Хэвийн тархалтын талаарх хэлэлцүүлгийн асуултын жишээ
Гауссын тархалт гэгддэг хэвийн тархалт нь статистикт хамгийн түгээмэл хэрэглэгддэг магадлалын тархалт юм. Энэхүү тархалт нь тэгш хэмтэй хонх хэлбэртэй бөгөөд өгөгдөл нь дундаж утгын дагуу байрласан бөгөөд хэт туйлшралын (дундаж утгаас хол) магадлал бага байгааг харуулж байна.
Энэ нийтлэлд бид хэвийн тархалттай холбоотой янз бүрийн жишээ бодлогууд болон тэдгээрийг хэрхэн бодох талаар хэлэлцэх болно. Эхлээд зарим үндсэн ойлголтуудыг танилцуулж, дараа нь илүү төвөгтэй жишээнүүд рүү шилжих болно.
Хэвийн тархалтын үндэс
Хэвийн тархалт гэдэг нь дундаж ба стандарт хазайлт (SD) гэсэн хоёр параметртэй тасралтгүй тархалт юм. Дундаж нь тархалтын төвийг тодорхойлдог бол стандарт хазайлт нь тархалтын өргөнийг тодорхойлдог.
Хэвийн тархалтын чухал шинж чанарууд:
1. Тэгш хэм: Хэвийн тархалт нь дундажтай харьцуулахад тэгш хэмтэй байна.
2. Эмпирик дүрэм (Эмпирик дүрэм):
– Өгөгдлийн 68 орчим хувь нь дундаж утгын нэг стандарт хазайлтын хүрээнд байна.
– Өгөгдлийн ойролцоогоор 95% нь дундажаас хоёр стандарт хазайлтын дотор байна.
– Өгөгдлийн ойролцоогоор 99.7% нь дундажаас гурван стандарт хазайлтын дотор байна.
Жишээ асуултууд болон хэлэлцүүлэг
Жишээ асуулт 1: Z-оноог тооцоолох
Асуулт: Шалгалтын дундаж оноо 70, стандарт хазайлт нь 10 байна. Оюутан 80 оноо авдаг. Оюутны Z оноо хэд вэ?
Шийдэл:
Z-оноо нь утга нь дундаж утгаас хэдэн стандарт хазайлттай байгааг хэмждэг хэмжүүр юм.
Z-онооны томъёо:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
Хаана:
– \( X \) нь ажиглагдсан утга юм.
– \( \mu \) нь дундаж утга юм.
– \( \sigma \) нь стандарт хазайлт юм.
Энэ нь мэдэгдэж байна:
– \( X = 80 \)
– \( \mu = 70 \)
– \( \sigma = 10 \)
Томъёоны хэрэглээ:
\[ Z = \frac{80 – 70}{10} = 1 \]
Тэгэхээр оюутны Z оноо нь 1 бөгөөд энэ нь 80 оноо нь дунджаас нэг стандарт хазайлтаар дээгүүр байна гэсэн үг юм.
Жишээ асуулт 2: Тодорхой утгын магадлал
Асуулт: Дундаж утга нь 100, стандарт хазайлт нь 15 байх хэвийн тархалттай үед 85-аас доош утга олох магадлал хэд вэ?
Шийдэл:
Алхамууд:
1. \(X = 85 \) утгын Z-оноог тооцоол:
\[ Z = \frac{85 – 100}{15} = \frac{-15}{15} = -1 \]
2. Z-оноо -1 байх магадлалыг олохын тулд Z хүснэгт эсвэл статистикийн тооцоолуур ашиглана уу. Z хүснэгтэд Z-оноо -1 байх магадлал ойролцоогоор 0.1587 байна.
Тэгэхээр 85-аас доош утга олох магадлал 0.1587 буюу 15.87% байна.
Жишээ асуулт 3: Эмпирик дүрмийг ашиглах нь
Асуулт: Сургуулиудын математикийн шалгалтын онооны тархалт нь дундаж нь 75, стандарт хазайлт нь 8 гэсэн хэвийн тархалттай байдаг нь мэдэгдэж байна. Сурагчдын хэдэн хувь нь 67-83 хооронд оноо авсан бэ?
Шийдэл:
Лангка-лангка:
1. 67 ба 83 утгуудын Z-оноог тооцоолно уу:
\[ Z_{67} = \frac{67 – 75}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \]
\[ Z_{83} = \frac{83 – 75}{8} = \frac{8}{8} = 1 \]
2. Эмпирик дүрмийн дагуу дундаж утгаас -1 SD ба +1 SD хоорондох утга нь хүн амын 68% орчимд хүрдэг.
Тиймээс 67-83 оноо авсан оюутнуудын эзлэх хувь 68% орчим байв.
Жишээ асуулт 4: Хувьцаанаас утгыг тооцоолох
Асуулт: Хэрэв тухайн улсын насанд хүрсэн эрэгтэйчүүдийн дундаж өндөр нь 175 см, стандарт хазайлт нь 7 см бол 90 дэх хувьтай тэнцэх өндөр хэд вэ?
Шийдэл:
Лангка-лангка:
1. 90 дэх хувьтай харгалзах Z-оноог ол. Z-хүснэгтэд үндэслэн 0.9000-д хамгийн ойр Z-оноог ойролцоогоор 1.28 гэж үзнэ үү.
2. \(X\)-ийн утгыг тооцоолохын тулд томъёог ашиглана уу:
\[ X = \mu + Z \удаа \sigma \]
\[ X = 175 + 1.28 \7-г үржүүлнэ \]
\[ X = 175 + 8.96 \]
\[ X = 183.96 \]
Тэгэхээр 90 дэх хувьтай хүний өндөр нь ойролцоогоор 183.96 см байна.
Жишээ асуулт 5: Тодорхой интервалын магадлал
Асуулт: Нярайн жингийн тархалт нь дундаж жин 3.5 кг, стандарт хазайлт нь 0.5 кг хэвийн тархалтыг дагадаг тул нярай 3-4 кг жинтэй байх магадлал хэд вэ?
Шийдэл:
Лангка-лангка:
1. 3 кг ба 4 кг утгуудын Z-оноог тооцоолно уу:
\[ Z_{3} = \frac{3 – 3.5}{0.5} = \frac{-0.5}{0.5} = -1 \]
\[ Z_{4} = \frac{4 – 3.5}{0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1 \]
2. Z хүснэгтэд үндэслэсэн -1 ба 1-ийн хоорондох Z-онооны магадлал ойролцоогоор 0.6826 буюу 68.26% байна.
Тэгэхээр 3-4 кг жинтэй хүүхэд төрөх магадлал ойролцоогоор 68.26% байна.
Дүгнэлт
Хэвийн тархалт нь статистикийн үндсэн ойлголт бөгөөд маш чухал бөгөөд бодит ертөнцөд олон хэрэглээтэй байдаг. Энэ нийтлэлд бид хэвийн тархалтын үндсэн ойлголтуудыг тайлбарлаж, ойлголтоо гүнзгийрүүлэхийн тулд хэд хэдэн жишээг шийдсэн.
Хэвийн тархалтыг ойлгох нь зөвхөн статистикийн хувьд төдийгүй сэтгэл судлал, эдийн засаг болон бусад нийгмийн шинжлэх ухаан зэрэг янз бүрийн практик салбарт чухал ач холбогдолтой юм. Хангалттай дадлага хийснээр хэвийн тархалтын асуудлыг шийдвэрлэх нь илүү ойлгомжтой болж, өгөгдөлд суурилсан шийдвэр гаргахад тустай болно.
