулт 1: Шоо
Асуулт:
Шоо дээр тэгш тоо эсвэл 4-өөс их тоо гарах магадлал хэд вэ?
Хэлэлцүүлэг:
Эхлээд үйл явдлуудыг тодорхойлъё:
– А үйл явдал: Тэгш тоог олох (2, 4, 6)
– B үйл явдал: 4-өөс их тоог авах (5, 6)
Дараа нь бид үйл явдал бүрийн магадлалыг тодорхойлно:
– \(P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}\)
– \(P(B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}\)
А ба В үйл явдлуудад хоёуланд нь 6 тоо багтсан тул бид \(P(A \cap B)\)-г тооцоолох хэрэгтэй:
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{6}\) (учир нь А болон В-д хоёуланд нь зөвхөн нэг тоо буюу 6 багтсан болно)
Харилцан хамааралгүй үйл явдлуудын томъёог ашиглан:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} – \frac{1}{6}\]
Эдгээр бутархайн хуваарийг ижил болгоё:
\[P(A \cup B) = \frac{3}{6} + \frac{2}{6} – \frac{1}{6} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}\]
Тэгэхээр тэгш тоо эсвэл 4-өөс их тоо гарах магадлал нь \(\frac{2}{3}\) байна.
Жишээ асуулт 2: Хөзөр тоглох
Асуулт:
Хөзрийн тавцангаас туз эсвэл хүрз авах магадлал хэд вэ?
Хэлэлцүүлэг:
Эхлээд үйл явдлуудыг тодорхойлъё:
– А үйл явдал: Тууны карт авах (нийт 4, хослол бүрт нэг)
– B үйл явдал: Хүрзний карт авах (нийт 13)
Дараа нь бид үйл явдал бүрийн магадлалыг тодорхойлно:
– \(P(A) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13}\)
– \(P(B) = \frac{13}{52} = \frac{1}{4}\)
Хүрзний Ац нь А ба В үйл явдлуудад хоёуланд нь багтсан тул бид \(P(A \cap B)\)-г тооцоолох хэрэгтэй:
– \(P(A \cap B) = \frac{1}{52}\)
Харилцан хамааралгүй үйл явдлуудын томъёог ашиглан:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) = \frac{1}{13} + \frac{1}{4} – \frac{1}{52}\]
Эдгээр бутархайн хуваарийг ижил болгоё:
\[
P(A \cup B) = \frac{4}{52} + \frac{13}{52} – \frac{1}{52} = \frac{16}{52} = \frac{4}{13}
\]
Тэгэхээр, Ace эсвэл Spade авах магадлал нь \(\frac{4}{13}\) байна.
Жишээ бодлого 3: Хайрцаг дахь бөмбөг
Асуулт:
Хайрцагт 3 улаан бөмбөг, 4 цэнхэр бөмбөг, 5 ногоон бөмбөг байна. Хэрэв санамсаргүй байдлаар нэг бөмбөг сугалбал улаан эсвэл ногоон бөмбөг авах магадлал хэд вэ?
Хэлэлцүүлэг:
Эхлээд үйл явдлуудыг тодорхойлъё:
– А үйл явдал: Улаан бөмбөг авах (3-р дугаар)
– Б үйл явдал: Ногоон бөмбөг авах (5-р дугаар)
Дараа нь бид үйл явдал бүрийн магадлалыг тодорхойлно:
– Нийт бөмбөгний тоо = 3 + 4 + 5 = 12
– \(P(A) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}\)
– \(P(B) = \frac{5}{12}\)
Бөмбөг нэгэн зэрэг улаан, ногоон байж болохгүй тул эдгээр үйл явдлууд харилцан бие биенээ үгүйсгэдэг:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{4} + \frac{5}{12}\]
Эдгээр бутархайн хуваарийг ижил болгоё:
\[
P(A \cup B) = \frac{3}{12} + \frac{5}{12} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3}
\]
Тиймээс улаан эсвэл ногоон бөмбөг авах магадлал нь \(\frac{2}{3}\) байна.
Жишээ асуулт 4: Хоёр зоос
Асуулт:
Хэрэв хоёр зоосыг нэгэн зэрэг шидвэл дор хаяж нэг зоос гарч ирэх магадлал хэд вэ?
Хэлэлцүүлэг:
Бид А үйл явдлыг тодорхойлж байна: дор хаяж нэг дүрсийг мэдрэх.
Хоёр зоос шидэхэд гарах дөрвөн боломжит үр дүн байдаг:
1. HH
2. HT
3. TH
4. ТТ
Дор хаяж нэг зураг агуулсан үйл явдлууд нь:
– ХТ
– TH
– ТТ
Тус бүрийн магадлалыг тооцоолъё:
– Боломжит үйл явдлын тоо (нийт): 4
– Дор хаяж нэг зураг агуулсан үйл явдлын тоо: 3
\[
P(A) = \frac{Дор хаяж нэг толгойтой үйл явдлын тоо}{Нийт үйл явдлын тоо} = \frac{3}{4}
\]
Тэгэхээр, дор хаяж нэг дүрс гарч ирэх магадлал нь \(\frac{3}{4}\) байна.
Дүгнэлт
Дээрх бодлогуудын талаарх хэлэлцүүлэг нь нийлмэл үйл явдлын магадлалыг хэрхэн тооцоолж болохыг харуулж байна, энэ нь харилцан үгүйсгэсэн эсвэл үгүйсгэсэн эсэхээс үл хамааран. Үндсэн ойлголтуудыг ойлгож, зөв томъёог ашигласнаар бид өдөр тутмын янз бүрийн нөхцөл байдалд тохиолдож буй үйл явдлын тодорхой хослолын магадлалыг тодорхойлж чадна. Нийлмэл үйл явдлын магадлалыг тодорхойлоход илүү чадварлаг болохын тулд янз бүрийн бодлогуудтай ажиллах ур чадвараа үргэлжлүүлэн дадлагажуул.
