А ба В хоёр онцгой үйл явдлыг нэмэх дүрэм
Магадлал болон статистикийн ертөнцөд хоёр үйл явдлын нийлбэрийн дүрэм гэх мэт үндсэн ойлголтуудыг байнга хэлэлцдэг. Ялангуяа хоёр харилцан үгүйсгэдэг үйл явдлын талаар хэлэлцэхдээ энэ дүрмийг янз бүрийн нөхцөлд бүрэн ойлгож, хэрэгжүүлэх чадвартай байх нь маш чухал юм. Энэ нийтлэлд А ба В харилцан үгүйсгэдэг хоёр үйл явдлын нийлбэрийн дүрмийг цогцоор нь авч үзэх бөгөөд үүнд энэхүү ойлголтыг тодруулах тодорхойлолт, томъёо, хэрэглээ болон тодорхой жишээнүүд орно.
Хоёр харилцан үгүйсгэсэн үйл явдлын тодорхойлолт
Нэмэлтийн дүрмийг цаашид авч үзэхээсээ өмнө бид эхлээд хоёр харилцан үгүйсгэдэг үйл явдал гэж юу гэсэн үг болохыг ойлгох хэрэгтэй. Хэрэв хоёр үйл явдал нэгэн зэрэг тохиолдож чадахгүй бол тэдгээрийг харилцан үгүйсгэдэг гэж нэрлэдэг. Өөрөөр хэлбэл, хэрэв А үйл явдал тохиолдвол В үйл явдал тохиолдож чадахгүй, мөн эсрэгээрээ. Математикийн хувьд үүнийг дараах тэгшитгэлээр илэрхийлнэ:
\[ P(A \cap B) = 0 \]
энд \(P(A \cap B) \) нь А ба В үйл явдлууд нэгэн зэрэг тохиолдох магадлал юм.
Харилцан үл хамаарах хоёр үйл явдлыг нэмэх дүрэм
Хэрэв А ба В нь харилцан үгүйсгэсэн хоёр үйл явдал бол нэмэх дүрэм нь А эсвэл В-ийн аль нэг нь тохиолдох магадлал нь үйл явдал бүрийн магадлалын нийлбэр гэж заадаг. Математикийн хувьд үүнийг дараах байдлаар бичнэ:
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]
Энд, \(P(A \cup B) \) нь А эсвэл В тохиолдох магадлал, \(P(A) \) нь А тохиолдох магадлал, \(P(B) \) нь В тохиолдох магадлал юм.
Нэмэлтийн дүрмийн нотолгоо
Үүнийг цааш нь ойлгохын тулд магадлалын үндсэн тодорхойлолтоос эхлэн энэ дүрмийг баталж үзье. Хэрэв А ба В нь салангид бол А ба В-ийн хооронд нийтлэг элемент байхгүй. Тиймээс \(A \cup B \) дэх элементийн тоо нь А дахь элементийн тоо дээр В дахь элементийн тоог нэмсэнтэй тэнцүү байна. Хэвийн хувьд, салангид хоёр үйл явдлын хувьд:
\[ n(A \cup B) = n(A) + n(B) \]
энд \(n(\cdot) \) нь олонлогийн элементүүдийн тоог илэрхийлнэ. \(n(S) \) хэмжээтэй S жишээ олонлогт үйл явдлын магадлал нь:
\[ P(A) = \frac{n(A)}{n(S)}, \quad P(B) = \frac{n(B)}{n(S)} \]
Тиймээс, \(A \cup B \)-ийн магадлал нь:
\[ P(A \cup B) = \frac{n(A \cup B)}{n(S)} = \frac{n(A) + n(B)}{n(S)} = \frac{n(A)}{n(S)} + \frac{n(B)}{n(S)} = P(A) + P(B) \]
Энэ нь харилцан үгүйсгэсэн хоёр үйл явдлыг нэмэх дүрмийг нотолж байна.
Энгийн тохиолдлын жишээ
Ойлгоход хялбар болгохын тулд энгийн жишээг авч үзье. Бидэнд шударга шоо байна гэж бодъё. А үйл явдал нь "2-ыг өнхрүүлэх", харин Б үйл явдал нь "4-ийг өнхрүүлэх" юм. Эдгээр үйл явдлууд нь харилцан үгүйсгэдэг, учир нь хэрэв бид 2-ыг өнхрүүлбэл 4-ийг нэгэн зэрэг өнхрүүлж чадахгүй бөгөөд эсрэгээрээ. Тиймээс үйл явдал бүрийн магадлал нь:
\[ P(A) = \frac{1}{6}, \quad P(B) = \frac{1}{6} \]
Нэмэх дүрмийг ашиглан 2 эсвэл 4 авах магадлал нь дараах байдалтай байна.
\[ P(A \cup B) = P(A) + P(B) = \frac{1}{6} + \frac{1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \]
Өдөр тутмын амьдрал дахь дэвшилтэт хэрэглээ
Хоёр харилцан үгүйсгэсэн үйл явдлыг нэмэх энэ дүрэм нь зөвхөн онолын хувьд ашигтай төдийгүй өдөр тутмын амьдралд өргөн хэрэглэгддэг. Зарим жишээг дурдвал:
1. Хөзрийн тоглоомууд: Покер эсвэл бридж гэх мэт тоглоомуудад янз бүрийн хөзрийн хослолын магадлалыг ойлгох нь хожих түлхүүр юм. Жишээлбэл, хэрэв та нэг хөзөр барьж байгаа бөгөөд тодорхой, магадлал багатай хөзөр авах магадлалыг мэдэхийг хүсвэл.
2. Бизнесийн шийдвэрүүд: Бизнесийн салбарт хөрөнгө оруулалтын эрсдэлийг үнэлэх эсвэл янз бүрийн маркетингийн стратегийн үр дүнг үнэлэх гэх мэт янз бүрийн шийдвэрүүдийг иймэрхүү магадлалын дүрмийг ашиглан илүү сайн ойлгож болно.
3. Шинжлэх ухаан ба инженерчлэл: Төрөл бүрийн шинжлэх ухааны туршилт эсвэл инженерчлэлийн процесст үйл явдлын магадлалыг ойлгож, хэрэгжүүлэх нь өгөгдлийн шинжилгээ, шийдвэр гаргахад тусалдаг.
Илүү төвөгтэй асуудлыг шийдвэрлэх
Олон тохиолдолд бидний судалж буй үйл явдлууд шууд харилцан үгүйсгэдэг юм шиг санагдахгүй байж магадгүй юм. Жишээлбэл, зарим тоглоом, даатгал, анагаах ухааны судалгаанд үйл явдлууд бие биедээ нөлөөлж байгаа эсэхийг бид цаашид судлах шаардлагатай. Хэрэв үйл явдлууд харилцан үгүйсгэдэггүй бол бид дээрх энгийн нэмэх дүрмийг ашиглаж болохгүй. Үүний оронд бид хамтарсан үйл явдлын магадлалыг илүү нарийн төвөгтэй аргаар тооцоолох ёстой. Гэсэн хэдий ч хоёр харилцан үгүйсгэдэг үйл явдлын нэмэх дүрмийг үндсэн ойлголттой байх нь чухал эхний алхам хэвээр байна.
Дүгнэлт
А ба В хоёр харилцан үгүйсгэдэг үйл явдлын нэмэх дүрмийг ойлгох нь магадлал болон статистикийн үндэс суурь юм. Энэхүү үндсэн дүрмийг ойлгоход хялбар төдийгүй өдөр тутмын амьдрал, бизнес, шинжлэх ухааны илүү төвөгтэй шийдвэрүүдийг шинжлэхэд тусалдаг. Энэхүү ойлголтыг үр дүнтэй ашиглах нь хүний аналитик чадварыг сайжруулж, янз бүрийн нөхцөлд илүү төвөгтэй магадлалыг илүү гүнзгий ойлгох замыг нээж өгдөг.
Эдгээр ойлголтуудыг сайтар ойлгосноор бид бат бөх суурьтай илүү төвөгтэй магадлалын сэдвүүд рүү шилжих боломжтой болж, улмаар магадлал болон статистикийн шинжилгээнд үндэслэн шийдвэр гаргах чадвараа бэхжүүлнэ.
