ຄວາມສຳພັນລະຫວ່າງຄວາມຍາວຂອງສ່ວນໂຄ້ງ ແລະ ພື້ນທີ່ຂອງຂະແໜງ
ໃນຄະນິດສາດ, ໂດຍສະເພາະໃນເລຂາຄະນິດແບບຮາບພຽງ, ມີແນວຄວາມຄິດທີ່ສຳຄັນທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບວົງມົນ. ສອງແນວຄວາມຄິດຫຼັກທີ່ຖືກປຶກສາຫາລືເລື້ອຍໆຄື ຄວາມຍາວຂອງສ່ວນໂຄ້ງ ແລະ ເນື້ອທີ່ຂອງຂະແໜງ. ຄວາມເຂົ້າໃຈທີ່ດີກ່ຽວກັບສອງແນວຄວາມຄິດນີ້ຊ່ວຍໃຫ້ພວກເຮົາສາມາດຄິດໄລ່ລັກສະນະຕ່າງໆຂອງວົງມົນໄດ້, ບໍ່ວ່າຈະເປັນໃນບົດຮຽນຄະນິດສາດທົ່ວໄປ, ການນຳໃຊ້ດ້ານວິຊາການ, ຫຼື ຊີວິດປະຈຳວັນ.
ຄໍານິຍາມຂອງວົງມົນ
ກ່ອນທີ່ພວກເຮົາຈະໄປຕໍ່, ມັນເປັນປະໂຫຍດທີ່ຈະເຂົ້າໃຈວ່າວົງມົນແມ່ນຫຍັງ. ວົງມົນແມ່ນຊຸດຂອງຈຸດທັງໝົດໃນລະນາບທີ່ເປັນໄລຍະທາງຄົງທີ່ຈາກຈຸດທີ່ກຳນົດໃຫ້ເອີ້ນວ່າຈຸດໃຈກາງ. ໄລຍະທາງຄົງທີ່ນີ້ເອີ້ນວ່າລັດສະໝີຂອງວົງມົນ. ວົງມົນມີອົງປະກອບທີ່ສຳຄັນຫຼາຍຢ່າງ, ລວມທັງ:
1. ຈຸດກາງ (O): ຈຸດຄົງທີ່ທີ່ໃຊ້ວັດແທກໄລຍະຫ່າງຂອງຈຸດອື່ນໆທັງໝົດໃນວົງມົນ.
2. ລັດສະໝີ (r): ໄລຍະຫ່າງຈາກຈຸດກາງຫາຈຸດໃດກໍໄດ້ໃນວົງມົນ.
3. ເສັ້ນຜ່າສູນກາງ (d): ໄລຍະທາງທີ່ຍາວທີ່ສຸດຈາກຈຸດໜຶ່ງໄປຫາອີກຈຸດໜຶ່ງໃນວົງມົນທີ່ຜ່ານຈຸດກາງ. ເສັ້ນຜ່າສູນກາງແມ່ນສອງເທົ່າຂອງຄວາມຍາວຂອງລັດສະໝີ.
4. ເສັ້ນຮອບວົງມົນ (C): ຄວາມຍາວຂອງເສັ້ນອ້ອມຮອບວົງມົນ, ຄຳນວນໂດຍໃຊ້ສູດ \( C = 2 \pi r \).
ເຂົ້າໃຈຄວາມຍາວຂອງສ່ວນໂຄ້ງ
ຄວາມຍາວຂອງສ່ວນໂຄ້ງແມ່ນຄວາມຍາວຂອງສ່ວນສະເພາະຂອງເສັ້ນຮອບວົງມົນ. ລອງນຶກພາບວົງມົນໃຫຍ່ຖືກຕັດດ້ວຍເສັ້ນລັດສະໝີສອງເສັ້ນ. ເສັ້ນລັດສະໝີເຫຼົ່ານີ້ແບ່ງວົງມົນອອກເປັນສອງສ່ວນໂຄ້ງ, ເຊິ່ງພວກເຮົາເອີ້ນວ່າສ່ວນໂຄ້ງໃຫຍ່ ແລະ ສ່ວນໂຄ້ງນ້ອຍ, ຂຶ້ນກັບຄວາມຍາວຂອງມັນ.
ເພື່ອຄິດໄລ່ຄວາມຍາວຂອງສ່ວນໂຄ້ງ, ພວກເຮົາຈຳເປັນຕ້ອງຮູ້ລັດສະໝີຂອງວົງມົນ ແລະ ຂະໜາດຂອງມຸມກາງທີ່ສ້າງຂຶ້ນໂດຍເສັ້ນລັດສະໝີສອງເສັ້ນ. ຄວາມຍາວຂອງສ່ວນໂຄ້ງສາມາດຄິດໄລ່ໄດ້ໂດຍໃຊ້ສູດ:
\[ L = \theta \ຄູນ r \]
ຢູ່ໃສ:
– \( L \) ແມ່ນຄວາມຍາວຂອງສ່ວນໂຄ້ງ,
- \( \theta \) ແມ່ນມຸມກາງໃນເຣດຽນ,
-\(r\) ແມ່ນລັດສະໝີຂອງວົງມົນ.
ຖ້າມຸມກາງເປັນອົງສາ, ສູດຈະປ່ຽນເປັນ:
L = \left( \frac{\theta}{360} \right) \ຄູນ 2 \pi r\]
ຕົວຢ່າງ, ຖ້າທ່ານມີວົງມົນທີ່ມີລັດສະໝີ 10 ໜ່ວຍ ແລະ ມຸມກາງ 60 ອົງສາ, ຄວາມຍາວຂອງສ່ວນໂຄ້ງສາມາດຄິດໄລ່ໄດ້ດັ່ງນີ້:
\[ L = \left( \frac{60}{360} \right) \ຄູນ 2 \pi \ຄູນ 10 = \left( \frac{1}{6} \right) \ຄູນ 20 \pi = \frac{20 \pi}{6} \ປະມານ 10.47 \, \text{ໜ່ວຍ} \]
ຄໍານິຍາມຂອງພື້ນທີ່ຂອງຂະແໜງການ
ເນື້ອທີ່ຂອງພາກສ່ວນແມ່ນເນື້ອທີ່ຂອງສ່ວນສະເພາະຂອງວົງມົນທີ່ປະກອບດ້ວຍເສັ້ນລັດສະໝີສອງເສັ້ນ ແລະ ເສັ້ນໂຄ້ງທີ່ເຊື່ອມຕໍ່ພວກມັນ. ພາກສ່ວນມັກຈະຖືກປຽບທຽບກັບຕ່ອນຂອງພາຍ ຫຼື ພິຊຊ່າ. ເພື່ອຄິດໄລ່ເນື້ອທີ່ຂອງພາກສ່ວນ, ພວກເຮົາຕ້ອງການລັດສະໝີຂອງວົງມົນ ແລະ ມຸມກາງທີ່ປະກອບດ້ວຍເສັ້ນລັດສະໝີສອງເສັ້ນ.
ສູດສຳລັບຄິດໄລ່ເນື້ອທີ່ຂອງຂະແໜງການແມ່ນ:
\[ A = \frac{1}{2} r^2 \theta \]
ຢູ່ໃສ:
– \( A \) ແມ່ນພື້ນທີ່ຂອງຂະແໜງການ,
- \( \theta \) ແມ່ນມຸມກາງໃນເຣດຽນ,
-\(r\) ແມ່ນລັດສະໝີຂອງວົງມົນ.
ຖ້າມຸມກາງເປັນອົງສາ, ສູດຈະຖືກປ່ຽນເປັນ:
\[ A = \left( \frac{\theta}{360} \right) \xeb \pi r^2 \]
ຕົວຢ່າງ, ສົມມຸດວ່າພວກເຮົາມີວົງມົນທີ່ມີລັດສະໝີ 10 ໜ່ວຍ ແລະ ມຸມກາງ 60 ອົງສາ. ຫຼັງຈາກນັ້ນ, ເນື້ອທີ່ຂອງຂະແໜງການສາມາດຄິດໄລ່ໄດ້ດັ່ງນີ້:
\[ A = \left( \frac{60}{360} \right) \times \pi \times 10^2 = \left( \frac{1}{6} \right) \times 100 \pi = \frac{100 \pi}{6} \approx 52.36 \, \text{ໜ່ວຍ}^2 \]
ຄວາມສຳພັນລະຫວ່າງຄວາມຍາວຂອງສ່ວນໂຄ້ງ ແລະ ພື້ນທີ່ຂອງຂະແໜງ
ແນວຄວາມຄິດຂອງຄວາມຍາວຂອງສ່ວນໂຄ້ງ ແລະ ເນື້ອທີ່ຂອງຂະແໜງແມ່ນກ່ຽວຂ້ອງກັນຢ່າງໃກ້ຊິດ ເພາະວ່າທັງສອງແມ່ນຂຶ້ນກັບລັດສະໝີຂອງວົງມົນ ແລະ ມຸມກາງ. ໂດຍການຮູ້ໜຶ່ງໃນສອງຢ່າງນີ້ ແລະ ຂໍ້ມູນເພີ່ມເຕີມເຊັ່ນ: ລັດສະໝີ ຫຼື ມຸມກາງ, ພວກເຮົາສາມາດຄິດໄລ່ອີກອັນໜຶ່ງໄດ້.
ຄວາມສຳພັນທາງຄະນິດສາດລະຫວ່າງຄວາມຍາວຂອງສ່ວນໂຄ້ງ ແລະ ເນື້ອທີ່ຂອງຂະແໜງສາມາດສ້າງໄດ້ດັ່ງຕໍ່ໄປນີ້. ຈາກສູດທີ່ພວກເຮົາຮູ້ແລ້ວ:
1. ຄວາມຍາວຂອງສ່ວນໂຄ້ງ: \[ L = \left( \frac{\theta}{360} \right) \xee 2 \pi r \]
2. ເນື້ອທີ່ຂອງຕາໜ່າງ: \[ A = \left( \frac{\theta}{360} \right) \times \pi r^2 \]
ພວກເຮົາສາມາດເຫັນໄດ້ຈາກສອງສູດຂ້າງເທິງວ່າມີຄວາມຄ້າຍຄືກັນໃນເສດສ່ວນມຸມ \(\left( \frac{\theta}{360} \right)\) ເຊິ່ງສະແດງເຖິງສັດສ່ວນຂອງວົງມົນທັງໝົດທີ່ສ້າງຕັ້ງຂຶ້ນ.
ຖ້າພວກເຮົາຕ້ອງການເຊື່ອມໂຍງສອງຢ່າງນີ້ຕື່ມອີກ, ໃຫ້ສັງເກດວ່າຄວາມຍາວຂອງສ່ວນໂຄ້ງ \(L\) ແມ່ນເປີເຊັນຂອງເສັ້ນຮອບວົງມົນ ແລະ ເນື້ອທີ່ຂອງຂະແໜງ \(A\) ແມ່ນເປີເຊັນຂອງເນື້ອທີ່ຂອງວົງມົນ. ເວົ້າອີກຢ່າງໜຶ່ງ,
L = \left( \frac{\theta}{360} \right) \ຄູນ 2 \pi r\]
\[ A = \left( \frac{L}{2 \pi r} \right) \ຄູນ \pi r^2 \]
ເຮັດໃຫ້ເສດສ່ວນງ່າຍຂຶ້ນ,
\[ A = \left( \frac{L}{2} \right) \ຄູນ r\]
ດັ່ງນັ້ນພວກເຮົາສາມາດລະບຸໄດ້ໂດຍກົງວ່າ, ເນື້ອທີ່ຂອງຂະແໜງການສາມາດກ່ຽວຂ້ອງກັບຄວາມຍາວຂອງສ່ວນໂຄ້ງຜ່ານຄວາມຍາວຂອງສ່ວນໂຄ້ງ ແລະ ລັດສະໝີ:
\[ A = \frac{1}{2} L r \]
ການນຳໃຊ້ໃນຊີວິດປະຈຳວັນ
ການເຂົ້າໃຈຄວາມສຳພັນລະຫວ່າງຄວາມຍາວຂອງສ່ວນໂຄ້ງ ແລະ ພື້ນທີ່ຂອງຂະແໜງການບໍ່ພຽງແຕ່ເປັນທາງວິຊາການເທົ່ານັ້ນ, ແຕ່ຍັງມີການນຳໃຊ້ຕົວຈິງໃນຫຼາຍໆດ້ານຂອງຊີວິດປະຈຳວັນ. ບາງການນຳໃຊ້ເຫຼົ່ານີ້ລວມມີ:
1. ການອອກແບບສະຖາປັດຕະຍະກຳ: ໃນການອອກແບບອາຄານ ຫຼື ໂຄງສ້າງວົງມົນ ເຊັ່ນ: ໂດມ, ສວນ ຫຼື ອາຄານວົງມົນ, ການຄິດໄລ່ຄວາມຍາວຂອງສ່ວນໂຄ້ງ ແລະ ພື້ນທີ່ຂອງຂະແໜງແມ່ນມີຄວາມສຳຄັນຫຼາຍ.
2. ວິສະວະກຳກົນຈັກ: ໃນການອອກແບບອົງປະກອບເຄື່ອງຈັກທີ່ກ່ຽວຂ້ອງກັບການເຄື່ອນທີ່ເປັນວົງກົມ ຫຼື ຮູບຊົງກະບອກ, ຄວາມຮູ້ນີ້ຊ່ວຍໃຫ້ຄິດໄລ່ເສັ້ນທາງ ແລະ ຊ່ອງຫວ່າງທີ່ຕ້ອງການ.
3. ດາລາສາດ: ໃນການສ້າງແບບຈຳລອງວົງໂຄຈອນຂອງດາວເຄາະ ຫຼື ດາວທຽມທຳມະຊາດທີ່ເປັນຮູບວົງແຫວນ ຫຼື ຮູບວົງມົນ.
4. ກະສິກຳ: ຊ່ວຍໃນການວາງແຜນການຊົນລະປະທານໝູນສູນກາງເພື່ອຮັບປະກັນການແຈກຢາຍນ້ຳຢ່າງສະໝໍ່າສະເໝີ.
ສະຫຼຸບ
ການເຂົ້າໃຈຄວາມສຳພັນລະຫວ່າງຄວາມຍາວຂອງສ່ວນໂຄ້ງ ແລະ ພື້ນທີ່ຂອງຂະແໜງຊ່ວຍໃຫ້ພວກເຮົາເຂົ້າໃຈດີຂຶ້ນວ່າມຸມ, ລັດສະໝີ ແລະ ອົງປະກອບອື່ນໆຂອງວົງມົນມີປະຕິສຳພັນກັນແນວໃດ. ໂດຍການນຳໃຊ້ສູດພື້ນຖານເຫຼົ່ານີ້, ພວກເຮົາສາມາດແກ້ໄຂບັນຫາທ້າທາຍຫຼາຍຢ່າງໃນຄະນິດສາດເລຂາຄະນິດ ແລະ ການນຳໃຊ້ຕົວຈິງໃນຫຼາຍໆຂົງເຂດ, ລວມທັງສະຖາປັດຕະຍະກຳ, ວິສະວະກຳ, ກະສິກຳ ແລະ ດາລາສາດ. ສອງແນວຄວາມຄິດນີ້, ໃນຂະນະທີ່ເບິ່ງຄືວ່າງ່າຍດາຍ, ມີການນຳໃຊ້ຢ່າງກວ້າງຂວາງຕະຫຼອດຊີວິດປະຈຳວັນ, ເຮັດໃຫ້ມັນເປັນພື້ນຖານໃນການຮຽນຮູ້ ແລະ ເປັນແມ່ບົດ.
