ອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນຕີໂກນມິຕິ
ໃນຄະນິດສາດຂັ້ນສູງ, ໂດຍສະເພາະແມ່ນແຄລຄູລັສ, ພວກເຮົາມັກຈະພົບກັບຟັງຊັນຕີໂກນມິຕິເຊັ່ນ: ຊິນ (sin), ໂຄໄຊນ໌ (cos), ເຊແຄນ (sec), ໂຄຊີແຄນ (csc), ສຳຜັດ (tan), ແລະ ໂຄສຳຜັດ (cot). ໃນສະພາບການນີ້, ການຮູ້ອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນເຫຼົ່ານີ້ແມ່ນມີຄວາມສຳຄັນຫຼາຍ, ໂດຍສະເພາະສຳລັບການນຳໃຊ້ໃນຟີຊິກ, ວິສະວະກຳ, ແລະ ວິທະຍາສາດຄອມພິວເຕີ. ບົດຄວາມນີ້ຈະລະບຸລາຍລະອຽດກ່ຽວກັບວິທີການກຳນົດອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນຕີໂກນມິຕິເຫຼົ່ານີ້.
ການແນະນຳກ່ຽວກັບອະນຸພັນ
ກ່ອນທີ່ຈະສົນທະນາກ່ຽວກັບອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນຕີໂກນມິຕິ, ໃຫ້ພວກເຮົາທົບທວນຄືນແນວຄວາມຄິດຂອງອະນຸພັນໂດຍຫຍໍ້. ອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນໃຫ້ອັດຕາການປ່ຽນແປງຂອງຟັງຊັນນັ້ນທຽບກັບຕົວແປເອກະລາດຂອງມັນ. ໃນແງ່ເລຂາຄະນິດ, ອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນ f(x) ທີ່ຈຸດ x ໃຫ້ຄວາມຊັນ ຫຼື ຄວາມຊັນຂອງເສັ້ນສຳຜັດກັບເສັ້ນໂຄ້ງ f(x) ທີ່ຈຸດນັ້ນ.
ໃນທາງຄະນິດສາດ, ອະນຸພັນອັນດັບໜຶ່ງຂອງຟັງຊັນ f(x) ຖືກນິຍາມດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້:
\[ f'(x) = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x + \Delta x) – f(x)}{\Delta x} \]
ຄຳນິຍາມນີ້ຍັງຄົງຄືເກົ່າສຳລັບຟັງຊັນຕີໂກນມິຕິ, ແຕ່ມັນຈະງ່າຍຂຶ້ນຖ້າພວກເຮົາຮູ້ອະນຸພັນພື້ນຖານຂອງຟັງຊັນຕີໂກນມິຕິພື້ນຖານ.
ອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນຕີໂກນມິຕິພື້ນຖານ
1. ອະນຸພັນໄຊນ໌ (sin x)
ຟັງຊັນໄຊນ໌ (sine) ແມ່ນໜຶ່ງໃນຟັງຊັນຕີໂກນມິຕິພື້ນຖານທີ່ສຸດ. ອະນຸພັນຂອງ sin x ແມ່ນ cos x. ນີ້ແມ່ນມາຈາກຂອບເຂດທີ່ແນ່ນອນ ແລະ ພຶດຊະຄະນິດດິບເຟີເຣັນຊຽລ.
\[ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x\]
ນັ້ນຄື, ຖ້າ f(x) = sin x, ແລ້ວ f'(x) = cos x.
2. ອະນຸພັນໂຄໄຊນ໌ (cos x)
ໂຄໄຊນ໌ ເປັນຟັງຊັນຕີໂກນມິຕິພື້ນຖານອີກອັນໜຶ່ງ. ອະນຸພັນຂອງ cos x ແມ່ນ -sin x.
\[ \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x\]
ນັ້ນຄື, ຖ້າ f(x) = cos x, ແລ້ວ f'(x) = -sin x.
3. ອະນຸພັນສຳຜັດ (ສີນ້ຳຕານ x)
ຟັງຊັນ tangent ແມ່ນອັດຕາສ່ວນຂອງ sin ແລະ cosine. ອະນຸພັນຂອງ tan x ແມ່ນ sec^2 x. ສິ່ງນີ້ສາມາດໄດ້ຮັບໂດຍໃຊ້ກົດອະນຸພັນສຳລັບຟັງຊັນປະກອບ (ລະບົບຕ່ອງໂສ້).
\[ \frac{d}{dx}(\tan x) = \ວິນາທີ^2 x \]
ນັ້ນຄື, ຖ້າ f(x) = tan x, ແລ້ວ f'(x) = sec² x.
4. ອະນຸພັນໂຄແທນເຈນ (cot x)
ໂຄແທນເຈນແມ່ນຄ່າປີ້ນກັບຂອງ tangent. ອະນຸພັນຂອງ cot x ແມ່ນ -csc² x.
\[ \frac{d}{dx}(\cot x) = -\csc^2 x \]
ນັ້ນຄື, ຖ້າ f(x) = cot x, ແລ້ວ f'(x) = -csc² x.
5. ອະນຸພັນຊີແຄນ (ວິນາທີ x)
ຟັງຊັນຊີແຄນແມ່ນຄ່າປີ້ນກັບຂອງໂຄຊິນ. ອະນຸພັນຂອງ sec x ແມ່ນ sec x tan x.
\[ \frac{d}{dx}(\ວິນາທີ x) = \ວິນາທີ x \tan x \]
ນັ້ນຄື, ຖ້າ f(x) = ວິນາທີ x, ແລ້ວ f'(x) = ວິນາທີ x tan x.
6. ອະນຸພັນໂຄເຊແຄນ (csc x)
ຟັງຊັນໂຄຊີແຄນແມ່ນຄ່າປີ້ນກັບຂອງໄຊນ໌. ອະນຸພັນຂອງ csc x ແມ່ນ -csc x cot x.
\[ \frac{d}{dx}(\csc x) = -\csc x \cot x \]
ນັ້ນຄື, ຖ້າ f(x) = csc x, ແລ້ວ f'(x) = -csc x cot x.
ການນຳໃຊ້ກົດລະບຽບອະນຸພັນກັບຟັງຊັນຕີໂກນມິຕິ
ເມື່ອພວກເຮົາຮູ້ຈັກອະນຸພັນພື້ນຖານຂອງຟັງຊັນຕີໂກນມິຕິແລ້ວ, ພວກເຮົາສາມາດຂະຫຍາຍໄປສູ່ການນຳໃຊ້ທີ່ສັບສົນຫຼາຍຂຶ້ນໂດຍໃຊ້ກົດອະນຸພັນເຊັ່ນ: ກົດລະບົບຕ່ອງໂສ້, ກົດຜົນຄູນ, ແລະ ກົດຜົນບວກ.
1. ກົດລະບົບຕ່ອງໂສ້
ກົດລະບົບຕ່ອງໂສ້ຖືກໃຊ້ເມື່ອພວກເຮົາມີຟັງຊັນທີ່ເປັນອົງປະກອບຂອງສອງຟັງຊັນຫຼືຫຼາຍກວ່ານັ້ນ. ຕົວຢ່າງຂອງການນຳໃຊ້ຂອງມັນ:
ຖ້າພວກເຮົາມີຟັງຊັນ \( g(x) = \sin(3x^2) \), ພວກເຮົາສາມາດໃຊ້ກົດລະບົບຕ່ອງໂສ້ເພື່ອຊອກຫາອະນຸພັນຂອງມັນໄດ້:
\[ g'(x) = \frac{d}{dx}[\sin(3x^2)] \]
\[ = \cos(3x^2) \cdot \frac{d}{dx}[3x^2] \]
\[ = \cos(3x^2) \cdot 6x \]
\[ = 6x cos(3x^2) \]
2. ກົດລະບຽບຜະລິດຕະພັນ
ກົດຜົນຄູນຖືກໃຊ້ເມື່ອພວກເຮົາມີຟັງຊັນທີ່ເປັນຜົນຄູນຂອງສອງຟັງຊັນຫຼືຫຼາຍກວ່ານັ້ນ. ຕົວຢ່າງຂອງການນຳໃຊ້ຂອງມັນ:
ຖ້າ \( h(x) = x^2 \sin(x) \), ໂດຍກົດເກນຜົນຄູນ:
\[ h'(x) = \frac{d}{dx}[x^2 \cdot \sin(x)] \]
\[ = x^2 \cdot \cos(x) + \sin(x) \cdot \frac{d}{dx}[x^2] \]
\[ = x^2 \cos(x) + \sin(x) \cdot 2x \]
\[ = x^2 \cos(x) + 2x \sin(x) \]
3. ກົດລະບຽບຕົວເລກ
ກົດຜົນບວກແມ່ນໃຊ້ເມື່ອພວກເຮົາມີຟັງຊັນທີ່ເປັນຜົນບວກຂອງສອງຟັງຊັນຫຼືຫຼາຍກວ່ານັ້ນ. ຕົວຢ່າງຂອງການນຳໃຊ້ຂອງມັນ:
ຖ້າ f(x) = sin(x) + cos(x) = ∑∑∑∑∑
\[ f'(x) = \frac{d}{dx}[ \sin(x) + \cos(x)] \]
\[ = \frac{d}{dx}[\sin(x)] + \frac{d}{dx}[\cos(x)] \]
\[ = \cos(x) + (-\sin(x)) \]
\[ = \cos(x) – \sin(x) \]
ຟັງຊັນຕີໂກນມິຕິແບບປີ້ນກັບກັນ ແລະ ອະນຸພັນຂອງມັນ
ນອກເໜືອໄປຈາກຟັງຊັນຕີໂກນມິຕິພື້ນຖານແລ້ວ, ພວກເຮົາຍັງມີຟັງຊັນຕີໂກນມິຕິແບບປີ້ນກັບເຊັ່ນ: sin^-1 x (arcsin x), cos^-1 x (arccos x), ແລະ tan^-1 x (arctan x). ອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນເຫຼົ່ານີ້ຍັງມີຄວາມສຳຄັນໃນການນຳໃຊ້ແຄລຄູລັສ.
ບົດຄວາມໃນໝວດ:
- ອະນຸພັນຂອງ arcsin x:
\[ \frac{d}{dx}(\arcsin x) = \frac{1}{\sqrt{1 – x^2}} \]
- ອະນຸພັນຂອງ arccos x:
\[ \frac{d}{dx}(\arccos x) = -\frac{1}{\sqrt{1 – x^2}} \]
- ອະນຸພັນຂອງ arctan x:
\[ \frac{d}{dx}(\arctan x) = \frac{1}{1 + x^2} \]
ສະຫຼຸບ
ການຮຽນຮູ້ອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນຕີໂກນມິຕິແມ່ນຂັ້ນຕອນພື້ນຖານໃນແຄລຄູລັສ. ອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນພື້ນຖານເຊັ່ນ: sin, cos, tan, cot, sec, ແລະ csc ໃຫ້ພື້ນຖານທີ່ແຂງແກ່ນສຳລັບການວິເຄາະ ແລະ ແກ້ໄຂບັນຫາທີ່ສັບສົນຫຼາຍຂຶ້ນໃນຫຼາຍໆສາຂາວິຊາ. ນອກຈາກນັ້ນ, ຄວາມເຂົ້າໃຈກ່ຽວກັບກົດລະບົບຕ່ອງໂສ້, ກົດຜົນຄູນ, ແລະ ກົດຜົນລວມຊ່ວຍໃຫ້ພວກເຮົາຈັດການກັບອະນຸພັນຂອງຟັງຊັນທີ່ສັບສົນຫຼາຍຂຶ້ນ. ຄວາມຮູ້ນີ້ແມ່ນມີຄຸນຄ່າຫຼາຍໃນການນຳໃຊ້ຕົວຈິງ ແລະ ທິດສະດີຫຼາຍຢ່າງ, ລວມທັງຟີຊິກ, ວິສະວະກຳ, ແລະ ວິທະຍາສາດຄອມພິວເຕີ.
