Хамгийн бага квадратын аргын хэлэлцүүлгийн асуултуудын жишээ
Хамгийн бага квадратын арга (LEM) нь өгөгдлийг хамгийн үр дүнтэй таамаглах хамгийн сайн тохирох шугамыг олоход ашигладаг статистик арга юм. Энэ аргыг ихэвчлэн шугаман регрессийн шинжилгээнд бие даасан болон хамааралтай хувьсагчдын хоорондын хамаарлыг илрүүлэхэд ашигладаг. Энэ нийтлэлд хамгийн бага квадратын аргын үндсэн ойлголтуудыг жишээ, алхам алхмаар тайлбарын хамт авч үзэх бөгөөд энэ арга хэрхэн ажилладагийг илүү гүнзгий ойлгоход туслах болно.
Хамгийн бага квадратын аргын үндсэн ойлголтууд
Хамгийн бага квадратын аргын зорилго нь ажиглагдсан утгууд болон регрессийн загвараар таамагласан утгуудын хоорондох зөрүүний квадратуудын нийлбэрийг хамгийн бага байлгах явдал юм. Энгийн шугаман регрессийн шугамын тэгшитгэлийг дараах байдлаар бичиж болно:
\[ y = a + bx \]
Хаана:
– \( y \) нь хамааралтай хувьсагч,
– \( x \) нь хамааралгүй хувьсагч,
– \( a \) нь огтлолцол (\( x = 0 \) үед \( y \)-ийн утга),
– \( b \) нь шугамын налуу (налуу буюу регрессийн коэффициент) юм.
Хамгийн бага квадратын арга нь дараах функцийг минимумчилдаг \( a \) ба \( b \) параметрүүдийг тооцоолно:
\[ \text{SSE} = \sum_{i=1}^{n} (y_i – \hat{y_i})^2 \]
Энд SSE нь квадрат алдааны нийлбэр, \(y_i \) нь бодит утга, \(\hat{y_i} = a + bx_i \) нь таамагласан утга юм.
Хамгийн бага квадратын аргын алхамууд
Энэ ойлголтыг тодруулахын тулд бид хамгийн бага квадратын аргыг ашиглахтай холбоотой жишээ бодлогыг бодох болно.
Бодлогын жишээ
Дараах өгөгдлийг өгсөн болно:
| x (Сургалтын цаг) | y (Шалгалтын оноо) |
|——————–|——————–|
| 2 | 81 |
| 4 | 93 |
| 6 | 91 |
| 8 | 97 |
| 10 | 103 |
Өгөгдөлд хамгийн сайн тохирох шугаман регрессийн шугамыг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг
1. \( \bar{x} \) болон \( \bar{y} \)-ийн дундажийг тооцоолох
\[
\bar{x} = \frac{\sum x_i}{n} = \frac{2 + 4 + 6 + 8 + 10}{5} = 6
\]
\[
\bar{y} = \frac{\sum y_i}{n} = \frac{81 + 93 + 91 + 97 + 103}{5} = 93
\]
2. Параметрийг тооцоолох \( b \) (Налуу)
\( b \) параметрийг дараах томъёогоор тооцоолно:
\[
b = \frac{\sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y})}{\sum (x_i – \bar{x})^2}
\]
Бүрэлдэхүүн хэсэг бүрийг тооцоолох:
\[
\sum (x_i – \bar{x})(y_i – \bar{y}) = (2-6)(81-93) + (4-6)(93-93) + (6-6)(91-93) + (8-6)(97-93) + (10-6)(103-93)
\]
\[
= (-4)(-12) + (-2)(0) + (0)(-2) + (2)(4) + (4)(10)
\]
\[
= 48 + 0 + 0 + 8 + 40 = 96
\]
\[
\sum (x_i – \bar{x})^2 = (2-6)^2 + (4-6)^2 + (6-6)^2 + (8-6)^2 + (10-6)^2
\]
\[
= (-4)^2 + (-2)^2 + 0^2 + 2^2 + 4^2
\]
\[
= 16 + 4 + 0 + 4 + 16 = 40
\]
Тэгэхээр:
\[
b = \frac{96}{40} = 2.4
\]
3. Параметрийг тооцоолох \( a \) (Огтлолцол)
\( \bar{x} \) болон \( \bar{y} \-ийн дундажийг ашиглан:
\[
a = \bar{y} – b\bar{x} = 93 – 2.4 \times 6 = 93 – 14.4 = 78.6
\]
4. Регрессийн шугамын тэгшитгэлийг бичих
Олдсон параметрүүдийн тусламжтайгаар бид регрессийн шугамын тэгшитгэлийг бичиж болно:
\[
у = 78.6 + 2.4x
\]
Тайлбар ба баталгаажуулалт
Энэхүү регрессийн шугам тохирч байгаа эсэхийг баталгаажуулахын тулд бид анхны өгөгдөл дэх x бүрийн хувьд таамагласан y-утгыг (\(\hat{y}\)) тооцоолж, мөн таамаглалын нарийвчлалыг баталгаажуулахын тулд квадрат алдааны нийлбэрийг (SSE) тооцоолж болно.
| x | у | \(\малгай{y}\) | \((y – \малгай{y})^2\) |
|—|—-|————|——————–|
| 2 | 81 | 83.4 | (81-83.4)^2 = 5.76 |
| 4 | 93 | 88.2 | (93-88.2)^2 = 23.04|
| 6 | 91 | 93.0 | (91-93.0)^2 = 4.00 |
| 8 | 97 | 97.8 | (97-97.8)^2 = 0.64 |
|10 |103 |102.6 | (103-102.6)^2= 0.16|
SSS:
\[
SSE = 5.76 + 23.04 + 4.00 + 0.64 + 0.16 = 33.6
\]
Харьцангуй бага SSE-тэй бол хамгийн бага квадратын аргаар гаргаж авсан регрессийн шугам нь энэ өгөгдөлд сайн тохирно гэж бид дүгнэж болно.
Дүгнэлт
Хамгийн бага квадратын арга нь өгөгдлийн багцад хамгийн сайн тохирох шугамыг тодорхойлох, хазайлтын квадрат дээр үндэслэн таамаглалын алдааг багасгах хүчирхэг статистик шинжилгээний хэрэгсэл юм. Дундаж утгыг тооцоолох, налуу ба огтлолцолыг тооцоолох, регрессийн шугамын тэгшитгэлийг бичиж баталгаажуулах алхмуудыг ашиглан бид бие даасан хувьсагчдаас хамааралтай хувьсагчийн утгыг зөв таамаглаж чадна.
Энэ аргыг сайн ойлгох нь эдийн засаг, биостатистик, инженерчлэл, нийгмийн шинжлэх ухаан зэрэг регрессийн шинжилгээг байнга хэрэглэдэг салбарт маш их хэрэгтэй байдаг. Энэхүү нийтлэл нь тодорхой жишээнүүдтэй хамт өгөгдлийн шинжилгээнд энэхүү арга зүйн ач холбогдол, ашиг тусыг харуулж байна.
