Дараалал ба цувааны талаарх жишээ асуултууд

Дараалал ба цувааны талаарх жишээ асуултууд

Дараалал ба цуваа нь бага сургуулиас коллеж хүртэл математикийн үндсэн ойлголтууд бөгөөд түгээмэл хэрэглэгддэг. Дараалал гэдэг нь тодорхой дүрмийн дагуу эрэмбэлэгдсэн тоонуудын цуглуулга бол цуваа гэдэг нь тухайн дарааллын гишүүдийн нийлбэр юм. Энэ нийтлэлд бид хэд хэдэн жишээ бодлогын талаар хэлэлцэж, дараалал ба цувааны талаар авч үзэх болно.

Жишээ 1: Арифметик дараалал

Асуулт:
Эхний гишүүн (a) = 3 ба ялгавар (d) = 5 байх арифметик дараалал өгөгдсөн. Дараахыг тодорхойлно уу:
1. Дарааллын 10 дахь гишүүн.
2. Дарааллын эхний 20 гишүүний нийлбэр.

Хэлэлцүүлэг:

1. 10 дахь улирал

Арифметик дарааллын n-р гишүүний томъёо нь:
\[
U_n = a + (n-1)d
\]

10 дахь улиралд (U_10):
\[
U_{10} = 3 + (10-1) \cdot 5 = 3 + 45 = 48
\]

2. Эхний 20 гишүүний нийлбэр

Арифметик дарааллын эхний n гишүүний нийлбэр (S_n)-ийн томъёо нь:
\[
S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)
\]

Эхний 20 гишүүний нийлбэр (S_20):
\[
S_{20} = \frac{20}{2} (2 \cdot 3 + (20-1) \cdot 5) = 10 (6 + 95) = 10 \cdot 101 = 1010
\]

Жишээ 2: Геометрийн цуваа

Асуулт:
Эхний гишүүн (a) = 4 ба харьцаа (r) = 2 байх геометрийн дараалал өгөгдсөн. Дараахыг тодорхойлно уу:
1. Дарааллын 6 дахь гишүүн.
2. Дарааллын эхний 8 гишүүний нийлбэр.

Хэлэлцүүлэг:

1. 6 дахь улирал

Геометрийн дарааллын n-р гишүүний томъёо нь:
\[
U_n = a \cdot r^{(n-1)}
\]

6 дахь улиралд (U_6):
\[
U_{6} = 4 \cdot 2^{(6-1)} = 4 \cdot 2^5 = 4 \cdot 32 = 128
\]

2. Эхний 8 гишүүний нийлбэр

Геометрийн дарааллын эхний n гишүүний нийлбэр (S_n)-ийн томъёо нь:
\[
S_n = a \frac{r^n – 1}{r – 1}
\]

Эхний 8 гишүүний нийлбэр (S_8):
\[
S_{8} = 4 \frac{2^8 – 1}{2 – 1} = 4 \frac{256 – 1}{1} = 4 \cdot 255 = 1020
\]

Жишээ 3: Конвергент геометрийн хязгааргүй цуваа

Асуулт:
Эхний гишүүн (a) = 1 ба харьцаа (r) = 1/2 байх геометрийн цуваа өгөгдсөн. Хязгааргүй цувааны нийлбэрийг тодорхойл.

Хэлэлцүүлэг:

Нийлмэл геометрийн цувааны хязгааргүй цувааны нийлбэр (S_∞) томъёо нь:
\[
S_{\infty} = \frac{a}{1 – r}
\]

Тэгэхээр энэ цувралын хувьд:
\[
S_{\infty} = \frac{1}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2
\]

Жишээ 4: Квадрат тооны дараалал ба цуваа

Асуулт:
Эхний гишүүн (U_1) = 1, хоёр дахь гишүүн (U_2) = 4, гурав дахь гишүүн (U_3) = 9 гэсэн квадрат тоонуудын дараалал өгөгдсөн. Дарааллын 5 дахь гишүүнийг тодорхойл. Энэ дараалал нь арифметик эсвэл геометрийн дараалал уу? Тайлбарлана уу.

Хэлэлцүүлэг:

1. 5 дахь улирал

Квадрат тооны дарааллын хэлбэр нь:
\[
U_n = n^2
\]

5 дахь улиралд (U_5):
\[
U_{5} = 5^2 = 25
\]

2. Шугамын төрөл

Энэ дараалал нь арифметик эсвэл геометрийн эсэхийг шалгахын тулд гишүүдийн хоорондох зөрүү (нийтлэг зөрүү) болон гишүүдийн хоорондох харьцааг шалгана уу:

– Нэр томьёоны ялгаа (d):
\[
U_2 – U_1 = 4 – 1 = 3 \\
U_3 – U_2 = 9 – 4 = 5
\]
Ялгаа нь тогтмол биш тул энэ дараалал нь арифметик биш юм.

– Овог хоорондын харьцаа (r):
\[
\frac{U_2}{U_1} = \frac{4}{1} = 4 \\
\frac{U_3}{U_2} = \frac{9}{4} = 2.25
\]
Гишүүдийн хоорондох харьцаа тогтмол биш тул энэ дараалал нь геометрийн шинж чанартай биш юм.

Тиймээс энэхүү квадрат тооны дараалал нь арифметик ч биш, геометрийн дараалал ч биш, харин квадрат тооны хэв маягийг дагадаг тусгай дараалал юм.

Жишээ 5: Хязгааргүй арифметик цуваа

Асуулт:
Хязгааргүй арифметик цувааны нийлбэрийг тооцоолох боломжтой юу? Хэрэв тийм бол жишээ өгнө үү. Хэрэв үгүй ​​бол яагаад гэдгийг тайлбарлана уу.

Хэлэлцүүлэг:

Геометрийн цуваанаас ялгаатай нь хязгааргүй арифметик цуваанууд нь ерөнхийдөө хязгаарлагдмал нийлбэртэй байдаггүй. Учир нь гишүүн бүр шугаман өсөх эсвэл буурах тул нийлбэр нь хязгааргүй өссөөр байдаг.

Жишээлбэл, эхний гишүүн 1 ба ерөнхий ялгавар 1 бүхий хязгааргүй арифметик цувааг авч үзье.
\[
1 + 2 + 3 + 4 + \ldots
\]

Хэрэв бид тэдгээрийг нэгтгэхийг оролдвол цуваа нь тогтмол утгад нэгдэхгүй, харин хязгааргүйд ойртох нь тодорхой болно. Тиймээс хязгааргүй арифметик цувааны нийлбэр нь ерөнхийдөө хязгааргүй бөгөөд нийлбэр геометрийн цуваа шиг тооцоолж болохгүй.

-

Энэ нийтлэлд бид хэд хэдэн жишээ бодлогыг авч үзэж, дараалал ба цувааны талаар хэлэлцсэн. Бид арифметик ба геометрийн дарааллыг хянаж, n-р гишүүн болон тэдгээрийн эхний гишүүдийн нийлбэрийг хэрхэн тооцоолохыг харж, хязгааргүй цувааны талаарх асуултуудад хариулсан. Эдгээр үндсэн ойлголт, жишээг ойлгосноор та математикийн хичээл дээр дараалал ба цувааг авч үзэхэд илүү итгэлтэй болно гэж найдаж байна.