Комплекс тоонуудын талаарх жишээ асуултууд
Комплекс тоонууд нь ахлах сургууль болон коллежийн түвшинд математикийн хичээл дээр байнга гардаг сэдэв юм. Комплекс тоонууд нь хоёр хэсгээс бүрдэнэ: бодит хэсэг ба хуурмаг хэсэг. Уламжлалт тэмдэглэгээг ашиглан комплекс тоог \( z = a + bi \) гэж бичнэ, энд \( a \) ба \( b \) нь бодит тоонууд бөгөөд \( i \) нь \( i^2 = -1 \ шинж чанартай хуурмаг нэгж юм. Энэ нийтлэлд үндсэн үйлдлүүдээс эхлээд бодлого бодох хэрэглээ хүртэл комплекс тоонуудын талаарх хэд хэдэн жишээ болон тэдгээрийн хэлэлцүүлгийг авч үзэх болно.
Жишээ асуултууд болон хэлэлцүүлэг
1. Комплекс тоонуудыг нэмэх ба хасах
Асуулт 1
\( z_1 = 3 + 4i \) ба \( z_2 = 1 – 2i \) байг. \( z_1 + z_2 \) ба \( z_1 – z_2 \) -ийг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг
Комплекс тоонуудыг нэмэх эсвэл хасахын тулд бид зүгээр л бодит хэсгийг бодитоор, хуурмаг хэсгийг хуурмагаар ажиллуулдаг.
Нэмэлт:
\[
z_1 + z_2 = (3 + 4i) + (1 – 2i) = (3 + 1) + (4i – 2i) = 4 + 2i
\]
Хасах:
\[
z_1 – z_2 = (3 + 4i) – (1 – 2i) = (3 – 1) + (4i + 2i) = 2 + 6i
\]
Тэгэхээр, \( z_1 + z_2 = 4 + 2i \) ба \( z_1 – z_2 = 2 + 6i \).
2. Комплекс тоонуудыг үржүүлэх
Асуулт 2
\(z_1 = 2 + 3i \)-ийн үржвэрийг \(z_2 = 4 – i \)-ээр тооцоол.
Хэлэлцүүлэг
Хоёр комплекс тоог үржүүлэхийн тулд бид алгебрын тархалтын шинж чанарыг ашигладаг:
\[
z_1 \cdot z_2 = (2 + 3i)(4 – i)
\]
Бид бүрэлдэхүүн хэсэг бүрийг үржүүлнэ:
\[
2 \cdot 4 + 2 \cdot (-i) + 3i \cdot 4 + 3i \cdot (-i)
\]
\[
= 8 – 2i + 12i – 3i^2
\]
\(i^2 = -1 \) тул, тэгвэл:
\[
= 8 – 2i + 12i + 3 = 11 + 10i
\]
Тэгэхээр, \(z_1 \cdot z_2 \) үржвэр нь \(11 + 10i \) байна.
3. Комплекс тоонуудын хуваагдал
Асуулт 3
\(z_1 = 3 + 4i \)-ийн хуваагчийг \(z_2 = 1 – i \)-ээр тооцоол.
Хэлэлцүүлэг
Комплекс тоог хуваахын тулд бид хүртвэр болон хуваарийг уг комплекс тооны хуваарийн коньюгатаар үржүүлнэ. \( 1 – i \)-ийн коньюгат нь \( 1 + i \) байна.
\[
\frac{3 + 4i}{1 – i} \cdot \frac{1 + i}{1 + i} = \frac{(3 + 4i)(1 + i)}{(1 – i)(1 + i)}
\]
Эхлээд хуваарийг тооцоолъё:
\[
(1 – i)(1 + i) = 1 – i^2 = 1 – (-1) = 2
\]
Одоо бид тоон утгыг тооцоолно:
\[
(3 + 4i)(1 + i) = 3 + 3i + 4i + 4i^2 = 3 + 7i + 4(-1) = 3 + 7i – 4 = -1 + 7i
\]
Тэгэхээр, үр дүн нь:
\[
\frac{-1 + 7i}{2} = -\frac{1}{2} + \frac{7}{2}i
\]
4. Комплекс тооны модуль ба аргумент
Асуулт 4
\(z = 1 + i \)-ийн модуль болон аргументыг тодорхойл.
Хэлэлцүүлэг
Комплекс тооны \(z = a + bi \) модуль нь:
\[
|z| = \sqrt{a^2 + b^2}
\]
\(z = 1 + i \)-ийн хувьд бидэнд \(a = 1 \) болон \(b = 1 \) байна:
\[
|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}
\]
Комплекс тооны аргумент нь гарал үүслээс √(a, b)√) цэг хүртэл хэмжсэн эерэг бодит тэнхлэгтэй үүссэн √(\theta√) өнцөг юм.
\[
\theta = \tan^{-1}\left(\frac{b}{a}\right)
\]
\[
\theta = \tan^{-1}(1) = \frac{\pi}{4}
\]
Тэгэхээр, \(z = 1 + i \)-ийн модуль нь \( \sqrt{2} \) бөгөөд аргумент нь \( \frac{\pi}{4} \) байна.
5. Экспоненциал хэлбэр ба Эйлерийн хэв маяг
Асуулт 5
Комплекс тоог \( z = 1 + i \) экспоненциал хэлбэрт хөрвүүл.
Хэлэлцүүлэг
Эйлерийн томъёог ашиглан комплекс тоонуудын экспоненциал хэлбэр:
\[
z = re^{i\theta}
\]
энд \(r \) нь модуль, \(\theta \) нь аргумент юм. Өмнөх хэлэлцүүлгээс бид дараах зүйлийг мэдэж байна:
\[
r = \sqrt{2}, \quad \theta = \frac{\pi}{4}
\]
Тиймээс экспоненциал хэлбэр нь:
\[
z = \sqrt{2}e^{i\pi/4}
\]
6. Комплекс тооны язгуур
Асуулт 6
\(z = -1 \) комплекс тооны квадрат язгуурыг ол.
Хэлэлцүүлэг
Комплекс тоонуудын квадрат язгуурыг туйлшрал эсвэл экспоненциал хэлбэр ашиглан олж болно. Бид \(z = -1 \)-г экспоненциал хэлбэрт хөрвүүлнэ:
\[
z = -1 = e^{i\pi}
\]
\( e^{i\pi} \)-ийн квадрат язгуурыг дараах байдлаар бичиж болно:
\[
z_k = \sqrt{r} \cdot e^{i(\theta + 2k\pi)/n}
\]
\(r = 1 \), \(\theta = \pi \), \(n = 2 \), болон \(k = 0, 1 \) үед:
\[
z_0 = e^{i(\pi + 2 \cdot 0 \cdot \pi)/2} = e^{i\pi/2} = i
\]
\[
z_1 = e^{i(\pi + 2 \cdot 1 \cdot \pi)/2} = e^{i3\pi/2} = -i
\]
Тэгэхээр, \(-1 \)-ийн квадрат язгуур нь \(i \) ба \(-i \) байна.
7. Квадрат тэгшитгэлд хэрэглэх нь
Асуулт 7
z^2 + 4z + 13 = 0 ∗ квадрат тэгшитгэлийг бод.
Хэлэлцүүлэг
Бид квадрат томъёог ашиглаж болно:
\[
z = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 – 4ac}}{2a}
\]
\(z^2 + 4z + 13 = 0 \) тэгшитгэлийн хувьд:
\[
a = 1, b = 4, c = 13
\]
\[
z = \frac{-4 \pm \sqrt{16 – 52}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 \pm \sqrt{-36}}{2} = \frac{-4 \pm 6i}{2} = -2 \pm 3i
\]
Тэгэхээр, \(z^2 + 4z + 13 = 0 \)-ийн шийдлүүд нь \(z = -2 + 3i \) ба \(z = -2 – 3i \) байна.
Дүгнэлт
Комплекс тоонууд нь олон төрлийн хэрэглээтэй маш өргөн хүрээтэй математикийн ойлголт юм. Нэмэх, хасах, үржүүлэх, хуваах зэрэг үндсэн үйлдлүүдийг ойлгосноор, мөн модуль болон аргументыг хэрхэн тооцоолохыг ойлгосноор бид комплекс тоонуудтай холбоотой янз бүрийн бодлогуудыг бодож чадна. Дээрх жишээнүүд нь танд энэ сэдвийг илүү сайн ойлгож, эзэмшихэд тусална гэж найдаж байна.
