Өгөгдлийн шинжилгээ болон боломжийн хэлэлцүүлгийн жишээ асуултууд
Өгөгдлийн шинжилгээ ба магадлал нь янз бүрийн салбаруудад, ялангуяа статистик, математик, эдийн засаг, зах зээлийн судалгаанд түгээмэл тохиолддог хоёр салбар юм. Энэ нийтлэлд бид эдгээр үндсэн ойлголтуудын талаарх ойлголтоо гүнзгийрүүлэхийн тулд өгөгдлийн шинжилгээ ба магадлалтай холбоотой хэд хэдэн жишээ асуудал, хэлэлцүүлгийг судлах болно.
1. Өгөгдлийн шинжилгээ: Оршил ба жишээ асуултууд
Өгөгдлийн шинжилгээ гэдэг нь ашигтай мэдээллийг олж илрүүлэх, дүгнэлт гаргах, шийдвэр гаргалтыг дэмжих зорилгоор өгөгдлийг шалгах, сонгох, хувиргах, загварчлах үйл явц юм. Ердийн алхмуудад өгөгдөл цуглуулах, өгөгдлийг цэвэрлэх, өгөгдлийг судлах (тайлбарласан статистик), цаашдын дүн шинжилгээ орно.
Жишээ асуулт 1: Дундаж ба стандарт хазайлтыг тодорхойлох
10 оюутны математикийн шалгалтын онооны талаарх дараах өгөгдлийг өгөв: 78, 82, 85, 88, 90, 75, 91, 74, 89, 86.
Өгөгдлийн дундаж ба стандарт хазайлтыг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг:
– Дундаж утга нь бүх өгөгдлийн нийлбэрийг ажиглалтын тоонд хуваасантай тэнцүү байна.
\[
\text{Дундаж} = \frac{78 + 82 + 85 + 88 + 90 + 75 + 91 + 74 + 89 + 86}{10} = \frac{838}{10} = 83.8
\]
– Стандарт хазайлтыг тооцоолохын тулд бид эхлээд дисперсийг тооцоолох хэрэгтэй. Дисперс гэдэг нь өгөгдлийн багц бүр болон дундажийн хоорондох квадрат зөрүүний дундаж юм.
\[
\text{Хувьсах} = \frac{(78-83.8)^2 + (82-83.8)^2 + (85-83.8)^2 + \cdots + (86-83.8)^2}{10}
\]
Дараа нь дисперсийг дараах байдлаар тооцоолно.
\[
\text{Хувьсах} = \frac{33.64 + 3.24 + 1.44 + 17.64 + 38.44 + 75.04 + 50.41 + 94.44 + 26.01 + 4.84}{10} = \frac{345.14}{10} = 34.514
\]
– Стандарт хазайлт нь дисперсийн квадрат язгуур юм.
\[
\text{Стандарт хазайлт} = \sqrt{34.514} ≈ 5.88
\]
Жишээ асуулт 2: Өгөгдлийн график
Сүүлийн 5 жилийн хотын хүн амын тоог дараах байдлаар (мянган хүнээр) үзүүлэв: 2016: 120, 2017: 125, 2018: 130, 2019: 135, 2020: 140.
Өгөгдлийг дүрслэхийн тулд шугаман график үүсгэ.
Хэлэлцүүлэг:
Шугаман график үүсгэхийн тулд бид дараах алхмуудыг хийж болно.
1. X ба Y тэнхлэгүүдийг тодорхойлно уу. X тэнхлэг нь жилүүдийг, Y тэнхлэг нь хүн амыг илэрхийлнэ.
2. Өгөгдсөн өгөгдөл дээр үндэслэн цэгүүдийг зурна уу:
– (2016, 120)
– (2017, 125)
– (2018, 130)
– (2019, 135)
– (2020, 140)
3. Цэгүүдийг шугамаар холбоно уу.
Үр дүнгийн график нь 2016-2020 онуудад хотын хүн амын өсөлтийн чиг хандлагыг харуулах болно.
2. Магадлал: Үндсэн ойлголтууд ба жишээ бодлого
Магадлал буюу магадлал гэдэг нь үйл явдал тохиолдох магадлалыг хэмждэг хэмжүүр юм. А үйл явдлын магадлалыг ихэвчлэн \( P(A) \) гэж илэрхийлдэг бөгөөд дараах байдлаар тооцоолно.
\[
P(A) = \frac{\text{Хүссэн үйл явдлын тоо}}{\text{Боломжит үйл явдлын нийт тоо}}
\]
Жишээ асуулт 3: Энгийн магадлал
Хөзрийн стандарт тавцангаас туз сугалах магадлал хэд вэ?
Хэлэлцүүлэг:
– Нэг багц тоглоомын хөзөрт 52 хөзөр байдаг.
– 4 ширхэг хөзрийн тамга байдаг (зүрх, очир алмааз, цохиур, хүрз).
– Ац зурах магадлал нь:
\[
P(\text{As}) = \frac{4}{52} = \frac{1}{13} \approx 0.0769 \text{ эсвэл } 7.69\%
\]
Жишээ асуулт 4: Дараалсан туршилтууд
Хоёр шоог нэгэн зэрэг шидэв. Хоёр шооны нийлбэр 7 байх магадлалыг тооцоол.
Хэлэлцүүлэг:
– Хоёр шооноос нийт 6×6=36 гэсэн үр дүн гарах боломжтой.
– Нийт 7 гэсэн хослолууд нь: (1,6), (2,5), (3,4), (4,3), (5,2), (6,1). Тиймээс 6 тохиолдол байна.
– Хоёр шооны нийлбэр 7 байх магадлал нь:
\[
P(\text{Нийт 7}) = \frac{6}{36} = \frac{1}{6} \approx 0.1667 \text{ эсвэл } 16.67\%
\]
Жишээ асуулт 5: Байесын дүрэм
1000 хүн тутмын 1 нь X өвчтэй байдаг гэж үзвэл. X өвчнийг илрүүлэх шинжилгээ нь 99% нарийвчлалтай байдаг (эерэг эсвэл сөрөг эсэхээс үл хамааран). Хэрэв хүн эерэг шинжилгээ өгвөл тэр хүн үнэхээр X өвчтэй байх магадлал хэд вэ? Шинжилгээ нь 95% мэдрэг, 98% өвөрмөц гэж үзье.
Хэлэлцүүлэг:
Жишээ нь:
– P(P) нь тухайн хүний шинжилгээний хариу эерэг гарах магадлал юм.
– P(D) нь тухайн хүн уг өвчинтэй байх магадлал юм.
– P(P|D) нь тухайн хүн уг өвчтэй бол шинжилгээний хариу эерэг гарах магадлал юм.
– P(D|P) нь тухайн хүний шинжилгээний хариу эерэг гарсан тохиолдолд уг өвчин тусах магадлал юм.
Байесын теоремын дагуу:
\[
P(D|P) = \frac{P(P|D) \cdot P(D)}{P(P)}
\]
Эхлээд P(P)-г тооцоол:
\[
P(P) = P(P|D) \cdot P(D) + P(P|D^c) \cdot P(D^c)
\]
\[
P(P) = 0.95 \cdot \frac{1}{1000} + 0.02 \cdot \frac{999}{1000} \approx 0.0211
\]
Одоо,
\[
P(D|P) = \frac{0.95 \cdot \frac{1}{1000}}{0.0211} ≈ 0.045 \text{ буюу 4.5%}
\]
Тиймээс, хэрэв хүний шинжилгээний хариу эерэг гарвал тэр хүн үнэхээр X өвчинтэй байх магадлал 4.5% орчим байдаг.
Дүгнэлт
Өгөгдлийн шинжилгээ болон магадлалын шинжилгээ нь судалгаа, эдийн засаг, эрүүл мэндийн үйлчилгээ зэрэг янз бүрийн салбарт зайлшгүй шаардлагатай хэрэгсэл юм. Тэдгээр хэрхэн ажилладагийг ойлгосноор бид илүү сайн таамаглал дэвшүүлж, илүү сайн шийдвэр гаргаж, эрсдэлийг удирдаж чадна. Эдгээр жишээ, хэлэлцүүлгээр дамжуулан бид өгөгдлийг хэрхэн шинжлэх, янз бүрийн үйл явдлын магадлалыг хэрхэн тооцоолж болохыг илүү сайн ойлгож авах болно. Энэхүү нийтлэл нь өгөгдлийн шинжилгээ болон магадлалын шинжилгээний талаарх бидний ойлголтыг гүнзгийрүүлэхэд тустай байсан гэж найдаж байна.
