Комплекс тоонууд дээрх үйлдлүүдийн талаарх асуултууд болон хэлэлцүүлгийн жишээнүүд
Комплекс тоонууд нь бодит тоонуудын тухай ойлголтын өргөтгөл бөгөөд хуурмаг тоонуудыг багтаадаг. Комплекс тооны ерөнхий хэлбэр нь a + bi бөгөөд энд a ба b нь бодит тоонууд, i нь i² = -1 шинж чанартай хуурмаг нэгж юм. Комплекс тоонууд дээрх үйлдлүүдэд нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах зэрэг орно. Энэ нийтлэлд комплекс тоонууд дээрх янз бүрийн үйлдлүүдийн хэд хэдэн жишээ бодлого, хэлэлцүүлгийг өгөх болно.
Комплекс тоонуудыг нэмэх ба хасах
Жишээ асуулт 1
Дараах комплекс тоонуудыг нэмнэ үү: (3 + 4i) болон (1 + 2i).
Хэлэлцүүлэг:
Комплекс тоонуудыг нэмэхдээ тэдгээрийн бодит ба хуурмаг хэсгүүдийг тусад нь нэмэх замаар гүйцэтгэнэ.
\[ (3 + 4i) + (1 + 2i) = (3 + 1) + (4i + 2i) = 4 + 6i \]
Тэгэхээр, (3 + 4i) ба (1 + 2i)-г нэмсний үр дүн нь 4 + 6i байна.
Жишээ асуулт 2
(6 + 3i)-ээс (2 + 5i) комплекс тоог хас.
Хэлэлцүүлэг:
Комплекс тоонуудыг хасахдаа бодит хэсэг болон хуурмаг хэсгийг тусад нь хасах замаар хийнэ.
\[ (6 + 3i) – (2 + 5i) = (6 – 2) + (3i – 5i) = 4 – 2i \]
Тэгэхээр, (6 + 3i)-ээс (2 + 5i)-г хасвал 4 - 2i болно.
Комплекс тоонуудын үржвэр
Жишээ асуулт 3
Дараах комплекс тоонуудыг үржүүл: (2 + 3i) болон (4 + i).
Хэлэлцүүлэг:
Комплекс тоонуудыг үржүүлэх нь ердийн алгебрын хоёр биномыг үржүүлэхтэй төстэй тархалт эсвэл албан ёсны зохицуулалтыг ашиглан хийгддэг.
\[
(2 + 3i) \cdot (4 + i) = 2 \cdot 4 + 2 \cdot i + 3i \cdot 4 + 3i \cdot i
\]
Дараа нь бид нарийвчлан тооцоолно:
\[
= 8 + 2i + 12i + 3i^2
\]
\(i^2 = -1 \) тул:
\[
= 8 + 14i + 3(-1)
\]
\[
= 8 + 14i – 3
\]
\[
= 5 + 14i
\]
Тэгэхээр, (2 + 3i) ба (4 + i)-г үржүүлэх үр дүн нь 5 + 14i байна.
Комплекс тоонуудын хуваагдал
Жишээ асуулт 4
Дараах комплекс тоог (5 + 6i)-д (2 + i) хуваана уу.
Хэлэлцүүлэг:
Комплекс тоонуудыг хуваарийн коньюгат ашиглан хуваах. \(2 + i\)-ийн коньюгат нь \(2 – i\) байна.
Бид хүртвэр болон хуваагчийг хуваагчдын коньюгатаар үржүүлнэ:
\[
\frac{5 + 6i}{2 + i} \cdot \frac{2 – i}{2 – i}
\]
Одоо бид хүртвэр болон хуваарийг тусад нь тооцоолно:
\[
= \frac{(5 + 6i) \cdot (2 – i)}{(2 + i) \cdot (2 – i)}
\]
Хуваагчийг үржүүлэх:
\[
(2 + i) \cdot (2 – i) = 2^2 – i^2 = 4 – (-1) = 4 + 1 = 5
\]
Тоолууруудыг үржүүлэх:
\[
(5 + 6i) \cdot (2 – i) = 5 \cdot 2 + 5 \cdot (-i) + 6i \cdot 2 + 6i \cdot (-i)
= 10 – 5i + 12i – 6i^2
= 10 + 7i – 6(-1)
= 10 + 7i + 6
= 16 + 7i
\]
Тиймээс, хуваалт нь:
\[
= \frac{16 + 7i}{5} = \frac{16}{5} + \frac{7i}{5} = 3.2 + 1.4i
\]
Тэгэхээр (5 + 6i)-г (2 + i)-д хуваасны үр дүн нь 3.2 + 1.4i байна.
Нэмэлт хэлэлцүүлэг: Комплекс тоонуудын модуль ба коньюгат
Жишээ асуулт 5
\(z = 3 + 4i\) комплекс тооны модуль ба коньюгатыг ол.
Хэлэлцүүлэг:
Комплекс тооны \(z = a + bi\) модуль нь:
\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
\(z = 3 + 4i\)-ийн хувьд:
\[
|z| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5
\]
\(z = a + bi\) комплекс тооны коньюгат нь \(z^ = a – bi\) байна.
\(z = 3 + 4i\)-ийн хувьд:
\[
z^ = 3 – 4i
\]
Тэгэхээр \(3 + 4i\)-ийн модуль нь 5, түүний коньюгат нь \(3 – 4i\) байна.
Дүгнэлт
Комплекс тоонууд нь математикийн олон янзын салбар болон техникийн хэрэглээнд чухал үүрэг гүйцэтгэдэг. Нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах зэрэг комплекс тоонууд дээрх үндсэн үйлдлүүдийг ойлгох нь эдгээр ойлголтуудыг илүү төвөгтэй бодлогуудыг шийдвэрлэхэд ашиглах гол түлхүүр юм. Дээр дурдсан шиг янз бүрийн бодлогын төрлүүдийг дадлагажуулах нь комплекс тоонуудтай ажиллах ойлголт, ур чадвараа бэхжүүлэхэд тусална.
