Тойрог ба нумын талаарх жишээ асуултууд
Тойрог бол боловсролын янз бүрийн түвшинд байнга судлагддаг үндсэн геометрийн дүрс юм. Энэхүү ойлголт нь зөвхөн академик салбарт хамааралтай төдийгүй архитектурын зураг төсөл, замын инженерчлэл, тэр ч байтугай урлаг зэрэг өдөр тутмын амьдралд өргөн хэрэглэгддэг. Энэ нийтлэлд тойрог болон нумтай холбоотой янз бүрийн жишээ бодлогуудыг тэдгээрийн шийдлүүдийн хамт авч үзэх болно.
Тойрог ба дугуй нумыг ойлгох нь
Тойрог гэдэг нь тойргийн төв гэж нэрлэгддэг өгөгдсөн цэгээс тэнцүү зайд орших хавтгай дээрх бүх цэгүүдийн цуглуулга юм. Тойргийн төвөөс тойргийн аль ч цэг хүртэлх зайг радиус гэж нэрлэдэг. Тойргийн нум гэдэг нь тойрог дээрх хоёр цэгээр хүрээлэгдсэн тойргийн хэсэг юм.
Таны мэдэх ёстой үндсэн томъёонууд
1. Тойргийн тойрог (K):
\[
K = 2 \pi r
\]
энд \( r \) нь тойргийн радиус ба \( \pi \approx 3.14 \) эсвэл \( \pi \approx \frac{22}{7} \).
2. Тойргийн талбай (A):
\[
A = \pi r^2
\]
3. Нуман урт(ууд):
\[
s = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \pi r
\]
энд \( \theta \) нь төвийн өнцөг (градусаар) байна.
4. Салбарын талбай (У):
\[
L = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2
\]
Жишээ асуултууд болон хэлэлцүүлэг
Асуулт 1: Тойргийн тойрог
Асуулт:
Тойрог нь 14 см радиустай. Тойргийн тойргийг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг:
Тойргийн тойргийн томъёог ашиглан:
\[
K = 2 \pi r
\]
энд r = 14 см,
\[
K = 2 \times \frac{22}{7} \times 14 = 2 \times 22 \times 2 = 88 \, \text{cm}
\]
Тэгэхээр тойргийн тойрог нь 88 см байна.
Асуулт 2: Тойргийн талбай
Асуулт:
10 см диаметртэй тойрог өгөгдсөн. Тойргийн талбайг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг:
Эхлээд бид тойргийн радиусыг олно:
\[
r = \frac{d}{2} = \frac{10}{2} = 5 \, \text{cm}
\]
Тойргийн талбайн томъёог ашиглан:
\[
A = \pi r^2
\]
\[
A = \pi \times 5^2 = \pi \times 25 \approx 3.14 \times 25 = 78.5 \, \text{cm}^2
\]
Тэгэхээр тойргийн талбай нь 78.5 см² байна.
Асуулт 3: Дугуй нумын урт
Асуулт:
21 см радиустай тойрог нь 60° төв өнцөг үүсгэдэг нумтай. Нумын урт хэд вэ?
Хэлэлцүүлэг:
Нумын уртын томъёог ашиглан:
\[
s = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \pi r
\]
энд \( \theta = 60^\circ \) ба \( r = 21 \, \text{cm} \),
\[
s = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 21
\]
\[
s = \frac{1}{6} \times 2 \times \frac{22}{7} \times 21
\]
\[
s = \frac{1}{6} \удаа 132 = 22 \, \text{cm}
\]
Тэгэхээр нумын урт нь 22 см байна.
Асуулт 4: Салбарын талбай
Асуулт:
Төвийн өнцөг нь 90°, радиус нь 7 см тойргийн секторын талбайг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг:
Салбарын талбайн томъёог ашиглан:
\[
L = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2
\]
энд \( \theta = 90^\circ \) ба \( r = 7 \, \text{cm} \),
\[
L = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi \times 7^2
\]
\[
L = \frac{1}{4} \times \pi \times 49
\]
\[
L = \frac{49 \pi}{4}
\]
\[
L \approx \frac{49 \times 3.14}{4} \approx \frac{153.86}{4} \approx 38.465 \, \text{cm}^2
\]
Тиймээс салбарын талбай нь 38.465 см² юм.
Асуулт 5: Тойрог болон талбайн хослолын асуултууд
Асуулт:
Тойрог нь 44 см тойрогтой. Тойргийн талбайг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг:
Эхлээд бид тойргийн радиусыг тойргийн томъёог ашиглан олно:
\[
K = 2 \pi r
\]
Энд \( K = 44 \, \text{cm} \),
\[
44 = 2 \times \frac{22}{7} \times r
\]
\[
44 = \frac{44}{7} \удаа r
\]
\[
r = \frac{44 \times 7}{44} = 7 \, \text{cm}
\]
Дараа нь тойргийн талбайг тооцоолно уу:
\[
A = \pi r^2
\]
\[
A = \pi \times 7^2 = \pi \times 49 \approx 3.14 \times 49 \approx 153.86 \, \text{cm}^2
\]
Тэгэхээр тойргийн талбай нь 153.86 см² байна.
Асуулт 6: Тойргуудын харьцуулалт
Асуулт:
Хоёр тойргийн радиус нь тус тус 5 см ба 10 см байна. Хоёр тойргийн тойрог ба талбайн харьцааг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг:
Ойролцоогоор:
Эхний тойргийн хувьд \( r_1 = 5 \, \text{cm} \):
\[
K_1 = 2 \pi r_1 = 2 \pi \times 5 = 10 \pi \, \text{cm}
\]
Хоёр дахь тойргийн хувьд \( r_2 = 10 \, \text{cm} \):
\[
K_2 = 2 \pi r_2 = 2 \pi \times 10 = 20 \pi \, \text{cm}
\]
Периметрийн харьцуулалт:
\[
\frac{K_1}{K_2} = \frac{10 \pi}{20 \pi} = \frac{1}{2}
\]
Өргөн:
Эхний тойргийн хувьд:
\[
A_1 = \pi r_1^2 = \pi \times 5^2 = 25 \pi \, \text{cm}^2
\]
Хоёр дахь тойргийн хувьд:
\[
A_2 = \pi r_2^2 = \pi \times 10^2 = 100 \pi \, \text{cm}^2
\]
Талбайн харьцуулалт:
\[
\frac{A_1}{A_2} = \frac{25 \pi}{100 \pi} = \frac{1}{4}
\]
Тиймээс хоёр тойргийн тойргийн харьцаа 1:2, тэдгээрийн талбайн харьцаа 1:4 байна.
Дүгнэлт
Тойрог ба нумын үндсэн ойлголт, томъёог ойлгох нь геометрийн янз бүрийн бодлогуудыг шийдвэрлэхэд зайлшгүй шаардлагатай. Энэ нийтлэлд энэ материалын талаарх таны ойлголтыг бэхжүүлэх хэд хэдэн жишээ бодлого, хэлэлцүүлгийг танилцуулж байна. Дадлагын бодлого, гүнзгий ойлголт нь эдгээр ойлголтуудыг судалгааны янз бүрийн салбар болон бодит амьдралын нөхцөл байдалд хэрэгжүүлэхэд тань туслах болно.
