Детерминация коэффициентийн талаарх хэлэлцүүлгийн асуултын жишээ
Детерминация коэффициент (R²) нь регрессийн шинжилгээнд чухал параметр бөгөөд регрессийн загвар нь өгөгдлийн бодит хувьсах чанарыг хэр сайн тайлбарлаж байгааг харуулдаг. Энэ нийтлэлд бид детерминация коэффициентийн тухай ойлголтыг дэлгэрэнгүй жишээ болон хэлэлцүүлгээр тайлбарлах болно.
Детерминацийн коэффициентийн үндсэн ойлголт
Детерминацийн коэффициент буюу \(R^2 \)-ийг 0-ээс 1 хүртэлх шатлалаар хэмждэг бөгөөд энд:
– \( R^2 = 0 \) нь регрессийн загвар нь өгөгдлийн хувьсах чанарыг огт тайлбарлаж чадахгүй байгааг харуулж байна.
– \( R^2 = 1 \) нь регрессийн загвар нь өгөгдлийн бүх хувьсах чанарыг төгс тайлбарлаж чаддаг болохыг харуулж байна.
Тодорхойлолтын коэффициентийг тооцоолох үндсэн томъёо нь:
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
Хаана:
– SSR (Квадрат Үлдэгдлийн Сүлжээ) нь загвараар таамагласан утгууд болон бодит утгуудын хоорондох зөрүүний квадратуудын нийлбэр юм.
– SST (Нийт квадратуудын нийлбэр) нь бодит утга ба бодит утгуудын дундажийн зөрүүний квадратуудын нийлбэрийн нийлбэр юм.
Бодлогын жишээ
Детерминацийн коэффициентийн тооцооллыг илүү гүнзгий ойлгохын тулд жишээ бодлогыг авч үзье.
Асуудлын жишээ:
10 оюутны суралцах цагийн тоо (X) болон шалгалтын онооны (Y) талаарх өгөгдөл бидэнд байна гэж бодъё:
| Оюутнууд | Суралцах цаг (X) | Шалгалтын оноо (Y) |
|——-|——————–|——————–|
| 1 | 2 | 58 |
| 2 | 3 | 64 |
| 3 | 4 | 70 |
| 4 | 5 | 85 |
| 5 | 2 | 57 |
| 6 | 3 | 68 |
| 7 | 4 | 72 |
| 8 | 5 | 90 |
| 9 | 3 | 62 |
| 10 | 4 | 78 |
Бид шалгалтын оноог (Y) суралцах цаг (X) дээр үндэслэн таамаглах энгийн шугаман регрессийн загварыг бий болгоно.
Хэлэлцүүлэг
1. Энгийн шугаман регрессийн загварыг бүтээх
Энгийн шугаман регрессийн загвар нь дараах хэлбэртэй байна:
\[ Y = a + bX \]
Хаана:
– \( Y \) нь таамагласан тестийн оноо юм.
– \( X \) нь суралцах цагийн тоо юм.
– \( a \) нь огтлолцол (X = 0 үед Y тэнхлэг дээрх огтлолцлын цэг).
– \( b \) нь налуу (регрессийн шугамын налуу) юм.
\( a \) болон \( b \) параметрүүдийг тооцоолохын тулд бид дараах томъёог ашиглана:
\[ b = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{n(\sum{X^2}) – (\sum{X})^2} \]
\[ a = \frac{\sum{Y} – b(\sum{X})}{n} \]
энд \(n\) нь өгөгдлийн тоо (энэ тохиолдолд n = 10).
Хүснэгтээс бид дараахийг тооцоолж болно.
– \(\нийлбэр{X} = 36\)
– \(\нийлбэр{Y} = 704\)
– \(\нийлбэр{X^2} = 140\)
– \(\нийлбэр{Y^2} = 50428\)
– \(\нийлбэр{XY} = 2576\)
Эхлээд b-г тооцоолъё:
\[ b = \frac{10(2576) – (36)(704)}{10(140) – (36)^2} \]
\[ b = \frac{25760 – 25344}{1400 – 1296} \]
\[ b = \frac{416}{104} \]
\[ b = 4 \]
Дараа нь бид дараах тооцооллыг хийнэ:
\[ a = \frac{704 – 4(36)}{10} \]
\[ a = \frac{704 – 144}{10} \]
\[ a = \frac{560}{10} \]
\[ a = 56 \]
Тиймээс бидний олж авсан шугаман регрессийн загвар нь:
Y = 56 + 4X
2. Урьдчилан таамагласан утгыг (Y') тооцоол
Дараа нь бид \(X\) бүрийн хувьд таамагласан утгыг \(Y'\) тооцоолно:
| Оюутнууд | Суралцах цаг (X) | Шалгалтын оноо (Y) | Таамагласан оноо (Y') |
|——-|——————–|——————––|—————————-|
| 1 | 2 | 58 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 2 | 3 | 64 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 3 | 4 | 70 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 4 | 5 | 85 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 5 | 2 | 57 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 6 | 3 | 68 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 7 | 4 | 72 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 8 | 5 | 90 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 9 | 3 | 62 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 10 | 4 | 78 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
3. SSR болон SST-г тооцоолох
Дараа нь бид SSR болон SST-г тооцоолж \( R^2 \) гаргана.
SSR:
\[ SSR = \sum{(Y – Y')^2} \]
\[ SSR = (58 – 64)^2 + (64 – 68)^2 + (70 – 72)^2 + (85 – 76)^2 + (57 – 64)^2 + (68 – 68)^2 + (72 – 72)^2 + (90 – 76)^2 + (62 – 68)^2 + (78 – 72)^2 \]
\[ SSR = 36 + 16 + 4 + 81 + 49 + 0 + 0 + 196 + 36 + 36 \]
\[ SSR = 454 \]
SST:
\[ SST = \нийлбэр{(Y – \bar{Y})^2} \]
Хаана:
\[ \bar{Y} = \frac{\summ{Y}}{n} = \frac{704}{10} = 70.4 \]
\[ SST = (58 – 70.4)^2 + (64 – 70.4)^2 + (70 – 70.4)^2 + (85 – 70.4)^2 + (57 – 70.4)^2 + (68 – 70.4)^2 + (72 – 70.4)^2 + (90 – 70.4)^2 + (62 – 70.4)^2 + (78 – 70.4)^2 \]
\[ SST = 153.76 + 40.96 + 0.16 + 213.16 + 178.56 + 5.76 + 2.56 + 384.16 + 70.56 + 57.76 \]
\[ SST = 1107.44 \]
4. Тодорхойлолтын коэффициентийг тооцоолох нь \( R^2 \):
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
\[ R^2 = 1 – \frac{454}{1107.44} \]
\[ R^2 = 1 – 0.41 \]
\[ R^2 = 0.59 \]
Дүгнэлт
Дээрх тооцооллоос бид детерминанцийн коэффициентийг (R2 = 0.59) авсан. Энэ нь бидний бүтээсэн шугаман регрессийн загвар нь суралцах цаг дээр үндэслэн шалгалтын онооны хувьсах чанарын ойролцоогоор 59%-ийг тайлбарлаж чадна гэдгийг харуулж байна. Хувьсах чанарын үлдсэн 41% нь загварт ороогүй бусад хүчин зүйлээс үүдэлтэй байж болно.
Дээрх алхамууд болон тооцооллыг ойлгосноор бидний бүтээсэн регрессийн загвар нь өгөгдлийн бодит хувьсах чанарыг хэр сайн тайлбарлаж байгааг үнэлэхэд детерминация коэффициентийн ач холбогдлыг бид харж болно. Энэ нь статистикийн шинжилгээ болон өгөгдлийн загварчлалд маш хэрэгтэй хэрэгсэл юм.
