Нумын урт ба секторын талбайн хоорондын хамаарлыг авч үзэх жишээ асуултууд
Геометрийн хичээл дээр, ялангуяа тойргийг судлахад бид нумын урт ба секторын талбай гэсэн ойлголтуудтай ихэвчлэн тулгардаг. Эдгээр хоёр ойлголт нь тойрогтой холбоотой янз бүрийн геометрийн үзэгдлийг ойлгоход чухал үүрэгтэй. Жишээ бодлого болон тэдгээрийн шийдлүүдийг өгөхөөс өмнө эхлээд эдгээр хоёр ойлголтыг тайлбарлая.
Нуман урт
Нумын урт гэдэг нь тойрог дээрх хоёр цэгийн хоорондох нумын дагуух зай юм. Тойргийн нумын уртыг тооцоолохын тулд бидэнд ихэвчлэн тойргийн радиус (r) болон нум радианаар дамжин өнгөрөх төвийн өнцөг (θ) хэрэгтэй. Нумын урт (s)-ийг тооцоолох томъёог дараах байдлаар бичиж болно:
\[ s = r \times \theta \]
Хэрэв төвийн өнцгийг градусаар өгвөл бид эхлээд үүнийг радиан болгон хөрвүүлэх ёстой:
\[ \theta_{радиан} = \theta_{градус} \удаа \frac{\pi}{180} \]
Салбарын хүрээ
Сектор гэдэг нь хоёр радиус болон тэдгээрийн хоорондох нумаар хязгаарлагдсан тойргийн нэг хэсэг юм. Секторын талбайг тооцоолохын тулд бид тойргийн радиус (r) болон төвийн өнцгийг (θ) ашиглана. Секторын талбайг (A) тооцоолох томъёо нь:
\[ A = \frac{1}{2} r^2 \удаа \theta \]
Нумын урттай адил төвийн өнцгийг градусаар хэмжвэл бид эхлээд үүнийг радиан болгон хөрвүүлэх ёстой.
Жишээ асуултууд болон хэлэлцүүлэг
Нумын урт ба секторын талбай гэсэн ойлголтыг тодруулахын тулд дараах жишээ асуултууд болон тэдгээрийн хэлэлцүүлгийг авч үзье.
Асуулт 1:
10 см радиустай, 60 градусын төвийн өнцөгтэй тойрог өгөгдсөн бол нумын урт болон өнцгөөр үүссэн секторын талбайг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг:
1. Нумын уртыг тооцоолох:
– Эхлээд бид өнцгийг градусаас радиан болгон хөрвүүлнэ:
\[ \theta = 60 \times \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{3} \, \text{radian} \]
– Нумын уртын томъёог ашиглан:
\[ s = r \times \theta \]
\[ s = 10 удаа \frac{\pi}{3} \]
\[ s = \frac{10\pi}{3} \, \text{cm} \]
2. Салбарын талбайг тооцоолох:
– Салбарын талбайн томъёог ашиглан:
\[ A = \frac{1}{2} r^2 \удаа \theta \]
\[ A = \frac{1}{2} \times 10^2 \times \frac{\pi}{3} \]
\[ A = \frac{1}{2} \times 100 \times \frac{\pi}{3} \]
\[ A = \frac{100\pi}{6} \]
\[ A = \frac{50\pi}{3} \, \text{cm}^2 \]
Тэгэхээр нумын урт нь \(\frac{10\pi}{3}\) см, секторын талбай нь \(\frac{50\pi}{3}\) см² байна.
Асуулт 2:
Тойрог нь 7 см радиустай бөгөөд төвийн өнцөг нь 2 радиан нумаар хязгаарлагддаг. Нумын урт болон тойргийн секторын талбайг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг:
1. Нумын уртыг тооцоолох:
– Төвийн өнцөг нь аль хэдийн радианаар хэмжигдсэн тул бид нумын уртын томъёог шууд ашиглаж болно:
\[ s = r \times \theta \]
\[ s = 7 \2-г үржүүлсэн \]
\[ s = 14 \, \text{cm} \]
2. Салбарын талбайг тооцоолох:
– Салбарын талбайн томъёог ашиглан:
\[ A = \frac{1}{2} r^2 \удаа \theta \]
\[ A = \frac{1}{2} \times 7^2 \times 2 \]
\[ A = \frac{1}{2} \удаа 49 \удаа 2 \]
\[ A = 49 \, \text{cm}^2 \]
Тэгэхээр нумын урт нь 14 см, секторын талбай нь 49 см² байна.
Асуулт 3:
12 см радиустай тойрог нь нумын урт нь 15 см сектортой. Төвийн өнцгийг градусаар болон секторын талбайг тодорхойлно уу.
Хэлэлцүүлэг:
1. Төвийн өнцгийг тодорхойлох:
– Нумын уртын томъёог ашиглан төвийн өнцгийг олно уу:
\[ s = r \times \theta \]
\[ 15\pi = 12 \удаа \тета \]
\[ \theta = \frac{15\pi}{12} \]
\[ \theta = \frac{5\pi}{4} \, \text{radian} \]
– Төвийн өнцгийг градус болгон хөрвүүлэх:
\[ \theta = \frac{5\pi}{4} \times \frac{180}{\pi} \]
\[ \theta = \frac{5 \удаа 180}{4} \]
\[ \theta = 225 \, \text{градус} \]
2. Салбарын талбайг тооцоолох:
– Салбарын талбайн томъёог ашиглан:
\[ A = \frac{1}{2} r^2 \удаа \theta \]
\[ A = \frac{1}{2} \times 12^2 \times \frac{5\pi}{4} \]
\[ A = \frac{1}{2} \times 144 \times \frac{5\pi}{4} \]
\[ A = 72 \удаа \frac{5\pi}{4} \]
\[ A = 90\pi \, \text{cm}^2 \]
Тэгэхээр, секторын төвийн өнцөг нь 225 градус, секторын талбай нь 90 см² байна.
Дүгнэлт
Нумын урт ба секторын талбайн хоорондын хамаарлыг ойлгохын тулд тойргийн үндсэн зарчмуудыг сайтар ойлгож, томъёог зөв ашиглах шаардлагатай. Дээрх дадлагын бодлогуудаас бид өнцгийн хувиргалтыг эзэмших, дугуй геометрийн хүрээнд томъёог шууд хэрэглэхийн ач холбогдлыг харж болно. Бодлогын хэлэлцүүлгийн алхам бүр нь томъёо хэрхэн ажилладаг, тэдгээрийг хэрхэн үр дүнтэй хэрэгжүүлэхийг ойлгоход тусалдаг.
Тайлбарласан үндсэн ойлголтуудыг үргэлжлүүлэн дадлагажуулж, ойлгосноор бид нумын урт болон секторын талбайтай холбоотой бодлогуудыг бодоход илүү чадварлаг болох бөгөөд энэ нь математикийн болон бусад шинжлэх ухааны янз бүрийн хэрэглээнд маш их хэрэгтэй болно.
