Харилцан нийцэхгүй хоёр А ба В үйл явдлыг нэмэх дүрмийг авч үзэх жишээ асуултууд
Пендахулуан
Магадлалын онолын хувьд үндсэн ойлголтууд болон тэдгээрийн хэрэглээг ойлгох нь маш чухал юм. Байнга гарч ирдэг нэг ойлголт бол магадлалын нэмэх дүрэм юм. Энэ нийтлэлд бид хоёр онцгой бус үйл явдлын нэмэх дүрмийг илүү гүнзгий судлах болно. Хоёр үйл явдал боломжит элементийг хуваалцах үед, эсвэл өөрөөр хэлбэл хоёр үйл явдал нэгэн зэрэг тохиолдож болох үед онцгой бус үйл явдал үүсдэг. Ойлголтыг хөнгөвчлөхийн тулд жишээ бодлого болон түүний тайлбарыг авч үзье.
Үндсэн онол
Хэрэв бидэнд харилцан үгүйсгэхгүй хоёр А ба В үйл явдал байгаа бол А ба В үйл явдлын магадлалыг тооцоолох нэмэлт дүрмийг дараах байдлаар илэрхийлж болно.
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
Энд:
– \( P(A \cup B) \) нь A эсвэл B (эсвэл хоёулаа) тохиолдох магадлал юм.
– \( P(A) \) нь А үйл явдал тохиолдох магадлал юм.
– \( P(B) \) нь B үйл явдал тохиолдох магадлал юм.
– \( P(A \cap B) \) нь А ба В нэгэн зэрэг тохиолдох магадлал юм.
Бодлогын жишээ
Асуулт 1: Сургуульд сурагчдын 70% нь хөл бөмбөг тоглох дуртай (А үйл явдал), сурагчдын 40% нь сагсан бөмбөг тоглох дуртай (Б үйл явдал), сурагчдын 20% нь хоёр спортын аль алинд нь тоглох дуртай. Сурагч хөл бөмбөг эсвэл сагсан бөмбөг тоглох дуртай байх магадлал хэд вэ?
Хэлэлцүүлэг:
Энэ нь мэдэгдэж байна:
– \( P(A) = 0.70 \)
– \( P(B) = 0.40 \)
– \( P(A \cap B) = 0.20 \)
Хоёр харилцан үгүйсгэсэн үйл явдлыг нэмэх дүрмийг ашиглан:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
\[ P(A \аяга B) = 0.70 + 0.40 – 0.20 \]
\[ P(A \аяга B) = 0.90 \]
Тэгэхээр, оюутан хөл бөмбөг эсвэл сагсан бөмбөг тоглох дуртай байх магадлал 0.90 эсвэл 90% байна.
Асуулт 2: Судалгаанд оролцогчдын 35% нь кофенд (А үйл явдал), 50% нь цайнд (Б үйл явдал), 10% нь хоёуланд нь дуртай гэж хариулжээ. Судалгаанд оролцогч кофе эсвэл цайнд дуртай байх магадлал хэд вэ?
Хэлэлцүүлэг:
Энэ нь мэдэгдэж байна:
– \( P(A) = 0.35 \)
– \( P(B) = 0.50 \)
– \( P(A \cap B) = 0.10 \)
Хоёр харилцан үгүйсгэсэн үйл явдлыг нэмэх дүрмийг ашиглан:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
\[ P(A \аяга B) = 0.35 + 0.50 – 0.10 \]
\[ P(A \аяга B) = 0.75 \]
Тиймээс хариулагч кофе эсвэл цайнд дуртай байх магадлал 0.75 эсвэл 75% байна.
Асуулт 3: Статистик мэдээллээс харахад хүмүүсийн 60% нь ном унших дуртай (А үйл явдал), 30% нь кино үзэх дуртай (Б үйл явдал), 15% нь хоёуланг нь хийх дуртай байдаг. Тухайн хүн ном унших эсвэл кино үзэх дуртай байх магадлал хэд вэ?
Хэлэлцүүлэг:
Энэ нь мэдэгдэж байна:
– \( P(A) = 0.60 \)
– \( P(B) = 0.30 \)
– \( P(A \cap B) = 0.15 \)
Хоёр харилцан үгүйсгэсэн үйл явдлыг нэмэх дүрмийг ашиглан:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
\[ P(A \аяга B) = 0.60 + 0.30 – 0.15 \]
\[ P(A \аяга B) = 0.75 \]
Тэгэхээр хүн ном унших эсвэл кино үзэх дуртай байх магадлал 0.75 буюу 75% байна.
Асуулт 4: Ресторанд хийсэн судалгаагаар үйлчлүүлэгчдийн 55% нь пицца (А үйл явдал), 35% нь гоймон (Б үйл явдал), 20% нь хоёуланг нь захиалсан байна. Үйлчлүүлэгч пицца эсвэл гоймонгийн аль нэгийг захиалах магадлал хэд вэ?
Хэлэлцүүлэг:
Энэ нь мэдэгдэж байна:
– \( P(A) = 0.55 \)
– \( P(B) = 0.35 \)
– \( P(A \cap B) = 0.20 \)
Хоёр харилцан үгүйсгэсэн үйл явдлыг нэмэх дүрмийг ашиглан:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \]
\[ P(A \аяга B) = 0.55 + 0.35 – 0.20 \]
\[ P(A \аяга B) = 0.70 \]
Тэгэхээр үйлчлүүлэгч пицца эсвэл гоймон захиалах магадлал 0.70 эсвэл 70% байна.
Дүгнэлт
Магадлалыг судлахдаа нэг буюу хоёр үйл явдал нэгэн зэрэг тохиолдох магадлалыг тодорхойлоход хоёр онцгой бус А ба В үйл явдлыг нэмэх дүрэм маш чухал юм. \(P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cap B) \) томъёог ашиглан огтлолцол эсвэл нийтлэг элементтэй хоёр үйл явдлын хамтарсан магадлалыг тооцоолоход хялбар болгодог.
Дээрх жишээнүүдээс харахад энэхүү тооцооллын үндсэн алхмуудыг ойлгох нь боловсрол, судалгаа эсвэл өдөр тутмын амьдралд гэх мэт янз бүрийн нөхцөл байдалд хэрэгжүүлэх боломжийг олгодог болохыг бид харж болно. Магадлалыг зөв тооцоолоход ямар үйл явдлуудын элементүүдийг хуваалцаж байгааг тодорхой, нарийвчлалтайгаар таних нь чухал юм. Тиймээс тууштай дадлага хийх, үндсэн ойлголтуудыг ойлгох нь энэ сэдвийг эзэмшихэд ихээхэн тус болно.
