Тойрог болон аккордын жишээ асуултууд болон хэлэлцүүлэг
Тойрог бол математикийн хичээл дээр ихэвчлэн судалдаг үндсэн геометрийн дүрсүүдийн нэг юм. Тойрогтой холбоотой нэг чухал ойлголт бол хөвч бөгөөд энэ нь төвөөр дамжин өнгөрөхгүйгээр тойргийн хоёр цэгийг холбосон шугам юм. Тойрог болон хөвчийг ойлгох нь геометрийг судлахад чухал ач холбогдолтой. Энэ нийтлэлд эдгээр ойлголтын талаарх бидний ойлголтыг гүнзгийрүүлэхийн тулд тойрог болон хөвчтэй холбоотой хэд хэдэн жишээ бодлого, хэлэлцүүлгийг авч үзэх болно.
Үндсэн ойлголт
Тойрог
Тойрог гэдэг нь төв гэж нэрлэгддэг өгөгдсөн цэгээс тэнцүү зайд орших хавтгай дээрх бүх цэгүүдийн цуглуулга юм. Хэрэв тойргийн төв нь О цэг, тойргийн радиус нь r бол тойргийг Декартын хэлбэрээр (x – O_x)² + (y – O_y)² = r² тэгшитгэлээр илэрхийлж болно.
Нумны утас
Тойрог доторх хөвч гэдэг нь тойрог дээрх хоёр цэгийг холбосон шугам юм. Хөвчний урт нь зөвхөн тойргийн радиусаас гадна түүнтэй харсан төвийн өнцгийн хэмжээнээс хамаарна.
Жишээ асуултууд болон хэлэлцүүлэг
Асуулт 1:
Асуулт: 10 см радиустай тойрог болон 16 см урттай AB хөвч өгөгдсөн. Тойргийн төвөөс хөвч хүртэлх хамгийн богино зайг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг:
Тойргийн төвөөс хөвч хүртэлх зайг олохын тулд радиус, төвөөс хөвч хүртэлх зай, хөвчний уртын хагасын хооронд үүссэн баруун гурвалжны томъёог ашиглаж болно.
О цэг нь тойргийн төв, Р цэг нь AB хөвчний голд байрлах, AB-тэй перпендикуляр цэг гэж үзье. Тиймээс OP нь О тойргийн төвөөс AB хөвч хүртэлх зай юм.
OAP гурвалжинд (P цэг дээрх баруун гурвалжин) бид Пифагорын теоремыг хэрэглэж болно:
OP² + AP² = OA²
Бид үүнийг мэднэ:
– OA (тойргийн радиус) = 10 см
– AB (нумын утасны урт) = 16 см, тиймээс AP = 16/2 = 8 см.
Мэдэгдэж буй утгуудыг тэгшитгэлд орлуулна уу:
OP² + 8² = 10²
OP² + 64 = 100
OP² = 100 – 64
OP² = 36
OP = √36
OP = 6
Тэгэхээр тойргийн төвөөс хөвч хүртэлх хамгийн богино зай нь 6 см байна.
Асуулт 2:
Асуулт: Төв нь О цэгтэй тойргийн радиус 8 см байна. AB хөвч нь 120° төвийн өнцөг ∠AOB үүсгэдэг. AB хөвчийн уртыг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг:
Төвийн өнцгийг (θ) бүрдүүлдэг хөвчний уртыг тооцоолохын тулд бид дараах томъёог ашиглаж болно.
AB = 2 × r × sin(θ/2)
Хаана:
– r нь тойргийн радиус (энэ асуултанд 8 см)
– θ нь тойргийн төвд хөвчийн үүсгэсэн өнцөг (энэ бодлогод 120°)
Мэдэгдэж буй утгуудыг орлуулна уу:
AB = 2 × 8 см × sin(120°/2)
AB = 16 см × sin(60°)
AB = 16 см × (√3 / 2)
AB = 8√3 см
Тэгэхээр AB хөвчний урт нь 8√3 см байна.
Асуулт 3:
Асуулт: 13 см радиустай тойрог ба AB хөвч нь тойргийн төвөөс 5 см зайд байрладаг. AB хөвчийн уртыг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг:
Энэ тохиолдолд бид үүссэн баруун гурвалжинг ашиглан хөвчний уртыг олж болно. О цэг нь тойргийн төв, P цэг нь төвд хамгийн ойр хөвч дээрх цэг, AB нь хөвч гэж үзье.
Бид мэднэ:
– OA (тойргийн радиус) = 13 см
– OP (нумын утас хүртэлх төвийн зай) = 5 см.
OAP гурвалжинд:
OP² + AP² = OA²
Бид AP (хөвчний уртын хагас)-ийг олдог:
5² + AP² = 13²
25 + AP² = 169
AP² = 169 – 25
AP² = 144
AP = √144
AP = 12
Тэгэхээр, хөвчний урт AB = 2 × AP = 2 × 12 = 24 см байна.
Асуулт 4:
Асуулт: 10 см радиустай тойрог өгөгдсөн. AB хөвч нь 12 см урттай. Төвийн өнцгийн хэмжээг ∠AOB гэж тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг:
Энэ тохиолдолд бид төвийн өнцгийг ∠AOB тодорхойлохын тулд тригонометрийн функцийн урвууг ашиглах шаардлагатай. θ төвийн өнцгийг багтаасан хөвчний уртын томъёонд үндэслэн θ-г тооцоолохын тулд томъёог дахин бичиж болно:
AB = 2 × r × sin(θ/2)
Хаана:
– r нь тойргийн радиус (10 см)
– AB нь нумын утасны урт (12 см)
sin(θ/2)-г ялгах тэгшитгэлийг бичнэ үү:
12 = 2 × 10 × sin(θ/2)
12 = 20 × sin(θ/2)
sin(θ/2) = 12/20
sin(θ/2) = 0.6
θ/2-ийн утгыг ол:
θ/2 = sin^(-1)(0.6)
θ/2 = 36.87°
Тиймээс,:
θ = 2 × 36.87° = 73.74°
Тиймээс төвийн өнцөг ∠AOB нь 73.74° байна.
Дүгнэлт
Тойрог болон хөвчийг судлахын тулд геометр болон тригонометрийн үндсэн ойлголт шаардлагатай. Дээрх жишээнүүдэд бид Пифагорын теорем, тригонометрийн функц, тойргийн үндсэн шинж чанар зэрэг янз бүрийн томъёо, теоремуудыг ашиглан бодлого бодохыг харсан.
Эдгээр дадлагын бодлогуудаар дамжуулан радиус, хөвчний урт болон үүссэн төвийн өнцгийн хоорондын хамаарлыг илүү гүнзгий ойлгох боломжтой гэж найдаж байна. Энэхүү ойлголтыг ойлгох нь зөвхөн сургуулийн математикт төдийгүй шинжлэх ухаан, инженерийн янз бүрийн салбарын өдөр тутмын хэрэглээнд хэрэгтэй юм.
