ຜົນລວມຂອງຣີມັນ

ລວມຣີມັນ: ໜຶ່ງໃນເສົາຄໍ້າຂອງແຄລຄູລັດອິນທິກຣອລ

ໃນຄະນິດສາດ, ໂດຍສະເພາະໃນແຄລຄູລັສປະສົມປະສານ, ແນວຄວາມຄິດຂອງຜົນບວກຣີມັນມີບົດບາດສຳຄັນ. ວິທີການນີ້ໄດ້ຖືກນຳສະເໜີໂດຍນັກຄະນິດສາດເຢຍລະມັນທີ່ມີຊື່ສຽງ Bernhard Riemann, ເຊິ່ງເປັນວິທີທີ່ສຳຄັນໃນການກຳນົດການລວມຂອງຟັງຊັນໃນໄລຍະເວລາທີ່ກຳນົດ. ການເຂົ້າໃຈຜົນບວກຣີມັນຊ່ວຍໃຫ້ພວກເຮົາສາມາດປະເມີນເນື້ອທີ່ພາຍໃຕ້ເສັ້ນໂຄ້ງ, ເຊິ່ງເປັນການນຳໃຊ້ທີ່ສຳຄັນໃນຫຼາຍຂົງເຂດຂອງວິທະຍາສາດ ແລະ ເຕັກໂນໂລຊີ, ຕັ້ງແຕ່ຟີຊິກສ໌ຈົນເຖິງເສດຖະສາດ.

ເພື່ອເຂົ້າໃຈສາລະສຳຄັນຂອງຜົນບວກຣີມັນ, ພວກເຮົາຕ້ອງກວດສອບອົງປະກອບພື້ນຖານຂອງມັນ, ລວມທັງການແບ່ງສ່ວນຊ່ວງເວລາ, ການກຳນົດຈຸດປະເມີນຜົນ, ການສ້າງຜົນບວກ, ແລະ ການນຳໃຊ້ຂອງມັນໃນການເຊື່ອມໂຍງ. ໃຫ້ພວກເຮົາຄົ້ນຄວ້າເລິກເຊິ່ງກວ່ານີ້.

ການແນະນຳແນວຄວາມຄິດພື້ນຖານ

ຜົນບວກຣີມານ (Riemann) ເປັນວິທີການຄິດໄລ່ອິນທິກຣອນທີ່ແນ່ນອນຂອງຟັງຊັນໃນຊ່ວງເວລາປິດ \([a, b]\). ວິທີການນີ້ກ່ຽວຂ້ອງກັບການແບ່ງຊ່ວງເວລາອອກເປັນຊ່ວງເວລາຍ່ອຍທີ່ນ້ອຍກວ່າ, ປະເມີນຟັງຊັນຢູ່ຈຸດສະເພາະໃນແຕ່ລະຊ່ວງເວລາຍ່ອຍ, ແລະຫຼັງຈາກນັ້ນຜົນບວກຂອງຜົນຄູນຂອງຄ່າຟັງຊັນດ້ວຍຄວາມຍາວຂອງຊ່ວງເວລາຍ່ອຍທີ່ສອດຄ້ອງກັນ.

ການແບ່ງສ່ວນແບບໄລຍະຫ່າງ
ຂັ້ນຕອນທຳອິດໃນການກຳນົດຜົນບວກຂອງຣີມັນແມ່ນການແບ່ງຊ່ວງເວລາ \([a, b]\) ອອກເປັນຊ່ວງຍ່ອຍຂອງຄວາມຍາວທີ່ກຳນົດໃຫ້. ສົມມຸດວ່າຊ່ວງເວລາ \([a, b]\) ຖືກແບ່ງອອກເປັນ \(n\) ສ່ວນເທົ່າໆກັນ, ຫຼັງຈາກນັ້ນ:

\[ \Delta x = \frac{b – a}{n} \]

ແຕ່ລະຊ່ວງຍ່ອຍມີຄວາມຍາວ \(\Delta x\), ແລະຈຸດແບ່ງສ່ວນເຫຼົ່ານີ້ມັກຈະເປັນ \((x_0, x_1, x_2, …, x_n)\), ບ່ອນທີ່ \(x_0 = a\), \(x_1 = a + \Delta x\), \(x_2 = a + 2\Delta x\), ແລະອື່ນໆຈົນເຖິງ \(x_n = b\).

ການກຳນົດຈຸດປະເມີນຜົນ
ສຳລັບແຕ່ລະຊ່ວງຍ່ອຍ \([x_{i-1}, x_i]\), ຕ້ອງມີຈຸດປະເມີນຜົນ \(x_i \) ທີ່ຢູ່ພາຍໃນຊ່ວງຍ່ອຍນັ້ນ. ຈຸດນີ້ສາມາດກຳນົດໄດ້ດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້:

1. ຈຸດຊ້າຍ: \(x_i^ = x_{i-1}\)
2. ຈຸດຂວາ: \(x_i^ = x_i\)
3. ຈຸດກາງ: \(x_i^ = \frac{x_{i-1} + x_i}{2}\)
4. ຈຸດສຸ່ມ: ທຸກໆ \(x_i \) ແມ່ນຈຸດສຸ່ມໃນ \([x_{i-1}, x_i]\)

ການເລືອກຈຸດປະເມີນຜົນສາມາດສົ່ງຜົນກະທົບຕໍ່ຜົນໄດ້ຮັບຂອງຜົນລວມຣີມັນ, ໂດຍສະເພາະຖ້າຟັງຊັນບໍ່ຕໍ່ເນື່ອງ ຫຼື ມີການປ່ຽນແປງຢ່າງໄວວາ.

ການສ້າງຜົນລວມ
ເມື່ອການແບ່ງສ່ວນຊ່ວງເວລາ ແລະ ການກຳນົດຈຸດປະເມີນຜົນສຳເລັດແລ້ວ, ຂັ້ນຕອນຕໍ່ໄປແມ່ນການຄິດໄລ່ຄ່າຟັງຊັນຢູ່ແຕ່ລະຈຸດປະເມີນຜົນ \(f(x_i^)\) ແລະ ຄູນຄ່ານັ້ນດ້ວຍຄວາມຍາວຂອງຊ່ວງເວລາຍ່ອຍ \(\Delta x\). ຜົນບວກ Riemann \(R\) ຖືກນິຍາມດັ່ງນີ້:

\[ R = \sum_{i=1}^nf(x_i^) \Delta x\]

ເມື່ອຈຳນວນຂອງຊ່ວງຍ່ອຍ \(n\) ເພີ່ມຂຶ້ນໂດຍບໍ່ມີການຜູກມັດ (\(n \rightarrow \infty\)), ຄວາມຍາວຂອງຊ່ວງຍ່ອຍ \(\Delta x\) ຈະກາຍເປັນຂະໜາດນ້ອຍຫຼາຍ ແລະ ຜົນລວມຂອງ Riemann ເຂົ້າໃກ້ປະລິມານຂອງຟັງຊັນ \(f\) ໃນຊ່ວງ \([a, b]\). ເຄື່ອງໝາຍຂີດຈຳກັດນີ້ຖືກຂຽນເປັນ:

\[ \int_a^bf(x) \, dx = \lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^nf(x_i^) \Delta x \]

ຕົວຢ່າງການຈັດຕັ້ງປະຕິບັດຂອງ Riemann Sum

ຕົວຢ່າງ, ໃຫ້ພວກເຮົານຳໃຊ້ຜົນບວກຣີມານເພື່ອກຳນົດອິນທິກຣອນຂອງຟັງຊັນ \(f(x) = x^2\) ໃນຊ່ວງເວລາ \([0, 1]\).

ຂັ້ນຕອນທີ 1: ການແບ່ງສ່ວນຊ່ວງເວລາ
ສົມມຸດວ່າພວກເຮົາແບ່ງຊ່ວງເວລາ \([0, 1]\) ອອກເປັນຊ່ວງເວລາຍ່ອຍ \(n\) ທີ່ມີຄວາມຍາວເທົ່າກັນ, ຫຼັງຈາກນັ້ນຄວາມຍາວຂອງຊ່ວງເວລາຍ່ອຍແມ່ນ:

\[ \Delta x = \frac{1 – 0}{n} = \frac{1}{n} \]

ຂັ້ນຕອນທີ 2: ຈຸດປະເມີນຜົນ
ໃຊ້ຈຸດກາງ \(x_i \) ເພື່ອປະເມີນຟັງຊັນໃນແຕ່ລະໄລຍະຍ່ອຍ \([x_{i-1}, x_i]\):

\[ x_i^ = \frac{x_{i-1} + x_i}{2} = \frac{\left(\frac{i-1}{n}\right) + \left(\frac{i}{n}\right)}{2} = \frac{2i – 1}{2n} \]

ຂັ້ນຕອນທີ 3: ຄິດໄລ່ຜົນລວມ
ຄ່າຂອງຟັງຊັນ \(f(x_i^) = \left( \frac{2i – 1}{2n} \right)^2 = \frac{(2i-1)^2}{4n^2}\), ຫຼັງຈາກນັ້ນຜົນບວກຂອງຣີມານຈະກາຍເປັນ:

\[ R = \sum_{i=1}^nf\left(\frac{2i – 1}{2n}\right) \Delta x = \sum_{i=1}^n \frac{(2i-1)^2}{4n^2} \cdot \frac{1}{n} = \frac{1}{4n^3} \sum_{i=1}^n (2i-1)^2 \]

ດ້ວຍການປະເມີນຕື່ມອີກ, ຜົນບວກຂອງກຳລັງສອງຂອງຕົວເລກຄີກໃຫ້ສັນຍາລັກ sigma ເຊິ່ງສາມາດງ່າຍດາຍຕື່ມອີກຈົນກວ່າມັນຈະຮອດຂີດຈຳກັດ.

ສຸດທ້າຍ, ເມື່ອ \(n\) ໄປຫາອະນັນ, ຄ່າຂອງຜົນລວມຣີມັນຈະເຂົ້າໃກ້ຜົນຂອງອິນທິກຣອນທີ່ແນ່ນອນ:

\[ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{4n^3} \sum_{i=1}^n (2i-1)^2 = \frac{1}{3} \]

ແລະໃນຜົນການວິເຄາະຂອງອິນທິກຣອນພວກເຮົາໄດ້ຮັບ:

\[ \int_0^1 x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_0^1 = \frac{1}{3} \]

ຕົວແປ ແລະ ການນຳໃຊ້ຂອງຜົນລວມ Riemann

ນອກເໜືອໄປຈາກການເຊື່ອມໂຍງແບບດັ້ງເດີມ, ຜົນບວກ Riemann ຍັງມີການປ່ຽນແປງອື່ນໆ, ລວມທັງຜົນບວກ Riemann-Kronecker ແລະ ຜົນບວກ Riemann-Stieltjes ສຳລັບພື້ນທີ່ແມັດຕຣິກ ແລະ ການນຳໃຊ້ທີ່ກວ້າງຂວາງໃນການວິເຄາະແບບໜ້າທີ່. ມັນຍັງເປັນພື້ນຖານສຳລັບວິທີການທາງຕົວເລກ ເຊັ່ນ ວິທີການ Trapzoid ແລະ Simpson ທີ່ໃຊ້ໃນການຄຳນວນທາງວິທະຍາສາດ.

ປິດ

ຜົນບວກຂອງຣີມັນໃຫ້ວິທີການທີ່ເຂັ້ມແຂງ ແລະ ມີຄວາມຍືດຫຍຸ່ນສຳລັບການກຳນົດ ແລະ ຄິດໄລ່ອິນທິກຣອນໃນສະພາບການທາງຄະນິດສາດທີ່ຫຼາກຫຼາຍ. ໃນຖານະເປັນເຄື່ອງມືການສອນສຳລັບບັນຫາອິນທິກຣອນພື້ນຖານໃນແຄລຄູລັສ, ຄວາມເຂົ້າໃຈຢ່າງລະອຽດກ່ຽວກັບແນວຄວາມຄິດນີ້ຈະເປີດຄວາມເຂົ້າໃຈກ່ຽວກັບການນຳໃຊ້ອິນທິກຣອນທີ່ກວ້າງຂວາງໃນຊີວິດຈິງ, ທັງໃນວິທະຍາສາດທີ່ແນ່ນອນ ແລະ ຂົງເຂດເສດຖະກິດ-ສັງຄົມ. ເບີນຮາດ ຣີມັນບໍ່ພຽງແຕ່ເສີມສ້າງທິດສະດີຄະນິດສາດດ້ວຍການຄົ້ນພົບນີ້ເທົ່ານັ້ນ ແຕ່ຍັງໄດ້ເປີດຊ່ອງທາງໃໝ່ໃນການວິເຄາະອິນທິກຣອນທີ່ທັນສະໄໝອີກດ້ວຍ.