Тойрог ба шүргэлтийн жишээ асуултууд ба хэлэлцүүлэг
Тойрог ба шүргэгч нь математикийн хичээл дээр, ялангуяа дунд сургуулийн түвшинд байнга хэлэлцдэг хоёр сэдэв юм. Геометрийн талаарх мэдлэгээ гүнзгийрүүлэхийн тулд шүргэгчийн тухай ойлголт болон хэрэглээг ойлгох нь чухал юм. Энэхүү нийтлэлд уншигчдад илүү гүнзгий ойлголт өгөхийн тулд тойрог ба шүргэгчийн талаарх жишээ бодлого, хэлэлцүүлгийг өгөх болно.
Тойрог ба шүргэгчийн онолын танилцуулга
Тойрог
Тойрог гэдэг нь тойргийн төв гэж нэрлэгддэг тогтмол цэгээс тэгш зайд орших хавтгай дээрх цэгүүдийн багц юм. Энэхүү тогтмол зайг тойргийн радиус гэж нэрлэдэг. Математикийн хувьд тойргийг дараах тэгшитгэлээр тодорхойлж болно:
\[ (x – a)^2 + (y – b)^2 = r^2 \]
энд \((a, b)\) нь тойргийн төвийн координатууд ба \(r\) нь радиус юм.
Тангенс
Тойрог руу чиглэсэн шүргэгч гэдэг нь тойрогт яг нэг цэг дээр хүрдэг шугам юм. Энэ цэгийг шүргэлтийн цэг гэж нэрлэдэг. Шүргэгчийн гол шинж чанар нь тойргийн төвөөс шүргэлтийн цэг хүртэл татсан радиуст перпендикуляр байдаг явдал юм.
Жишээ асуултууд болон хэлэлцүүлэг
Асуулт 1: Шүргэгч шугамын тэгшитгэлийг тодорхойлох
Асуулт:
Төв нь ∫ (2, 3)∫ ба радиус нь 5 гэсэн цэг дээр байгаа тойрог өгөгдсөн. ∫ (5, 7)∫ координаттай ∫ (P∫) цэг дээрх тойрогтой шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг:
Алхам 1: \(P\) цэг нь тойрог дээр байгаа эсэхийг шалгаарай.
\(P (5, 7) \) нь төв нь \(2, 3) \) ба радиус нь \(5 \) тойрог дээр байгаа эсэхийг шалгахын тулд \(P \)-ийн координатыг тойргийн тэгшитгэлд орлуулна уу:
\[ (x – 2)^2 + (y – 3)^2 = 5^2 \]
\[ (5 – 2)^2 + (7 – 3)^2 = 25 \]
\[ 3^2 + 4^2 = 25 \]
\[ 9 + 16 = 25 \]
Тэнцвэр үнэн тул \(P \) цэг нь тойрог дээр оршдог.
Алхам 2: \( (2, 3) \) болон \( (5, 7) \) цэгүүдээр дамжин өнгөрөх радиусын градиентийг тодорхойлно уу:
\[ m_{радиус} = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} = \frac{7 – 3}{5 – 2} = \frac{4}{3} \]
Алхам 3: Радиусын градиенттэй перпендикуляр шүргэгч градиент (үржвэрийн градиент нь -1):
\[ m_{тангенс} = -\frac{1}{m_{радиус}} = -\frac{1}{\frac{4}{3}} = -\frac{3}{4} \]
Алхам 4: \( P (5, 7) \) цэгийг ашиглан шүргэгч шулууны тэгшитгэлийг тодорхойл:
\[ y – y_1 = m (x – x_1) \]
\[ y – 7 = -\frac{3}{4} (x – 5) \]
Хялбаршуулах:
\[ y – 7 = -\frac{3}{4}x + \frac{15}{4} \]
\[ 4y – 28 = -3x + 15 \]
\[ 3x + 4y – 43 = 0 \]
Тиймээс тангенс шугамын тэгшитгэл нь дараах байдалтай байна.
\[ 3x + 4y – 43 = 0 \]
Асуулт 2: Шугамын тэгшитгэлээс шүргэлтийн цэгийг тодорхойлох
Асуулт:
\(x^2 + y^2 = 25 \) тэгшитгэлтэй тойрог ба \(y = \frac{3}{4}x + 2 \) шулуун өгөгдсөн. Шугам ба тойргийн хоорондох шүргэлтийн цэгийг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг:
Алхам 1: Шугамын тэгшитгэлийг тойргийн тэгшитгэлд орлуулна уу:
Тойргийн тэгшитгэл:
\[ x^2 + y^2 = 25 \]
Тойргийн тэгшитгэлд \( y = \frac{3}{4}x + 2 \)-г орлуулна уу:
\[ x^2 + \left(\frac{3}{4}x + 2\right)^2 = 25 \]
\[ x^2 + \left(\frac{9}{16}x^2 + \frac{12}{4}x + 4 \right) = 25 \]
\[ x^2 + \frac{9}{16}x^2 + \frac{6}{2}x + 4 = 25 \]
\[ x^2 + \frac{9}{16}x^2 + 3x + 4 = 25 \]
Алхам 2: Тэгшитгэлийг хялбарчилна уу:
\[ 16x^2 + 9x^2 + 48x + 64 = 400 \]
\[ 25x^2 + 48x + 64 – 400 = 0 \]
\[ 25x^2 + 48x – 336 = 0 \]
Алхам 3: Квадрат томъёог ашиглан үндсийг олох:
\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a} \]
\[ a = 25, b = 48, c = -336 \]
\[ x = \frac{-48 \pm \sqrt{48^2 – 4 \cdot 25 \cdot (-336)}}{2 \cdot 25} \]
\[ x = \frac{-48 \pm \sqrt{2304 + 33600}}{50} \]
\[ x = \frac{-48 \pm \sqrt{35904}}{50} \]
\[ x = \frac{-48 \pm 189.501}{50} \]
Тангенцийн цэг дээр үндэслэн хүчинтэй \( x \)-г сонгох (зөвхөн нэг \( x \) нь тангенцийн цэгийг гаргана):
\[ x = \frac{141.501}{50} \ойролцоогоор 2.83 \]
\[ x \ойролцоогоор 2.83 \]
Алхам 4: Шугамын тэгшитгэлд \(x \)-г орлуулж \(y \)-г гаргана уу:
\[ y = \frac{3}{4}(2.83) + 2 \]
\[ y \ойролцоогоор 2.12 + 2 \]
\[ у \ойролцоогоор 4.12 \]
Тэгэхээр, \(y = \frac{3}{4}x + 2 \) шулуун ба \(x^2 + y^2 = 25 \) тойргийн хоорондох шүргэлтийн цэг нь \( (2.83, 4.12) \) байна.
Дүгнэлт
Тойрог ба шүргэгч гэсэн ойлголтыг эзэмшихэд геометрийн үндсийг ойлгох, математикийн тэгшитгэл ашиглан бодлого бодох чадварыг багтаана. Дээрхтэй адил бодлого нь оюутнуудад онолыг илүү тодорхой нөхцөл байдалд хэрэгжүүлэх дадлага хийхэд тусалдаг. Тогтмол дадлага хийснээр оюутнууд бодлогуудыг илүү хялбар ойлгож, шийдвэрлэх боломжтой болно гэж найдаж байна.
