Биномиал тархалтын функцийг хэлэлцэх жишээ асуултууд
Биномиал тархалт нь амжилттай ба бүтэлгүйтэл гэсэн хоёр боломжит үр дүнтэй хэд хэдэн бие даасан туршилтаас бүрдэх туршилтын амжилтын тоог тодорхойлдог дискрет магадлалын тархалт юм. Туршилт бүрийг туршилт гэж нэрлэдэг бөгөөд биномын тархалтыг ихэвчлэн хэд хэдэн бие даасан туршилтын амжилтын тоо сонирхолтой нөхцөлд ашигладаг. Энэ нийтлэлд бид биномын тархалтын үндсэн ойлголтуудыг хэлэлцэж, жишээ, шийдлүүдийг өгөх болно.
Биномиал тархалтын функцийн үндсэн ойлголтууд
Жишээ асуултууд болон хэлэлцүүлэг рүү орохоосоо өмнө биномын тархалттай холбоотой зарим үндсэн ойлголтуудыг авч үзье.
1. Тодорхойлолт: Биномиал тархалтыг 'n' бие даасан туршилтуудын амжилтын нийлбэр гэж тодорхойлдог бөгөөд туршилт бүр хоёр боломжит үр дүнтэй байдаг: амжилт (p магадлалтай) эсвэл бүтэлгүйтэл (q = 1 – p магадлалтай).
2. Магадлалын функц: Биномиал тархалтын магадлалын функц нь:
\[
P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk}
\]
ди мана:
– \( P(X = k) \) нь n туршилтад k удаа амжилттай байх магадлал юм.
– \( \binom{n}{k} \) нь n-ийн хослол бөгөөд k гэж тодорхойлогддог бөгөөд \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \( p \) нь туршилт бүрийн амжилтын магадлал юм.
– \( (1-p) \) нь туршилт бүрийн бүтэлгүйтлийн магадлал юм.
3. Хүлээгдэж буй утга ба хэлбэлзэл:
– Биномиал тархалтын хүлээгдэж буй утга (дундаж) нь \( \mu = np \) байна.
– Биномиал тархалтын дисперс нь \( \sigma^2 = np(1-p) \) байна.
Одоо илүү гүнзгий ойлголт өгөхийн тулд эдгээр ойлголтуудыг жишээ бодлогод хэрэгжүүлье.
Жишээ асуулт 1: Биномын тархалтын үндсэн тооцоолол
Асуулт:
Компани электрон эд анги үйлдвэрлэдэг бөгөөд эд анги бүр чанарын шалгалтанд тэнцэх магадлал 0.95 байна. Хэрэв 10 эд анги үйлдвэрлэсэн бол яг 8 эд анги чанарын шалгалтанд тэнцэх магадлалыг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг:
Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бид биномын тархалтын томъёог ашиглаж болно. Эхлээд бид дараах параметрүүдийг тодорхойлно:
– \( n \) (нийт туршилтын тоо) = 10
– \( k \) (амжилтын тоо) = 8
– \( p \) (амжилтын магадлал) = 0.95
– \( q \) (алдаа гарах магадлал) = 1 – 0.95 = 0.05
Дараа нь эдгээр утгуудыг биномын тархалтын томъёонд орлуулна уу:
\[
P(X = 8) = \binom{10}{8} (0.95)^8 (0.05)^2
\]
Эхлээд \( \binom{10}{8} \) хослолыг тооцоолно уу:
\[
\binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \times 9 \times 8!}{8! \times 2!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45
\]
Дараа нь \( (0.95)^8 \) болон \( (0.05)^2 \) магадлалуудыг тооцоолно уу:
\[
(0.95)^8 \ойролцоогоор 0.6634
\]
\[
(0.05)^2 = 0.0025
\]
Эцэст нь эдгээр бүх утгыг үржүүлснээр дараах үр дүнд хүрнэ:
\[
P(X = 8) = 45 \0.6634 \0.0025 \0.0744-ийг дахин тооцоолно
\]
Тэгэхээр 10 бүрэлдэхүүн хэсгийн яг 8 нь чанарын шалгалтанд тэнцэх магадлал ойролцоогоор 0.0744 буюу 7.44% байна.
Жишээ асуулт 2: Хуримтлагдсан магадлал
Асуулт:
Одоо ч гэсэн ижил компанитай байгаа ч 10 бүрэлдэхүүн хэсгийн дор хаяж 9 нь чанарын шалгалтанд тэнцэх магадлалыг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг:
Энэ асуудлыг шийдэхийн тулд бид хуримтлагдсан магадлалыг тооцоолох хэрэгтэй. 10 бүрэлдэхүүн хэсгийн дор хаяж 9 нь шалгалтанд тэнцэх магадлал гэдэг нь бид \(P(X \geq 9) \)-г тооцоолж байгаа гэсэн үг бөгөөд үүнийг дараах байдлаар бичиж болно:
\[
P(X \geq 9) = P(X = 9) + P(X = 10)
\]
Биномиал тархалтын томъёог ашиглан:
\[
P(X = 9) = \binom{10}{9} (0.95)^9 (0.05)^1
\]
\[
P(X = 10) = \binom{10}{10} (0.95)^{10} (0.05)^0
\]
Эхлээд тохиолдол бүрийн хослолыг тооцоолно уу:
\[
\binom{10}{9} = \frac{10!}{9!(10-9)!} = 10
\]
\[
\binom{10}{10} = 1
\]
Дараа нь, \(P(X = 9) \) болон \(P(X = 10) \)-ийн магадлалыг тооцоолно уу:
\[
P(X = 9) = 10 удаа (0.95)^9 удаа 0.05
\]
\[
(0.95)^9 \ойролцоогоор 0.6302
\]
\[
P(X = 9) = 10 \0.6302 \0.05 \0.3151-ийг дахин тооцоолно
\]
\[
P(X = 10) = 1 \times (0.95)^{10} \times 1
\]
\[
(0.95)^{10} \ойролцоогоор 0.5987
\]
\[
P(X = 10) = 0.5987
\]
\(P(X \geq 9) \)-ийн нийт магадлал:
\[
P(X \geq 9) = 0.3151 + 0.5987 \ойролцоогоор 0.9138
\]
Тэгэхээр 10 бүрэлдэхүүн хэсгийн дор хаяж 9 нь чанарын шалгалтанд тэнцэх магадлал ойролцоогоор 0.9138 буюу 91.38% байна.
Жишээ асуулт 3: Хүлээгдэж буй утга ба хэлбэлзэл
Асуулт:
Үйлдвэрлэсэн 10 бүрэлдэхүүн хэсгээс чанарын шалгалтанд тэнцсэн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тооны хүлээгдэж буй утга ба дисперсийг тооцоол, тэнцэх магадлал 0.95 байна.
Хэлэлцүүлэг:
Дараах томъёог ашиглана уу:
– Хүлээгдэж буй утга (дундаж) \( \mu = np \)
– Дисперс \( \sigma^2 = np(1-p) \)
\(n = 10 \) болон \(p = 0.95 \) үед:
\[
\mu = 10 \үргэлжлэх 0.95 = 9.5
\]
\[
\sigma^2 = 10 \0.95-ыг 0.05-ыг 0.475-аар үржүүлнэ
\]
Тэгэхээр чанарын шалгалтанд тэнцсэн бүрэлдэхүүн хэсгүүдийн тооны хүлээгдэж буй утга нь 9.5, дисперс нь 0.475 байна.
Дүгнэлт
Дээрх гурван жишээ бодлогын тусламжтайгаар бид янз бүрийн нөхцөл байдалд биномын тархалтыг ашиглан магадлалыг хэрхэн тооцоолох талаар хэлэлцсэн: яг магадлалыг тооцоолох, хуримтлагдсан магадлалыг тооцоолох, хүлээгдэж буй утга ба дисперсийг тооцоолох. Бином тархалтын талаарх мэдлэг нь үйлдвэрлэл, анагаах ухааны судалгаа, нийгмийн статистик зэрэг янз бүрийн салбарт ашигтай бөгөөд хоёр боломжит үр дүнтэй давтан туршилтын үр дүнг шийдвэр гаргахад туслах зорилгоор шинжилж болно. Өгөгдсөн жишээ бодлого, хэлэлцүүлэг нь биномын тархалтын талаарх таны ойлголтыг улам гүнзгийрүүлэхэд тусална гэж найдаж байна.
