Тригонометрийн харьцааг ашиглах талаар авч үзсэн жишээ асуултууд tan θ
Тригонометр нь гурвалжингийн өнцөг болон өнцгийн функцийг судалдаг математикийн салбар юм. Тригонометрийн нэг чухал ойлголт бол синус (sin), косинус (cos), тангенс (tan) зэрэг өнцгийн тригонометрийн харьцаа юм. Энэ нийтлэлд бид tan θ гэж тэмдэглэгдсэн нэг өнцгийн θ тангенс дээр анхаарлаа хандуулах болно.
Тан θ-ийн тодорхойлолт
Тэгш өнцөгт гурвалжны θ өнцгийн тангенс нь θ өнцгийн эсрэг талын уртын θ өнцгийн зэргэлдээ талын урттай харьцуулсан харьцаа юм. Математикийн хувьд tan θ-г дараах байдлаар илэрхийлнэ:
\[ \tan \theta = \frac{\text{θ өнцгийн эсрэг тал}}{\text{θ өнцгийн зэргэлдээ тал}} \]
Энэ ойлголтыг илүү сайн ойлгохын тулд бид зарим жишээ бодлогуудыг авч үзэж, tan θ-ийн хэрэглээг хэлэлцэх болно.
Жишээ Асуулт 1: Tan θ-ийг тооцоолох
А цэг дээр θ өнцөгтэй тэгш өнцөгт гурвалжин өгөгдсөн бөгөөд θ өнцгийн эсрэг тал нь 3 см урттай, θ өнцгийн зэргэлдээ тал нь 4 см урттай байна. Тан θ-г тооцоол.
Шийдэл:
Дээрх асуудлуудаас бид дараах зүйлсийг мэдэж байна.
– θ өнцгийн эсрэг тал (эсрэг тал) = 3 см
– Өнцгийн зэргэлдээ тал θ = 4 см
tan θ-ийн тодорхойлолтыг ашиглан бид дараахийг тооцоолно:
\[ \tan \theta = \frac{\text{эсрэг}}{\text{зэргэлдээ}} \]
\[ \tan \theta = \frac{3}{4} \]
Тэгэхээр, бор θ = 0.75.
Геометрийн хувьд энэ нь гурвалжингийн θ өнцгийн хувьд эсрэг талын уртын зэргэлдээ талын урттай харьцуулсан харьцаа 0.75 гэсэн үг юм.
Жишээ 2: Хажуугийн уртыг тооцоолоход Tan θ-г ашиглах нь
Шат нь 30 градусын θ өнцгөөр хананд налагдаж байна. Шатны улнаас хана хүртэлх зай 5 метр байна. Шат хэр урт нь хананд налагдаж байна вэ?
Шийдэл:
Эхний алхамд бид tan θ-ийн тодорхойлолтыг эргэн санана:
\[ \tan \theta = \frac{\text{эсрэг}}{\text{зэргэлдээ}} \]
Энэ асуудлын хүрээнд:
– θ = 30 градус
– хажуугийн (шатны хөлнөөс хана хүртэлх зай) = 5 метр
– эсрэг талд (шатнаас хана хүртэлх өндөр) = ???
Бид эхлээд \text{эсрэгээр) гэж тооцоолно:
\[ \tan 30^\circ = \frac{\text{эсрэг}}{5} \]
Тригонометрийн хүснэгтээс бид дараах зүйлийг мэдэж байна.
\[ \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \]
Тэгэхээр:
\[ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\text{эсрэг}}{5} \]
Хоёр талыг 5-аар үржүүл:
\[ \text{эсрэг тал} = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \]
Эсрэг тал нь (шатнаас хана хүртэлх өндөр) нь:
\[ \frac{5\sqrt{3}}{3} \approx 2.89 \text{ метр} \]
Тэгэхээр шатны урт нь 5 метр юм.
Жишээ 3: Тан θ ашиглан өнцгийг тооцоолох
Цамхаг 12 метр урт сүүдрийг тусгадаг. Хэрэв цамхаг 8 метр өндөр бол нарны өргөлтийн өнцөг θ хэд вэ?
Шийдэл:
Энэ бодлогод бидэнд дараах өгөгдсөн:
– Цамхагийн өндөр (эсрэг талд) = 8 метр
– Сүүдрийн урт (зэргэлдээ) = 12 метр
Бид θ-г олохын тулд tan θ-ийн тодорхойлолтыг ашигладаг:
\[ \tan \theta = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \]
Одоо бид θ-г дараах тэгшитгэлээр оллоо:
\[ \theta = \tan^{-1} \left(\frac{2}{3}\right) \]
Урвуу тангентын утгыг тодорхойлохын тулд хүснэгт эсвэл тооны машиныг ашиглан бид дараах зүйлийг оллоо.
\[ \theta \approx 33.69^\circ \]
Тиймээс нарны өргөлтийн өнцөг нь ойролцоогоор 33.69 градус байна.
Жишээ 4: Тан θ-г бодит ертөнцийн хэрэгцээнд хэрэгжүүлэх нь
Машины дээгүүр 4 метрийн өндөрт байрлах шон дээр суурилуулсан гэрлийн тусгал суурилуулсан. Хэрэв та газраас 45 градусын өнцгөөр харагдахуйц дохио суурилуулахыг хүсвэл дохиог хэр хол харж болохыг тооцоол.
Шийдэл:
Асуултаас харахад энэ нь мэдэгдэж байна:
– Шонгийн өндөр (эсрэг талд) = 4 метр
– Өнцөг θ = 45 градус
Тан θ-ийн тодорхойлолтын дагуу:
\[ \tan 45^\circ = \frac{\text{эсрэг}}{\text{зэргэлдээ}} \]
Бид \(\tan 45^\circ = 1\) гэдгийг мэднэ, тиймээс:
\[ 1 = \frac{4}{\text{зэргэлдээ}} \]
Тэгэхээр:
\[ \text{adjacent} = 4 \text{ метр} \]
Тиймээс сиренийг харж болох хамгийн хол зай нь 4 метр юм.
Дүгнэлт
Дээрх жишээнүүдээс харахад θ өнцгийн тангенс (\(\tan \theta\)) нь маш хэрэгтэй ойлголт бөгөөд математикийн энгийн бодлогуудыг бодохоос эхлээд барилга байгууламж, навигаци гэх мэт өдөр тутмын хэрэгцээнд хэрэглэх хүртэл өргөн хүрээний практик хэрэглээтэй болохыг бид харж байна. Энэ ойлголтыг сайн ойлгох нь гурвалжингийн талуудын уртыг харьцуулахтай холбоотой янз бүрийн бодлогуудыг шийдвэрлэхэд тусална.
Ерөнхийдөө, тригонометрийн нэг хэсэг болох tan θ нь албан ёсны боловсролын чухал хичээл төдийгүй бодит амьдралын янз бүрийн талбарт маш хэрэгтэй хэрэгсэл юм. Энэ нийтлэлд tan θ-г холбогдох асуудлуудыг шийдвэрлэхэд хэрхэн ашиглах талаар тодорхой бөгөөд гүнзгий тоймыг өгөх болно гэж найдаж байна.
