ຄ່າທີ່ຄາດໄວ້ຂອງການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມ
ການແຈກຢາຍແບບໄບໂນມຽວແມ່ນໜຶ່ງໃນການແຈກຢາຍຄວາມເປັນໄປໄດ້ແບບບໍ່ຕໍ່ເນື່ອງທີ່ພົບເລື້ອຍທີ່ສຸດໃນສະຖິຕິ ແລະ ຄວາມເປັນໄປໄດ້. ການແຈກຢາຍນີ້ອະທິບາຍເຖິງຈຳນວນຄວາມສຳເລັດໃນຊຸດການທົດລອງແບບໄບໂນມຽວທີ່ເປັນອິດສະຫຼະ (ການທົດລອງທີ່ມີພຽງສອງຜົນໄດ້ຮັບຄື: ຄວາມສຳເລັດ ຫຼື ຄວາມລົ້ມເຫຼວ). ເພື່ອເຂົ້າໃຈການແຈກຢາຍແບບໄບໂນມຽວໃຫ້ດີຂຶ້ນ, ມັນເປັນສິ່ງສຳຄັນທີ່ຈະຕ້ອງເຂົ້າໃຈແນວຄວາມຄິດຂອງຄ່າທີ່ຄາດໄວ້, ເຊິ່ງອະທິບາຍເຖິງຄ່າສະເລ່ຍຂອງການທົດລອງທີ່ເຮັດຊ້ຳໃນໄລຍະຍາວ. ບົດຄວາມນີ້ຈະທົບທວນແນວຄວາມຄິດຂອງຄ່າທີ່ຄາດໄວ້ໃນສະພາບການຂອງການແຈກຢາຍແບບໄບໂນມຽວ.
ຄໍານິຍາມຂອງການແຈກຢາຍແບບ Binomial
ການແຈກຢາຍແບບທະວິໂນມຽວເກີດຂຶ້ນໃນສະພາບການທີ່ພວກເຮົາດຳເນີນການທົດລອງທີ່ຄືກັນ ແລະ ເປັນອິດສະຫຼະຈຳນວນໜຶ່ງ, ແລະ ແຕ່ລະການທົດລອງມີສອງຜົນໄດ້ຮັບທີ່ແຕກຕ່າງກັນ, ໂດຍປົກກະຕິແລ້ວເອີ້ນວ່າ "ຄວາມສຳເລັດ" ແລະ "ຄວາມລົ້ມເຫຼວ." ຕົວຢ່າງ, ການໂຍນຫຼຽນ (ຫົວ ຫຼື ຫາງ), ການຕອບຄຳຖາມການສອບເສັງ (ຖືກ ຫຼື ຜິດ), ຫຼື ການທົດລອງທາງການແພດ (ປິ່ນປົວ ຫຼື ບໍ່ປິ່ນປົວ).
ການແຈກຢາຍແບບ binomial ຖືກກຳນົດໂດຍສອງພາລາມິເຕີ:
- n, ຈຳນວນການທົດລອງ.
- p, ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງຄວາມສຳເລັດໃນແຕ່ລະການທົດລອງ.
ໂດຍຫຍໍ້, ຖ້າ X ເປັນຕົວແປແບບສຸ່ມທີ່ສະແດງເຖິງຈຳນວນຄວາມສຳເລັດໃນການທົດລອງ n ຄັ້ງ, ຫຼັງຈາກນັ້ນ X ຈະປະຕິບັດຕາມການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມທີ່ມີພາລາມິເຕີ n ແລະ p, ສະແດງເປັນ X ~ Binomial(n, p).
ຟັງຊັນຄວາມເປັນໄປໄດ້
ຟັງຊັນຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມແມ່ນດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]
ຢູ່ໃສ:
- \( \binom{n}{k} \) ແມ່ນສຳປະສິດສອງນາມ, ເຊິ່ງຄິດໄລ່ໄດ້ເປັນ \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \( k \) ແມ່ນຈຳນວນຄວາມສຳເລັດທີ່ຕ້ອງການ.
– \( n \) ແມ່ນຈຳນວນການທົດລອງ.
-\( p\) ແມ່ນຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງຄວາມສຳເລັດໃນແຕ່ລະການທົດລອງ.
– \( (1-p) \) ແມ່ນຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງຄວາມລົ້ມເຫຼວໃນແຕ່ລະການທົດລອງ.
ມູນຄ່າທີ່ຄາດໄວ້
ຄ່າທີ່ຄາດໄວ້ ຫຼື ຄ່າສະເລ່ຍຂອງການແຈກຢາຍຄວາມເປັນໄປໄດ້ແມ່ນໜຶ່ງໃນມາດຕະການທີ່ສຳຄັນທີ່ສຸດຂອງສະຖານທີ່ສູນກາງ. ສຳລັບການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມ, ຄ່າທີ່ຄາດໄວ້ຂອງຕົວແປແບບສຸ່ມ X ທີ່ຕາມຫຼັງ Binomial(n, p) ແມ່ນ:
\[ E(X) = np \]
ຫຼັກຖານສະແດງມູນຄ່າທີ່ຄາດໄວ້
ເພື່ອເຂົ້າໃຈວ່າເປັນຫຍັງຄ່າທີ່ຄາດຫວັງຂອງການແຈກຢາຍແບບໄບໂນມຽວຈຶ່ງເປັນ np, ພວກເຮົາສາມາດໃຊ້ຄຸນສົມບັດຄວາມເປັນເສັ້ນຊື່ຂອງຄ່າທີ່ຄາດຫວັງ ແລະ ເບິ່ງວ່າຕົວແປໄບນາຣີລວມເຂົ້າກັບການປະກອບສ່ວນຂອງພວກມັນແນວໃດ.
ໃຫ້ພວກເຮົານິຍາມ \(X\) ເປັນຈຳນວນຄວາມສຳເລັດໃນການທົດລອງແບບໄບນາຣີ n ຄັ້ງ. ໂດຍສະເພາະ, ໃຫ້ \(X_i\) ເປັນຕົວແປແບບສຸ່ມທີ່ສະແດງຜົນຂອງການທົດລອງຄັ້ງທີ i, ໂດຍ \(X_i = 1\) ຖ້າການທົດລອງຄັ້ງທີ i ປະສົບຜົນສຳເລັດ, ແລະ \(X_i = 0\) ຖ້າມັນເປັນຄວາມລົ້ມເຫຼວ. ຫຼັງຈາກນັ້ນ, ພວກເຮົາສາມາດຂຽນ \(X\) ໄດ້ດັ່ງນີ້:
\[ X = X_1 + X_2 + \dot + X_n \]
ເນື່ອງຈາກແຕ່ລະ \(X_i\) ເປັນຕົວແປຖານສອງທີ່ມີຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງຄວາມສຳເລັດ p, ຄ່າທີ່ຄາດຫວັງຂອງ \(X_i\) ແມ່ນ:
\[ E(X_i) = 1 \cdot p + 0 \cdot (1-p) = p \]
ພວກເຮົາສາມາດໃຊ້ຄຸນສົມບັດຄວາມເປັນເສັ້ນຊື່ຂອງຄ່າທີ່ຄາດຫວັງໄວ້ສຳລັບຄ່າທີ່ຄາດຫວັງໄວ້ຂອງ X:
\[ E(X) = E(X_1 + X_2 + \dot + X_n) \]
\[ E(X) = E(X_1) + E(X_2) + \ຈຸດ + E(X_n) \]
\[ E(X) = p + p + \dots + p \]
\[ E(X) = np \]
ນີ້ສະແດງໃຫ້ເຫັນວ່າຄ່າທີ່ຄາດຫວັງຂອງການແຈກຢາຍແບບ binomial ແມ່ນ np.
ຕົວຢ່າງຕົວຢ່າງ
ລອງພິຈາລະນາກໍລະນີທີ່ພວກເຮົາພິກຫຼຽນ 10 ເທື່ອ. ລອງຖາມເບິ່ງວ່າຄ່າທີ່ຄາດຫວັງຂອງຈຳນວນຄັ້ງທີ່ພິກທີ່ເຮັດໃຫ້ໄດ້ຫົວຈະເປັນເທົ່າໃດ.
ໃນກໍລະນີນີ້:
- n = 10 (ຈຳນວນການໂຍນຫຼຽນ)
- p = 0.5 (ຄວາມເປັນໄປໄດ້ຂອງການໄດ້ຫົວ, ເນື່ອງຈາກວ່າຫຼຽນແມ່ນຍຸດຕິທຳ)
ດັ່ງນັ້ນ, ຄ່າທີ່ຄາດໄວ້ແມ່ນ:
\[ E(X) = np = 10 \ຄູນ 0.5 = 5 \]
ນີ້ໝາຍຄວາມວ່າ ຖ້າພວກເຮົາພິກຫຼຽນ 10 ເທື່ອຊ້ຳໆໃນໄລຍະຍາວ, ໂດຍສະເລ່ຍແລ້ວພວກເຮົາຈະໄດ້ຫົວ 5 ເທື່ອ.
ຄວາມແปรປ່ວນ ແລະ ຄວາມຜັນຜວນມາດຕະຖານ
ນອກເໜືອໄປຈາກຄ່າທີ່ຄາດໄວ້ແລ້ວ, ມັນຍັງມີຄວາມສຳຄັນທີ່ຈະຕ້ອງເຂົ້າໃຈຄວາມແปรປ່ວນ ແລະ ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານຂອງການແຈກຢາຍແບບທະວິນາມ.
ສຳລັບການແຈກຢາຍແບບທະວິໂນມຽວ, ຄ່າຄວາມແปรປ່ວນ \( \sigma^2 \) ແລະ ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານ \( \sigma \) ມີດັ່ງນີ້:
\[ \sigma^2 = np(1-p) \]
\[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} \]
ຄວາມແปรປ່ວນວັດແທກວ່າຂໍ້ມູນກະຈາຍອອກໄປໄກເທົ່າໃດຈາກຄ່າທີ່ຄາດໄວ້. ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານແມ່ນຮາກຂັ້ນສອງຂອງຄວາມແปรປ່ວນ ແລະ ຍັງວັດແທກການແຜ່ກະຈາຍຂອງຂໍ້ມູນ, ແຕ່ຢູ່ໃນຫົວໜ່ວຍດຽວກັນກັບຂໍ້ມູນຕົ້ນສະບັບ.
ສະຫຼຸບ
ການແຈກຢາຍແບບໄບໂນມຽວແມ່ນແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານໃນສະຖິຕິ ແລະ ຄວາມເປັນໄປໄດ້, ເຊິ່ງມັກພົບໃນການນຳໃຊ້ໃນໂລກຕົວຈິງຕ່າງໆ, ຕັ້ງແຕ່ທຸລະກິດຈົນເຖິງວິທະຍາສາດສັງຄົມ ແລະ ຊີວະວິທະຍາ. ຄ່າທີ່ຄາດຫວັງຂອງການແຈກຢາຍແບບໄບໂນມຽວ, ຄິດໄລ່ເປັນ np, ໃຫ້ຄວາມເຂົ້າໃຈທີ່ສຳຄັນກ່ຽວກັບຈຳນວນສະເລ່ຍຂອງຄວາມສຳເລັດໃນຊຸດການທົດລອງແບບໄບໂນມຽວ. ໂດຍການເຂົ້າໃຈແນວຄວາມຄິດຂອງຄ່າທີ່ຄາດຫວັງ, ຄວາມແปรປ່ວນ, ແລະ ຄ່າຜັນປ່ຽນມາດຕະຖານ, ພວກເຮົາສາມາດເຂົ້າໃຈລັກສະນະຂອງການແຈກຢາຍແບບໄບໂນມຽວ ແລະ ວິທີທີ່ມັນອະທິບາຍປະກົດການບາງຢ່າງໃນຊີວິດປະຈຳວັນ.
ຄວາມຮູ້ນີ້ແມ່ນມີປະໂຫຍດຫຼາຍບໍ່ພຽງແຕ່ໃນການວິເຄາະຂໍ້ມູນ ແລະ ສະຖິຕິເທົ່ານັ້ນ, ແຕ່ຍັງເປັນປະໂຫຍດໃນການຕັດສິນໃຈທີ່ຕ້ອງການການປະເມີນຄວາມເປັນໄປໄດ້ ແລະ ຄວາມບໍ່ແນ່ນອນ. ການເຂົ້າໃຈມູນຄ່າທີ່ຄາດຫວັງ ແລະ ການແຈກຢາຍແບບທະວິໂນມຽວສາມາດຊ່ວຍໃຫ້ພວກເຮົາຄາດຄະເນໄດ້ຢ່າງຖືກຕ້ອງຫຼາຍຂຶ້ນ ແລະ ຕັດສິນໃຈໄດ້ຢ່າງມີຂໍ້ມູນຫຼາຍຂຶ້ນ.
