Танилцуулга, сэжектив болон бижектив функцүүдийн жишээ асуултууд ба хэлэлцүүлэг
Функцийн тодорхойлолт болон түүний математикт ашиг тус нь ихэвчлэн сонирхолтой хэлэлцүүлгийн сэдэв болдог. Энэ хүрээнд бид инъектив, сюръектив, бижектив функц гэх мэт нэр томьёотой байнга тааралддаг. Эдгээр гурван төрлийн функцийг ойлгох нь математикийн шинжилгээ болон тэдгээрийн компьютерийн шинжлэх ухаан, эдийн засаг, физик зэрэг янз бүрийн салбарт практик хэрэглээнд чухал ач холбогдолтой юм.
Тарилгын, сюръектив болон бижектив функцийг ойлгох нь
Жишээ асуултууд болон тэдгээрийн хэлэлцүүлгийг хэлэлцэхээс өмнө эхлээд гурван функцийн тодорхойлолтыг эргэн санацгаая.
1. Тарилгын функц (Нэг-Нэг функц): Хэрэв А домэйн дэх a1 ба a2 бүрийн хувьд f(a1) = f(a2) байвал f : A → B функцийг тарилгын функц гэж нэрлэдэг бөгөөд хэрэв a1 нь a2-той тэнцүү байх ёстой. Өөрөөр хэлбэл, тарилгын функц нь А домэйн дэх ялгаатай элементүүдийг B код домэйн дэх ялгаатай элементүүдтэй холбосон эсэхийг баталгаажуулдаг.
2. Субъектив функц (Функц руу шилжих): Хэрэв B кодомэйн дахь элемент бүр А домайнд өөртэй нь холбосон дор хаяж нэг элементтэй бол f : A → B функцийг субъектив гэж нэрлэдэг. Энэ тохиолдолд B кодомэйн нь "хоосон" элементгүй эсвэл А домайнаас эсрэг талгүй.
3. Бижектив функц (Нэг-Нэгийн харьцал): f : A → B функц нь инъекция болон сюръектив аль аль нь байвал бижектив гэж нэрлэгддэг. Энэ нь А домэйн дэх элемент бүр B кодомэйнд өвөрмөц аналогтой бөгөөд B кодомэйн дэх элемент бүр А домэйнд өвөрмөц аналогтой гэсэн үг юм.
Жишээ асуултууд болон хэлэлцүүлэг
Асуулт 1: Тарилгын функц
Асуулт:
f(x) = 2x + 3 гэж тодорхойлогдсон f : ℝ → ℝ функц өгөгдсөн. Энэ функц нь тарилгын функц болохыг батал.
Хэлэлцүүлэг:
Энэ функц нь инъекц болохыг батлахын тулд хэрэв f(a) = f(b) бол a = b гэдгийг харуулах хэрэгтэй.
f(a) = f(b) гэж үзье, бид дараахийг хэлнэ:
\[ 2a + 3 = 2b + 3 \]
Хоёр талаас 3-ыг хас:
\[ 2a = 2b \]
Хоёр талаас нь 2 хуваана уу:
\[ а = б \]
f(a) = f(b) нь a = b үүсгэдэг болохыг харуулсан тул f(x) = 2x + 3 функц нь тарилгын функц юм.
Асуулт 2: Субъектив функц
Асуулт:
g(x) = x^3 гэж тодорхойлогдсон g : ℝ → ℝ функц өгөгдсөн. Энэ функц нь сюръектив функц болохыг батал.
Хэлэлцүүлэг:
Энэ функц нь сюръектив болохыг батлахын тулд ℝ код домэйн дэх y элемент бүрийн хувьд g(x) = y байхаар ℝ домэйнд дор хаяж нэг x элемент байгааг харуулах хэрэгтэй.
y ∈ ℝ гэж үзье. Бид дараах байдалтай x-ийг олохыг хүсэж байна:
\[ x^3 = y \]
\( x = \sqrt[3]{y} \)-г авч үзье:
\[ g(\sqrt[3]{y}) = (\sqrt[3]{y})^3 = y \]
ℝ кодомэйн дахь y бүрийн хувьд бид \( x = \sqrt[3]{y} \) гэсэн x-ийг олж чаддаг тул g(x) = x^3 функц нь сюръектив функц байна.
Асуулт 3: Бижектив функцүүд
Асуулт:
h(x) = x – 1 гэж тодорхойлогддог h : ℝ → ℝ функц өгөгдсөн. Энэ функц нь бижектив болохыг батал.
Хэлэлцүүлэг:
Тарилга:
h(x) нь инъекц болохыг батлахын тулд хэрэв h(a) = h(b) бол a = b гэдгийг харуулах хэрэгтэй.
h(a) = h(b) гэж үзье:
\[ а – 1 = б – 1 \]
Хоёр талдаа 1-ийг нэмнэ үү:
\[ а = б \]
h(a) = h(b) нь a = b үүсгэдэг тул h(x) = x – 1 функц нь тарилгын функц юм.
Таамаглал:
h(x) нь сюръектив болохыг батлахын тулд ℝ код домэйн дэх y элемент бүрийн хувьд h(x) = y байхаар ℝ домэйнд дор хаяж нэг x элемент байгааг харуулах хэрэгтэй.
y ∈ ℝ гэж үзье. Бид дараах байдалтай x-ийг олохыг хүсэж байна:
\[ x – 1 = y \]
Хоёр талдаа 1-ийг нэмнэ үү:
\[ x = y + 1 \]
ℝ кодомэйн дахь y бүрийн хувьд x = y + 1 байх x-ийг олж болох тул h(x) = x – 1 функц нь сюръектив функц юм.
h(x) нь инъектив ба сюръектив тул h(x) нь бижектив функц юм.
Асуулт 4: Функцийн төрлийг тодорхойлох
Асуулт:
f(x) = 2x гэж тодорхойлогдсон ℕ → ℕ функц өгөгдсөн. f нь инъектив, сюръектив эсвэл биъектив функц эсэхийг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг:
Тарилга:
Энэ функц нь инъекц болохыг батлахын тулд хэрэв f(a) = f(b) бол a = b гэдгийг харуулах хэрэгтэй.
f(a) = f(b) гэж үзье:
\[ 2a = 2b \]
Хоёр талаас нь 2 хуваана уу:
\[ а = б \]
Тиймээс f(x) = 2x нь тарилгын функц юм.
Таамаглал:
Энэ функц нь сюръектив болохыг батлахын тулд ℕ кодомэйн дахь y элемент бүрийн хувьд f(x) = y байхаар ℕ домайнд дор хаяж нэг x элемент байгааг харуулах хэрэгтэй.
Гэхдээ кодомэйн нь ℕ (натурал тоо), харин f(x) = 2x нь зөвхөн тэгш тоог өгдөг гэдгийг анхаарна уу. y нь сондгой тоо гэж үзье, 2x = y байхаар ℕ дотор x байхгүй.
Тиймээс f(x) = 2x нь сюръектив функц биш юм.
f(x) нь сюръектив биш тул f(x) нь мөн биъектив биш юм.
Дээрх янз бүрийн жишээн дээр үндэслэн бид янз бүрийн функцийн тодорхойлолтоос функцийн төрлүүдийг (инжектив, сюръектив, бижектив) хэрхэн батлах, тодорхойлохыг харж болно. Эдгээр функцийг ойлгох нь математикийн олон тал болон түүний бодит хэрэглээнд чухал ач холбогдолтой юм.
