Математикийн өргөтгөлийн хэлэлцүүлгийн асуултуудын жишээ
Тэлэлт буюу томруулах ба багасгахтай холбоотой хувиргалт нь хувиргалтын геометрийн чухал ойлголт юм. Энэ ойлголт нь хэв маяг, тэгш хэм болон бусад олон бодит амьдралын хэрэглээний судалгаа гэх мэт янз бүрийн нөхцөлд байнга гарч ирдэг. Энэ нийтлэлд математикийн тэлэлтийн тухай ойлголтыг авч үзэж, хэд хэдэн жишээ бодлого, шийдлийг өгөх болно.
Тэлэлт гэж юу вэ?
Тэлэлт гэдэг нь дүрсийг тодорхой хэмжээний хүчин зүйлээр томруулах эсвэл багасгах геометрийн хувиргалт юм. Тэлэлтийн үед геометрийн дүрс дээрх цэг нь тэлэлтийн төв цэгээс ижил хүчин зүйлээр холдох эсвэл ойртох болно. Тэлэлт нь томруулах (масштабын хүчин зүйл > 1), багасгах (0 < масштабын хүчин зүйл < 1), эсвэл масштабын хүчин зүйл сөрөг байвал дүрсийг тусгаж болно. Тэлэлтийн тэмдэглэгээ Тэлэлт хийх үед ихэвчлэн ашиглагддаг зарим тэмдэглэгээнд дараахь зүйлс орно: - Тэлэлтийн төв (P): Тэлэлтийн процесст лавлагаа болгон ашигладаг тогтмол цэг. - Масштабын хүчин зүйл (k): Хэр их томруулах эсвэл багасгахыг тодорхойлдог уртын харьцаа. Хэрэв \( k > 1 \) бол объект томрох болно. Хэрэв \( 0 < k < 1 \) бол объект багасна.
(x, y) координаттай А цэгийг k масштабын коэффициент болон O (0,0) дээр тэлэлтийн төвөөр A' цэг хүртэл тэлсэн гэж үзье, тэгвэл A' цэгийн координатууд нь (kx, ky) байна. Тэлэлтийн томъёо Цэгийн тэлэлтийн үр дүнгийн шинэ координатыг олохын тулд дараах томъёог ашиглана: \[ A' = (x', y') = (kx, ky) \] энд (x, y) нь цэгийн анхны координатууд бөгөөд k нь масштабын коэффициент юм. Жишээ асуултууд ба хэлэлцүүлгийн жишээ асуулт 1 A (2, 3) цэгийг 2 масштабын коэффициентоор тэлсэн бөгөөд тэлэлтийн төв нь O (0, 0) дээр байна. Тэлэлтийн дараах А цэгийн координатыг тодорхойлно уу. Хэлэлцүүлэг: А цэгийн координатууд нь (2, 3), масштабын коэффициент k = 2, тэлэлтийн төв нь O (0, 0) цэг байна. Тэлэлтийн томъёоны дагуу: \[ A' = (kx, ky) = (2 \cdot 2, 2 \cdot 3) = (4, 6) \] Тэгэхээр, тэлэлтийн дараах А цэгийн координатууд нь (4, 6) байна. Жишээ 2-р асуулт B (-1, 4) цэгийг 0,5 масштабын коэффициентоор тэлж, тэлэлтийн төв нь O (0, 0) цэг дээр байна. Тэлэлтийн дараах B цэгийн координатыг тодорхойл. Шийдэл: B цэгийн координатууд нь (-1, 4), масштабын коэффициент k = 0,5, тэлэлтийн төв нь O цэг (0, 0) байна. Тэлэлтийн томъёоны дагуу: \[ B' = (kx, ky) = (0,5 \cdot -1, 0,5 \cdot 4) = (-0,5, 2) \] Тэгэхээр, тэлэлтийн дараах B цэгийн координатууд нь (-0,5, 2) байна. Жишээ 3-р асуулт C (3, -2) цэгийг -1 масштабын коэффициентоор тэлж, тэлэлтийн төв нь O (0, 0) дээр байна. Тэлэлтийн дараах C цэгийн координатыг тодорхойлно уу. Шийдэл: C цэгийн координатууд нь (3, -2), масштабын коэффициент k = -1, тэлэлтийн төв нь O (0, 0) цэг дээр байна. Тэлэлтийн томъёоны дагуу: \[ C' = (kx, ky) = (-1 \cdot 3, -1 \cdot -2) = (-3, 2) \] Тиймээс, тэлэлтийн дараах C цэгийн координатууд нь (-3, 2) байна. Жишээ 4-р асуулт D (2, 5) цэгийг 3 масштабын коэффициентоор тэлж, тэлэлтийн төв нь P (1, 1) дээр байна. Тэлэлтийн дараах D цэгийн координатыг тодорхойлно уу. Хэлэлцүүлэг: D цэгийн координатууд нь (2, 5), масштабын хүчин зүйл k = 3, тэлэлтийн төв нь P цэг (1, 1) байна. Эхлээд бид D цэгийг тэлэлтийн төвийн P (1, 1) координатын систем рүү шилжүүлнэ: D цэгээс P цэг хүртэлх харьцангуй координатууд нь: \[ D_r = (2 - 1, 5 - 1) = (1, 4) \] D_r цэг дээр масштабын хүчин зүйл k-тай тэлэлтийн ажлыг гүйцэтгэнэ: \[ D_r' = (kx, ky) = (3 \cdot 1, 3 \cdot 4) = (3, 12) \] Эцэст нь бид D_r' цэгийг анхны координатын систем рүү буцаана: \[ D' = (D_r' + P) = (3 + 1, 12 + 1) = (4, 13) \] Тэгэхээр, тэлэлтийн дараах D цэгийн координатууд нь (4, 13) байна. Жишээ 5-р асуулт E (-2, -3) цэгийг 0,25 масштабын коэффициентоор тэлж, тэлэлтийн төв нь P (-1, -1) дээр байна. Тэлэлтийн дараах E цэгийн координатыг тодорхойл. Шийдэл: E цэгийн координатууд нь (-2, -3), масштабын коэффициент k = 0,25, тэлэлтийн төв нь P (-1, -1) цэг байна. Эхлээд бид E цэгийг тэлэлтийн төвийн координатын систем P (-1, -1) руу шилжүүлнэ: E цэгийн P хүртэлх харьцангуй координатууд нь: \[ E_r = (-2 - (-1), -3 - (-1)) = (-2 + 1, -3 + 1) = (-1, -2) \] E_r цэг дээр масштабын хүчин зүйл k-тай тэлэлтийн үйлдлийг гүйцэтгэнэ: \[ E_r' = (kx, ky) = (0,25 \cdot -1, 0,25 \cdot -2) = (-0,25, -0,5) \] Эцэст нь бид E_r' цэгийг анхны координатын систем рүү буцаана: \[ E' = (E_r' + P) = (-0,25 - 1, -0,5 - 1) = (-1,25, -1,5) \] Тиймээс тэлэлтийн дараах E цэгийн координатууд нь (-1,25, -1,5) байна. Дүгнэлт: Тэлэлт гэдэг нь геометрийн дүрсийг тодорхой хэмжээний хүчин зүйлээр томруулдаг эсвэл жижигрүүлдэг геометрийн хувиргалт юм. Тэлэлтийн тухай ойлголт болон хэрэглээг ойлгох нь судалгааны янз бүрийн салбарт, ялангуяа геометрт маш их хэрэгтэй байдаг. Жишээ, хэлэлцүүлгийн тусламжтайгаар энэ нь оюутнууд болон уншигчдад янз бүрийн математикийн нөхцөл байдалд тэлэлтийн тухай ойлголтыг илүү сайн ойлгож, хэрэгжүүлэхэд тусална гэж найдаж байна.