Тойргийн секторуудын жишээ асуултууд болон хэлэлцүүлэг
Тойргийн секторууд нь математикийн чухал сэдэв бөгөөд шалгалт болон дадлагын асуултуудад байнга гардаг. Сектор гэдэг нь хоёр радиус болон тэдгээрийг холбосон нумаар хязгаарлагдсан тойргийн хэсэг юм. Энэ нийтлэлд бид ойлголтоо гүнзгийрүүлэхийн тулд тойргийн секторуудын хэд хэдэн жишээ бодлогыг дэлгэрэнгүй тайлбарын хамт авч үзэх болно.
Тойргийн секторын тодорхойлолт
Тойргийн сектор гэдэг нь хоёр радиус болон нэг нумаар хязгаарлагдсан тойргийн сектор юм. Секторын талбайг тойргийн нийт талбайн бутархайгаар тооцоолно. Секторыг тооцоолоход ашигладаг үндсэн томъёо нь дараах байдалтай байна.
– Шалгалтын талбай : \[L_шалгалт = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
– Нумын урт : \[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
Хаана:
– \( \theta \) нь секторын өнцгийн градусаар илэрхийлэгдсэн хэмжээ юм,
– \( r \) нь тойргийн радиус,
– \( \pi \) нь тогтмол утга (ойролцоогоор 3.14159).
Жишээ асуултууд болон хэлэлцүүлэг
Асуулт 1:
10 см радиустай тойрог ба 90° төвийн өнцөгтэй сектор өгөгдсөн. Секторын талбайг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг:
Энэ нь мэдэгдэж байна:
– \( r = 10 \) см
– \( \theta = 90^\circ \)
Бид салбарын талбайн томъёог ашигладаг:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[L_juring = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (10\text{ cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{4} \times \pi \times 100\text{ cm}^2\]
\[L_juring = 25\pi\text{ см}^2\]
Хэрэв \( \pi \)-г 3.14 гэж авбал:
\[L_juring = 25 \дахин 3.14\текст{ см}^2 = 78.5\текст{ см}^2\]
Тиймээс салбарын талбай нь 78.5 см² юм.
Асуулт 2:
Тойргийн секторын радиус 7 см, нумын урт 11 см байна. Секторын төвийн өнцгийг радианаар тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг:
Энэ нь мэдэгдэж байна:
– \( r = 7 \) см
– Нумын урт \( P_b = 11 \text{ см} \)
Бид нумын уртын томъёог ашиглан \( \theta \) өнцгийг олно:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
Биднээс өнцгийг радианаар олохыг хүссэн тул 360°-г \(2\pi\) радианаар солино:
\[P_b = \theta \удаа r\]
\[11 = \theta \7 дахин\]
\[\theta = \frac{11}{7}\]
\[\тета \апрокс 1.57 \текст{ рад}\]
Тэгэхээр секторын төвийн өнцөг нь 1.57 радиан байна.
Асуулт 3:
16 см радиустай тойрог нь 200 см² талбайтай сектортой. Секторын төв өнцгийг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг:
Энэ нь мэдэгдэж байна:
– \( r = 16 \) см
– \( L_juring = 200 \text{ см}^2 \)
Бид \( \theta \)-г олохын тулд секторын талбайн томъёог ашиглана:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times (16)^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times 256\]
\[200 = \frac{\theta \times 256 \times \pi}{360^\circ}\]
\[200 \удаа 360^\circ = \theta \удаа 256 \удаа 3.14\]
\[72000 = \тета \удаа 256 \удаа 3.14\]
\[72000 = \theta \804.64 дахин\]
\[\theta = \frac{72000}{804.64}\]
\[\тета \апрокс 89.45^\circ\]
Тиймээс секторын төвийн өнцөг нь ойролцоогоор 89.45° байна.
Асуулт 4:
12 см радиустай, 120° төвийн өнцөгтэй секторын нийт тойргийг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг:
Энэ нь мэдэгдэж байна:
– \( r = 12 \) см
– \( \theta = 120^\circ \)
Эхлээд бид нумын уртыг олно:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
\[P_b = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 12\]
\[P_b = \frac{1}{3} \удаа 2\pi \удаа 12\]
\[P_b = 8\pi\text{ см}\]
Дараа нь бид секторын тойргийг (нумын урт + хоёр радиус) тооцоолно:
\[K = 2r + P_b\]
\[K = 2 \удаа 12\текст{ см} + 8\пи\текст{ см}\]
\[K = 24\текст{ см} + 8\пи\текст{ см}\]
Хэрэв \( \pi \)-г 3.14 гэж авбал:
\[K = 24\текст{ см} + 8 \үргэлт 3.14\текст{ см}\]
\[K = 24\текст{ см} + 25.12\текст{ см}\]
\[K = 49.12\текст{ см}\]
Тэгэхээр секторын нийт тойрог 49.12 см байна.
Асуулт 5:
Хэрэв 18 см радиустай тойрог нь 45° өнцөг үүсгэдэг сектортой бол нумын урт болон секторын талбайг тодорхойлно уу.
Хэлэлцүүлэг:
Энэ нь мэдэгдэж байна:
– \( r = 18 \) см
– \( \theta = 45^\circ \)
1. Нуман урт:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
\[P_b = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 18\text{ cm}\]
\[P_b = \frac{1}{8} \удаа 36\pi\text{ см}\]
\[P_b = 4.5\pi\text{ см}\]
Хэрэв \( \pi \)-г 3.14 гэж авбал:
\[P_b = 4.5 \урт 3.14\текст{ см} \ойролцоогоор 14.13\текст{ см}\]
Тэгэхээр нумын урт нь ойролцоогоор 14.13 см юм.
2. Салбарын чиглэл:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[L_juring = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (18\text{ cm})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{8} \times \pi \times 324\text{ cm}^2\]
\[L_juring = 40.5\pi\text{ см}^2\]
Хэрэв \( \pi \)-г 3.14 гэж авбал:
\[L_juring = 40.5 \удаа 3.14\текст{ см}^2 \апрокс 127.17\текст{ см}^2\]
Тиймээс салбарын талбай ойролцоогоор 127.17 см² байна.
Дүгнэлт
Энэ нийтлэлд бид тойргийн сектор болон тэдгээрийн шийдлүүдийн талаарх хэд хэдэн жишээ бодлогыг хэлэлцсэн. Тойргийн секторыг ойлгохын мөн чанар нь секторын талбай болон нумын уртыг тооцоолох үндсэн томъёог эзэмшихэд оршино. Эдгээр томъёог янз бүрийн төрлийн бодлогод хэрхэн хэрэглэхийг байнга дадлагажуулж, ойлгох нь ижил төстэй бодлогуудыг бодох чадварыг сайжруулахад тусална гэж найдаж байна.
