А ба В гэсэн хоёр онцгой үйл явдлыг нэмэх дүрмийг хэлэлцэх жишээ асуултууд
Магадлалын онолд хоёр үйл явдлын нийлбэрийн дүрэм нь олон үйл явдлын магадлалыг тооцоолоход ашигладаг үндсэн зарчмуудын нэг юм. Энэ ойлголтыг тодорхой үйл явдлын боломжит үр дүнг ойлгохын тулд янз бүрийн нөхцөл байдалд ихэвчлэн ашигладаг. Энэ нийтлэлд бид хоёр харилцан үгүйсгэсэн үйл явдлын нийлбэрийн дүрмийг авч үзэж, энэ ойлголтыг тодруулах жишээнүүдийг өгөх болно.
Харилцан үл хамаарах хоёр үйл явдлыг нэмэх дүрэм
Юуны өмнө, харилцан үгүйсгэдэг үйл явдлууд гэж юу гэсэн үг болохыг ойлгох нь чухал юм. Хоёр үйл явдал нэгэн зэрэг тохиолдож чадахгүй бол тэдгээрийг салангид эсвэл харилцан үгүйсгэдэг гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, нэг үйл явдлын олонлогийн аль ч элемент нь өөр үйл явдлын олонлогийн элемент биш юм.
Магадлалын нэмэх дүрэмд хэрэв \(A\) ба \(B\) хоёр үйл явдал харилцан үгүйсгэдэг бол \(A\) эсвэл \(B\) үйл явдлын аль нэгнийх нь магадлал нь хоёр үйл явдлын магадлалын нийлбэр гэж заасан байдаг. Математикийн хувьд энэ дүрмийг дараах байдлаар илэрхийлж болно:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]
энд \(P(A \cup B)\) нь \(A\) эсвэл \(B\-ийн магадлал, \(P(A)\) нь \(A\) үйл явдлын магадлал, \(P(B)\) нь \(B\) үйл явдлын магадлал юм.
Жишээ хэлэлцүүлгийн асуултууд
Хоёр харилцан үгүйсгэсэн үйл явдлыг нэмэх дүрмийг хэрхэн хэрэгжүүлэхийг тодруулахын тулд зарим жишээг авч үзье.
Жишээ асуулт 1
Асуулт:
Зургаан талт шоог нэг удаа шидсэн. Үр дүнгийн тоо 2 эсвэл 4 байх магадлалыг ол.
Хэлэлцүүлэг:
Бид \(A\) үйл явдлыг 2 утга тохиолдох, \(B\) үйл явдлыг 4 утга тохиолдох гэж тодорхойлж болно. Тиймээс:
– \(P(A)\) нь 2 утга гарч ирэх магадлал юм.
– \(P(B)\) нь 4 утга гарч ирэх магадлал юм.
Шоо нь ижил магадлалтай зургаан талтай тул тодорхой утгыг шидэх магадлал нь \( \frac{1}{6} \) байна. Тиймээс:
\[ P(A) = \frac{1}{6} \]
\[ P(B) = \frac{1}{6} \]
2 ба 4-р утгууд нь шооны нэг өнхрүүлэлтэд нэгэн зэрэг гарч ирэх боломжгүй тул \(A\) ба \(B\) үйл явдлууд нь харилцан үгүйсгэдэг. Тиймээс, харилцан үгүйсгэдэг хоёр үйл явдлын нэмэх дүрмийг ашиглан:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
Тэгэхээр гарч ирсэн утга 2 эсвэл 4 байх магадлал нь \( \frac{1}{3} \) буюу ойролцоогоор 33.33% байна.
Жишээ асуулт 2
Асуулт:
Уутанд 4 улаан, 6 цэнхэр бөмбөгөөс бүрдсэн 10 бөмбөг байна. Хэрэв бид санамсаргүй байдлаар нэг бөмбөг сонговол сугалагдсан бөмбөг улаан эсвэл цэнхэр байх магадлал хэд вэ?
Хэлэлцүүлэг:
Бид \(A\) үйл явдлыг улаан бөмбөгийг авах, \(B\) үйл явдлыг цэнхэр бөмбөгийг авах гэж тодорхойлж болно. Тиймээс:
– \(P(A)\) нь улаан бөмбөг сонгох магадлал юм.
– \(P(B)\) нь цэнхэр бөмбөг сонгох магадлал юм.
Үйл явдал бүрийн магадлалыг дараах байдлаар тооцоолж болно.
\[ P(A) = \frac{\text{Улаан бөмбөлөгний тоо}}{\text{Бөмбөгийн нийт тоо}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]
\[ P(B) = \frac{\text{Цэнхэр бөмбөлөгний тоо}}{\text{Бөмбөгний нийт тоо}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]
Бөмбөг нь улаан болон цэнхэр аль аль нь байж болохгүй тул \(A\) ба \(B\) үйл явдлууд нь харилцан үгүйсгэдэг. Тиймээс харилцан үгүйсгэдэг хоёр үйл явдлын нэмэх дүрмийг ашиглана уу:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = 1 \]
Тиймээс сугалагдсан бөмбөг улаан эсвэл цэнхэр байх магадлал 1 буюу 100% байна. Энэ нь утга учиртай, учир нь уутанд байгаа бүх бөмбөг улаан эсвэл цэнхэр өнгөтэй байна.
Жишээ асуулт 3
Асуулт:
20 сурагчтай ангид 7 нь математикт дуртай, 5 нь шинжлэх ухаанд дуртай, хоёуланд нь дуртай хүн байхгүй. Хэрэв нэг сурагчийг санамсаргүй байдлаар сонговол тухайн сурагч математик эсвэл шинжлэх ухааны аль нэгэнд дуртай байх магадлалыг ол.
Хэлэлцүүлэг:
Бид \(A\) үйл явдлыг математикт дуртай байх, \(B\) үйл явдлыг шинжлэх ухаанд дуртай байх гэж тодорхойлж болно. Тиймээс:
– \(P(A)\) нь сурагч математикт дуртай байх магадлал юм.
– \(P(B)\) нь оюутан шинжлэх ухаанд дуртай байх магадлал юм.
Үйл явдал бүрийн магадлалыг дараах байдлаар тооцоолж болно.
\[ P(A) = \frac{\text{Математикт дуртай оюутнуудын тоо}}{\text{Нийт оюутнуудын тоо}} = \frac{7}{20} \]
\[ P(B) = \frac{\text{Шинжлэх ухаанд дуртай оюутнуудын тоо}}{\text{Нийт оюутнуудын тоо}} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \]
\(A\) ба \(B\) үйл явдлууд нь харилцан үгүйсгэдэг, учир нь аль ч оюутан хоёуланг нь таалдаггүй. Тиймээс харилцан үгүйсгэдэг хоёр үйл явдлын нэмэх дүрмийг ашиглан:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{7}{20} + \frac{5}{20} = \frac{12}{20} = \frac{3}{5} \]
Тэгэхээр санамсаргүй байдлаар сонгогдсон оюутан математик эсвэл шинжлэх ухааны аль нэгэнд дуртай байх магадлал нь \( \frac{3}{5} \) буюу 60% байна.
Дүгнэлт
Хоёр харилцан үгүйсгэсэн үйл явдлын нэмэх дүрэм нь магадлалын онолын үндсэн ойлголт бөгөөд хамтарсан үйл явдлын магадлалыг тооцоолоход тусалдаг. Дээрх жишээнүүдээс бид энэ зарчмыг шоо шидэх, уутнаас бөмбөг сугалах, эсвэл ангиас сурагчдыг сонгох зэрэг бодит нөхцөл байдалд хэрэглэж болохыг харсан. Энэ ойлголтыг ойлгож, эзэмшсэнээр бид өдөр тутмын амьдрал дахь янз бүрийн харилцан үгүйсгэсэн үйл явдлын магадлалыг илүү үр дүнтэй тооцоолж чадна.
