Функцийн хувиргалтын хослолуудын талаарх жишээ асуултууд
Функцийн хувиргалт нь математикийн чухал сэдэв бөгөөд ялангуяа функц болон тэдгээрийн графикийг судлахад чухал ач холбогдолтой юм. Функцийн хувиргалтыг хэрэглэхэд орчуулга, тусгал, тэлэлт, эргэлт зэрэг янз бүрийн үйлдлүүд багтдаг. Энэ нийтлэлд бид функцийн хосолсон хувиргалт гэж юу болох, тэдгээрийг хэд хэдэн жишээ бодлогуудаар хэрхэн шийдвэрлэхийг судлах болно.
Функцийн хувиргалтын хослол гэж юу вэ?
Функцийн хувиргалт нь анхны функцийн графикийн геометрийн байрлал эсвэл хэлбэрийг өөрчлөхийг хэлнэ. Функцийн хувиргалтыг нэгтгэх гэдэг нь нэг функцийн хоёр ба түүнээс дээш хувиргалтыг нэгтгэхийг хэлнэ.
Функцийн хувиргалтын зарим түгээмэл төрлүүд нь:
– Орчуулга (Ээлж):
– Хэвтээ: \( f(x) \to f(x – h) \) баруун тийш \( h \)-ээр шилжинэ.
– Босоо: \( f(x) \to f(x) + k \) зайг дээш шилжүүлэх \( k \)
– Эргэцүүлэл:
– Хэвтээ (y тэнхлэгтэй харьцуулахад): \( f(x) \to f(-x) \)
– Босоо (x тэнхлэгтэй харьцуулахад): \( f(x) \to -f(x) \)
– Тэлэлт (Масштаб):
– Хэвтээ: \( f(x) \to f(ax) \), хэвтээ масштабын хүчин зүйл нь \( a \) байна
– Босоо: \( f(x) \to kf(x) \), босоо хуваарийн коэффициент нь \( k \) байна
Жишээ асуултууд болон хэлэлцүүлэг
Асуулт 1:
Анхны функц өгөгдсөн \(f(x) = x^2 \). Дараах хувиргалтын хослолыг хэрэглэсний дараа функцийн шинэ хэлбэрийг тодорхойлно уу:
1. Баруун тийш хэвтээ чиглэлд 3 нэгжээр орчуулсан.
2. 2-ын масштабын коэффициент бүхий босоо тэлэлт.
Хэлэлцүүлэг:
1. Хэвтээ орчуулга:
Хэрэв баруун тийш 3 нэгжээр шилжвэл \(f(x) = x^2 \) функц нь \(f(x – 3) = (x – 3)^2 \) болно.
Тиймээс хэвтээ шилжүүлгийн дараах шинэ функц нь \( f_1(x) = (x – 3)^2 \) байна.
2. Босоо тэлэлт:
2 дахин босоо тэлэлтийн дараа хэлбэр нь \( 2 \times f_1(x) = 2(x-3)^2 \) болно.
Хувиргалтуудын хослолын дараах функцийн эцсийн үр дүн нь:
\[ g(x) = 2(x – 3)^2 \]
Асуулт 2:
\(f(x) = \sqrt{x} \) функц өгөгдсөн. Дараах хувиргалтын хослол өгөгдсөний дараа функцийн шинэ хэлбэрийг тодорхойлно уу:
1. y тэнхлэгийн талаарх эргэцүүлэл.
2. Босоо чиглэлд доошоо 2 нэгжээр шилжүүлнэ.
Хэлэлцүүлэг:
1. y тэнхлэгийн талаарх эргэцүүлэл:
\(f(x) = \sqrt{x} \) функц нь y тэнхлэгийн талаар тусгагдсан тул \(f(-x) = \sqrt{-x} \) болно.
2. Босоо орчуулга:
Үүссэн тусгал функцийг 2 нэгжээр доош шилжүүлж \( \sqrt{-x} – 2 \) болгоно.
Тиймээс хувиргалтын дараах функцийн эцсийн хэлбэр нь:
\[ g(x) = \sqrt{-x} – 2 \]
Асуулт 3:
\(f(x) = \frac{1}{x} \) функц өгөгдсөн. Дараах хувиргалтын хослолын дараа функцийн шинэ хэлбэрийг тодорхойлно уу:
1. Зүүн тийш хэвтээ чиглэлд 4 нэгжээр шилжүүлсэн.
2. Хуваарийн коэффициент \(\frac{1}{2}\)-тай хэвтээ тэлэлт.
Хэлэлцүүлэг:
1. Хэвтээ орчуулга:
4 нэгжээр зүүн тийш шилжсэний дараа \( f(x) = \frac{1}{x} \) функц нь \( f(x + 4) = \frac{1}{x + 4} \) болно.
2. Хэвтээ тэлэлт:
Үүссэн орчуулгын функцийг дараа нь \(\frac{1}{2}\) хүчин зүйлээр хэвтээ чиглэлд өргөжүүлж, \( f\left( \frac{x}{\frac{1}{2}} + 4 \right) = f(2x + 4) = \frac{1}{2x + 4} \) болно.
Тиймээс хувиргалтын дараах функцийн эцсийн хэлбэр нь:
\[ g(x) = \frac{1}{2x + 4} \]
Асуулт 4:
\(f(x) = \sin x \) функц өгөгдсөн. Дараах хувиргалтын хослол өгөгдсөний дараа функцийн шинэ хэлбэрийг тодорхойлно уу:
1. 3-ын масштабын коэффициент бүхий босоо тэлэлт.
2. x тэнхлэгийн талаарх эргэцүүлэл.
Хэлэлцүүлэг:
1. Босоо тэлэлт:
3 масштабын коэффициентоор босоо тэлэлтийн дараах анхны функц \( f(x) = \sin x \) нь \( 3 \sin x \) болно.
2. x тэнхлэгийн талаарх эргэцүүлэл:
Үүссэн тэлэлтийн функц нь x тэнхлэгийн эргэн тойронд тусгагдсан тул \( -3 \sin x \) болно.
Хувиргалтуудын хослолын дараах функцийн эцсийн үр дүн нь:
\[ g(x) = -3 \sin x \]
График дахь хэрэглээ
Функцийн хувиргалтын хослолыг ойлгох нь эдгээр функцийн графикийг судлахад маш чухал юм. Анхаарах хэдэн чухал зүйлийг энд оруулав.
1. Хувиргалтын дараалал:
Хувиргалтуудыг гүйцэтгэх дараалал нь эцсийн үр дүнд нөлөөлдөг. Жишээлбэл, хэрэв бид орчуулгын өмнө тэлэлт хийвэл эцсийн үр дүн нь хувиргалтын дарааллыг урвуулан ашигласнаас өөр байх болно.
2. График дүрслэл:
Өөрчлөлт бүр нь графикийн хэлбэрт тодорхой байдлаар нөлөөлдөг:
– Орчуулга нь графикийн хэлбэрийг өөрчлөхгүйгээр шилжүүлдэг.
– Өргөтгөл нь графикийн “өргөн” эсвэл “зузаан”-ыг өөрчилдөг.
– Тусгал нь графикийг шугамын эргэн тойронд тусгадаг.
3. Тасралтгүй дасгал:
Хувиргалт дээр суурилсан функцийн графикийг зурах нь энэ ойлголтыг ойлгох үр дүнтэй арга юм. Дээрх хэлэлцүүлгийн асуултуудад өгөгдсөн функцийн графикийг хэрхэн өөрчлөгдөж байгааг харахын тулд тэдгээрийг графикаар зурж үзээрэй.
Дүгнэлт
Функцийн хувиргалт нь математикийн үндсэн ойлголт бөгөөд эрдэм шинжилгээний болон практикийн аль алинд нь хэрэглэгддэг. Функцийн хувиргалтын хослолыг сурахын тулд хувиргалтын төрөл бүрийн үндсийг ойлгох шаардлагатай. Дадлага, жишээгээр дамжуулан бид функцийн зураг болон графикийг илүү сайн эзэмшиж чадна. Үргэлжлүүлэн дадлага хийснээр функцүүд янз бүрийн хувиргалтаар хэрхэн өөрчлөгддөгийг ойлгоход илүү чадварлаг болно.
